§1.2有限元法有限元法以數學上的變分法或加權余量法為基礎，由變分法導出的變分表達式或由加權余量法導出的加權積分表達式是有限元法求解的出發點。§1.2.1加權余量法：：:§1.2.2伽遼金加權余量法：：：：從形式上看，強解積分表達式與弱解積分表達式完全相同，但二者對近似解的要求不同。強解積分表達式以（3）作為求解的出發點，對近似函數的連續性要求高一些。：：::

：xu1u2u*u1’u2’u*’0.250.22790.20940.20790.78130.76990.79330.500.39060.38490.38730.52080.55400.62430.750.48830.49640.51160.26040.33830.35421.000.52080.55400.557400.12230加權余量法的弱點：（1）基函數的選取沒有一定的法則可以遵循（2）積分繁瑣為解決上述困難，提出了“分塊逼近”的思想，隨著高速計算機的出現，使得伽遼金法和Ritz法發展成為廣泛應用的、效率很高的有限元法。§1.2.3有限元法有限元法是以變分法或加權余量法為基礎，結合分塊逼近技術而形成的、系統化的數值計算方法。分塊：將求解區域劃分為若干個互相連接而又不重疊的、一定形狀的有限個子區域，即單元。逼近：在單元中選擇基函數（插值函數），構造單元近似解去代替求解函數。由于單元的幾何形狀是規則的，在單元內構造基函數可以給出一定的法則，單元積分也比較容易。

有限元法解題步驟：（1）區域劃分（2）選取單元基函數（插值函數）（3）寫出積分表達式（變分或加權余量法）（4）單元分析，建立單元有限元方程（5）總體合成（總裝），建立總體有限元方程（6）處理邊界條件（7）求解總體有限元方程，計算有關物理量為了說明有限元法的解題步驟及每一步的要點，下面以一個簡單的常微分方程為例進行分析。

解：1.區域剖分（1）單元劃分、確定結點數目和位置（2）編寫單元號、總體結點號和單元結點號單元號：全區域的單元統一編號，e=1,2…E總體結點號：全區域的結點按一定順序統一編號，n=1,2…N單元結點號：每一單元的結點按一定順序統一編號，i=1,2…I單元分析時采用單元結點號，總體合成時采用總體結點號（3）列出單元結點號與總體結點號之間的對照表

en

i12341123422345（4）給出結點坐標值（5）列出本質邊界結點號與邊界值總體結點號n12345坐標x00.25h0.5h0.75hh邊界結點號n15邊界值un002.選取單元基函數有限元法的基函數在單元中選取，可以遵循一定法則：3.寫出積分表達式4.單元分析將單元近似函數表達式代入加權積分式（三種形式之一），在一個典型單元內積分，建立單元有限元方程。單元積分表達式：：

：：：5.總體合成將單元有限元方程逐個累加，合成為總體有限元方程。：：：：6.邊界條件處理

（1）消行修正法：（2）消行重新編號修正法：7.求解總體有限元方程§1.2.4有限元法求解二維問題：：

：

：：：：

：以上兩式表明，面積坐標與直角坐標之間是線性變換關系，可以將(x,y)平面上的任意三角形單元變換為(ζ1,ζ2)平面上的等腰直角三角形單元

A(x1,y1)

C(x3,y3)

B(x2,y2)xyA(1,0