山西省呂梁市方山縣高級中學2022年高三數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數。若，則實數的值等于（

）

A.-3

B.-1

C.1

D.3參考答案：A略2.已知直線l，m和平面α，則下列命題正確的是A．若l∥m，mα，則l∥α

B．若l∥α，mα，則l∥mC．若l⊥m，l⊥α，則m∥α

D．若l⊥α，mα，則l⊥m

參考答案：D略3.已知函數（其中）的部分圖象如下圖所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象

(

)A．向右平移個長度單位B．向左平移個長度單位C．向右平移個長度單位D．向左平移個長度單位

參考答案：A4.設數列是等差數列，。若數列的前n項和取得最小值，則n的值為

（

）

A．4

B．7

C．8

D．15參考答案：B5.已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，則m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8參考答案：D【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】求出向量+的坐標，根據向量垂直的充要條件，構造關于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故選：D．6.已知圓錐的高為5，底面圓的半徑為，它的頂點和底面的圓周都在同一個球的球面上，則該球的表面積為（

）A．4π

B．36π

C．48π

D．24π參考答案：B7.在中，，，，點在斜邊上，以為棱把它折成直二面角，折疊后的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：B8.命題“所有實數的平方都是正數”的否定為

A.所有實數的平方都不是正數

B．有的實數的平方是正數

C．至少有一個實數的平方是正數

D．至少有一個實數的平方不是正數參考答案：D9.已知函數f（x）=Asin（πx+φ）的部分圖象如圖所示，點B，C是該圖象與x軸的交點，過點C的直線與該圖象交于D，E兩點，則的值為(

)A．﹣1 B． C． D．2參考答案：D【考點】y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義；平面向量數量積的運算．【專題】三角函數的圖像與性質；平面向量及應用．【分析】根據三角函數的圖象和性質，求出函數的周期，利用向量的基本運算和向量的數量積定義即可得到結論．【解答】解：∵函數f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，則BC==1，則C點是一個對稱中心，則根據向量的平行四邊形法則可知：=2，=∴=2?=2||2=2×12=2．故選：D．【點評】本題主要考查向量的數量積運算，利用三角函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．10.給出性質：①最小正周期為π；②圖象關于直線x=對稱，則下列四個函數中，同時具有性質①②的是（） A．y=sin（2x+） B． y=sin（2x+） C． y=sin（2x﹣） D． y=sin（x+）參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從年月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式．根據幾個月運營發現，產品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿足函數關系式．已知網店每月固定的各種費用支出為萬元，產品每萬件進貨價格為萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是

萬元．參考答案：由題知,，所以月利潤：，當且僅當時取等號，即月最大利潤為萬元．另解：利潤（利潤=進價-安裝費-開支），也可留作為變量求最值．12.對于函數，給出下列結論：①等式時恒成立；②函數的值域為；③函數在R上有三個零點；④若；⑤若其中所有正確結論的序號為______________.參考答案：13.將函數f（x）=2cos2x的圖象向右平移個單位得到函數g（x）的圖象，若函數g（x）在區間和上均單調遞增，則實數a的取值范圍是．參考答案：[，]【考點】HJ：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）=2cos（2x﹣）；再利用條件以及余弦函數的單調性，求得a的范圍．【解答】解：將函數f（x）=2cos2x的圖象向右平移個單位得到函數g（x）=2cos（2x﹣）的圖象，若函數g（x）在區間和上均單調遞增，∴a＞0．由2kπ﹣π≤0﹣≤2kπ，且2kπ﹣π≤2?﹣≤2kπ，k∈Z，求得k=0，﹣π≤a≤①．由2nπ﹣π≤4a﹣≤2nπ，且2nπ﹣π≤2?﹣≤2nπ，求得n=1，≤a≤②，由①②可得，≤a≤，故答案為：．14.已知，，那么的值是____參考答案：15.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回的逐一取球，已知第一次取得紅球，則第二次取得白球的概率為

．參考答案：袋中有2個紅球，3個白球，1個黃球，在第一次取出紅球的條件下，還剩下1個紅球，3個白球，1個黃球，故第二次取出的情況共有5種其中第二次取出的是白球有3種

故第一次取得紅球，則第二次取得白球的概率為.故答案為.

16.若實數滿足則的最小值為________.參考答案：017.設為實數,函數的導函數為,且是偶函數，則曲線在點處的切線方程為.參考答案：【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程．B11

