有限元分析基礎

第一章緒論

§1-1有限單元法的發展

§1-2有限單元法的特點

§1-3有限單元法分析過程概述

許多工程分析問題，如固體力學中的位移場和應力場分析、電磁學中的電磁場分析、振動特性分析、傳熱學中的溫度場分析、流體力學中的流場分析等，都可歸結為在給定邊界條件下求解其控制方程(常微分方程或偏微分方程)的問題，但能用解析方法求出精確解的只是方程性質比較簡單，且幾何邊界相當規則的少數問題．對于大多數的工程技術問題，由于物體的幾何形狀較復雜或者問題的某些非線性特征，很少能得到解析解．這類問題的解決通常有兩種途徑：一是引入簡化假設，將方程和邊界條件簡化為能夠處理的問題，從而得到它在簡化狀態的解．這種方法只在有限的情況下是可行的，因為過多的簡化可能導致不正確的甚至錯誤的解．因此，人們在廣泛吸收現代數學、力學理論的基礎上，借助于現代科學技術的產物——計算機來獲得滿足工程要求的數值解，這就是數值模擬技術，數值模擬技術是現代工程學形成和發展的重要推動力之一目前在工程技術領域內常用的數值模擬方法有：有限單元法、邊界元法、離散單元法和有限差分法，但就其實用性和應用的廣泛性而言，主要還是有限單元法．作為一種離散化的數值解法，有限單元法首先在結構分析，然后又在其他領域中得到廣泛應用離散化的思想可以追溯到20世紀40年代．1941年A．Hrennikoff首次提出用構架方法求解彈性力學問題，當時稱為離散元素法，僅限于用桿系結構來構造離散模型．如果原結構是桿系，這種方法是精確方法，發展到現在就是大家熟知的結構分析的矩陣方法．究其實質這還不能說就是有限單元法的思想．1943年Rcourant在求解扭轉問題時為了表征翹曲函數而將截面分成若干三角形區域，在各三角形區域設定一個線性的翹曲函數．這是對里茲法的推廣，實質上就是有限單元法的基本思想，這一思想真正用于工程中是在電子計算機出現后20世紀50年代因航空工業的需要，美國波音公司的專家首次采用三結點三角形單元，將矩陣位移法用到平面問題上．同時。聯邦德國斯圖加特大學的J．H．Argyris教授發表了一組能量原理與矩陣分析的論文，為這一方法的理論基礎作出了杰出貢獻．1960年美國的R．W．C10ugh教授在一篇題為“平面應力分析的有限單元法”的論文中首先使用有限單元法(theFiniteE1ementMethod)一詞，此后這一名稱得到廣泛承認．

20世紀60年代有限單元法發展迅速，除力學界外，許多數學家也參與了這一工作，奠定了有限單元法的理論基礎，搞清了布限單元法與變分法之間的關系，發展了各種各樣的單元模式，擴大了有限單元法的應用范圍．20世紀70年代以來，有限單元法進一步得到蓬勃發展，其應用范圍擴展到所有工程領域，成為連續介質問題數值解法中最活躍的分支．由變分法有限元擴展到加權殘數法與能量平衡法有限元，由彈性力學平面問題擴展到空間問題、板殼問題，由靜力平衡問題擴展到穩定性問題、動力問題和波動問題，由線性問題擴展到非線性問題，分析的對象從彈性材料擴展到塑性、粘彈性、粘塑性和復合材料等，由結構分析擴展到結構優化乃至于設計自動化，從固體力學擴展到流體力學、傳熱學、電磁學等領域．有限單元法的工程應用如表l—1所示．數值模擬技術通過計算機程序在工程中得到廣泛的應用．到20世紀80年代初期，國際上較大型的面向工程的有限元通用程序達到幾百種，其中著名的有：ANSYS，NASTRAN，ABAQUS，ASKA，ADINA，SAP與COSMOS等．它們多采用FORTRAN語言編寫，規模達幾萬條甚至幾十萬條語句，其功能越來越完善，不僅包含多種條件下的有限元分析程序，而且帶有功能強大的前處理和后處理程序．由于有限元通用程序使用方便、計算精度高，其計算結果已成為各類工業產品設