第七章參數(shù)估計數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一：根據(jù)樣本所提供的信息，對總體的分布以及分布的數(shù)字特征做出統(tǒng)計推斷．

統(tǒng)計推斷假設檢驗參數(shù)估計點估計區(qū)間估計（矩估計法、最大似然估計法）第一節(jié)點估計

教學內容

1矩估計法

2最大似然估計法教學重點矩估計法與最大似然估計法的應用

樣本統(tǒng)計量描述作出推斷研究統(tǒng)計量的性質和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質.隨機抽樣總體一、提出問題參數(shù)估計是統(tǒng)計推斷的基本問題之一,參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).在許多實際問題中,根據(jù)實踐經驗已經知道數(shù)據(jù)來自于某類分布總體,但總體中有些參數(shù)是未知的.問題:(1)在一定時間內某信息臺接到的呼叫次數(shù)X是一個隨機變量,由實踐經驗知道它服從泊松分布,而其中參數(shù)是多少呢？(2)調查男學生的身高，根據(jù)以往經驗，這些數(shù)據(jù)應該來自正態(tài)總體，我們怎樣才能得到這個正態(tài)總體的兩個參數(shù)呢？這類問題稱為參數(shù)估計.參數(shù)估計問題的一般提法X1,X2,…,Xn要依據(jù)該樣本對參數(shù)作出估計,或估計的某個已知函數(shù).現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本

設有一個統(tǒng)計總體,總體的分布函數(shù)為F(x,)，其中為未知參數(shù)(

可以是向量).

隨機抽查100個嬰兒,…得100個體重數(shù)據(jù)10,7,6,6.5,5,5.2,

…呢?據(jù)此,我們應如何估計和而全部信息就由這100個數(shù)組成.例1

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重,未知我們知道,若,由大數(shù)定律,自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的一個估計.樣本體重的平均值則.用樣本體重的均值估計.

類似地，用樣本體重的方差估計.1.矩估計法

矩估計法是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜最早提出來的.由辛欽定理,若總體的數(shù)學期望有限,則有其中為連續(xù)函數(shù).

這表明,

當樣本容量很大時,在統(tǒng)計上,可以用用樣本矩去估計總體矩.這一事實導出矩估計法.定義用樣本原點矩估計相應的總體原點矩,又用樣本原點矩的連續(xù)函數(shù)估計相應的總體原點矩的連續(xù)函數(shù),這種參數(shù)點估計法稱為矩估計法

.

理論依據(jù):

大數(shù)定律矩估計法的具體做法如下

設總體的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù),那么它的前k階矩,一般都是這k個參數(shù)的函數(shù),記為：i=1,2,…,k從這k個方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k那么用諸的估計量

Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計量：矩估計量的觀察值稱為矩估計值

.矩估計(MomentEstimation)又稱數(shù)字特征法估計

即注意：上述方程的解

它們就是未知參數(shù)θ1，θ2，…，θ的矩估計．做法：用“總體矩等于樣本矩”列出矩方程（組），解之即得矩估計．解:由矩法,樣本矩總體矩從中解得的矩估計.即為數(shù)學期望是一階原點矩

例3

設總體X的概率密度為是未知參數(shù),其中X1,X2,…,Xn是取自X的樣本,求參數(shù)的矩估計.解:由密度函數(shù)知

例4

設X1,X2,…,Xn是取自總體X的一個樣本其中>0,求的矩估計.具有均值為的指數(shù)分布故E(X-)=

D(X-)=即

E(X)=

D(X)=解得令用樣本矩估計總體矩即

E(X)=

E(X2)=2.最大似然法

它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.

它首先是由德國數(shù)學家高斯在1821年提出的.GaussFisher

然而,這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學家費歇.

費歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質.最大似然法的基本思想

先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢？

某位同學與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測，你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應聲倒下.

你就會想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.

這個例子所作的推斷已經體現(xiàn)了極大似然法的基本思想.二、、最大似然估計法試求參數(shù)p的最大似然估計量。故似然函數(shù)為-------它與矩估計量是相同的。(4)在最大值點的表達式中,用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計值.求極大似然估計(MLE)的一般步驟是：(1)由總體分布導出樣本的聯(lián)合概率函數(shù)

(或聯(lián)合密度);(2)把樣本聯(lián)合概率函數(shù)(或聯(lián)合密度)中自變量看成已知常數(shù),而把參數(shù)看作自變量,

得到似然函數(shù)L();(3)求似然函數(shù)L()

的最大值點(常常轉化為求lnL()的最大值點)，即

的MLE;解：似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為例6

設X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本求的極大似然估計.其中

>0,求導并令其為0=0從中解得即為