解析：∵f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x，∴f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），∵f′（x）是偶函數，∴3（﹣x）2+2a（﹣x）+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3），解得a=0，∴f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3，則f（2）=2，k=f′（2）=9，即切點為（2，2），切線的斜率為9，∴切線方程為y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0．故答案為：9x﹣y﹣16=0．【思路點撥】先由求導公式求出f′（x），根據偶函數的性質，可得f′（﹣x）=f′（x），從而求出a的值，然后利用導數的幾何意義求出切線的斜率，進而寫出切線方程．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2時，函數h（x）=f（x）﹣g（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函數φ（x）的最小值；（Ⅲ）設函數f（x）的圖象C1與函數g（x）的圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；兩條直線平行的判定．【專題】計算題；證明題；壓軸題．【分析】（I）根據a=﹣2時，函數h（x）=f（x）﹣g（x）在其定義域內是增函數，知道h′（x）在其定義域內大于等于零，得到一個關于b的不等式，解此不等式即得b的取值范圍；（II）先設t=ex，將原函數化為關于t的二次函數，最后將原函數φ（x）的最小值問題轉化成二次函數在某區間上的最值問題即可；（III）先假設存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行，利用導數的幾何意義求出切線的斜率進而得出切線的方程，后利用斜率相等求出R的橫坐標，如出現矛盾，則不存在；若不出現矛盾，則存在．【解答】解：（I）依題意：h（x）=lnx+x2﹣bx．∵h（x）在（0，+∞）上是增函數，∴對x∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x＞0，則．∴b的取值范圍是．（II）設t=ex，則函數化為y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴當，即時，函數y在[1，2]上為增函數，當t=1時，ymin=b+1；當1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2時，當t=﹣時，；，即b≤﹣4時，函數y在[1，2]上是減函數，當t=2時，ymin=4+2b．綜上所述：（III）設點P、Q的坐標是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．則點M、N的橫坐標為．C1在點M處的切線斜率為．C2在點N處的切線斜率為．假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則k1=k2．即．則=，∴設，則，（1）令，則，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上單調遞增，故r（u）＞r（1）=0，則，與（1）矛盾！【點評】本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值、利用導數研究函數的單調性、兩條直線平行的判定等基礎知識，屬于中檔題．19.（12分）（2015?慶陽模擬）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0）過點（1，），且該橢圓的離心率為，直線l1：y=x+m（m≠0）與橢圓交于A，B兩點，直線l2：y=x﹣m與橢圓交于C，D兩點．（1）求橢圓M的方程；（2）求四邊形ABCD面積的最大值．參考答案：【考點】：橢圓的簡單性質．【專題】：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：（1）將點（1，）帶入橢圓方程，并根據離心率，這樣便可得到關于a，b的方程組，解方程組即得橢圓的標準方程為；（2）先容易判斷出四邊形ABCD為平行四邊形，所以面積為弦長|AB|與直線l1，l2之間距離的乘積，設A（x1，y1），B（x2，y2），根據弦長公式即可得到|AB|=，根據直線l1，l2的方程即可求出這兩直線間的距離為，所以得到四邊形ABCD的面積為，根據基本不等式即可求該面積的最大值．解：（1）依題意可得，；解得a2=4，b2=1；∴橢圓M的方程為；（2）顯然直線l1與直線l2關于原點對稱，所以四邊形ABCD為平行四邊形；∴|AB|=|CD|，?ABCD的面積為弦長|AB|與直線l1，l2距離的乘積；設A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得，5x2+8mx+4m2﹣4=0；則△=16（5﹣m2）＞0，∴0＜m2＜5；根據韋達定理；∴=；直線l1與l2的距離為；∴=；當且僅當時等號成立；∴四邊形ABCD面積的最大值為4．【點評】：考查橢圓的標準方程，橢圓的離心率e=，以及曲線上點的坐標和曲線方程的關系，韋達定理，弦長公式，求兩平行線間的距離，橢圓的對稱性，以及基本不等式的運用．20.（本小題滿分14分）設數列的前項和，．⑴求的值；⑵求數列的通項公式；⑶證明：對一切正整數，有．參考答案：（1）；（2）；（3）見解析.試題分析：（1）利用數列前和的定義知；（2）同樣由數列前和的定義知當時有，于是可很快求出其通項公式；（3）由（2）可知不等式實質為，一般情況下，我們要把左邊的和求出來，但由于左邊這個和不易求出，因此我們想辦法進行放縮，以便求出此和，經常用到的就是，這樣放縮后，左邊的和可以求出了，而且正好證明了不等式.試題解析：⑴……1分⑵時，……4分（上式每個等號1分）時，，所以，……5分⑶由⑵知，時，……7分……9分……11分……12分，……13分∵單調遞增，∴，……14分考點：已知數列的前項和，求通項公式，放縮法證明不等式.21.已知非常數數列{an}的前項n和為Sn，且有an＞0，（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）令，求數列{bn}的前項n和Tn．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（I）利用遞推式可得an+an﹣1=2或an﹣an﹣1=2，通過分類討論即可得出；（II）利用“裂項求和”即可得出．【解答】解：（I）∵an＞0，，∴當n=1時，a1=，解得a1=1或3．當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化為（an+an﹣1﹣2）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∴an+an﹣1=2或an﹣an﹣1=2，①若an+an﹣1=2，當a1=1時，可得an=1，（n∈N*），數列{an}為常數數列，舍去；當a1=3時，可得a2=﹣1，與an＞0矛盾，舍去；②若an﹣an﹣1=2，當a1=1時，可得an=2n﹣1，（n∈N*），滿足題意．當a1=3時，可得an=2n+1，（n∈N*），滿足題意．綜上可得：an=2n±1，（n∈N*）．（II）當an=2n﹣1，==，則數列{bn}的前項n和Tn=++…+=1﹣=．同理可得：當an=2n+1，=，則數列{bn}的前項n和Tn=1﹣=．22.已知向量，函數f（x）=圖象的對稱中心與對稱軸之間的最小距離為．（1）求ω的值，并求函數f（x）在區間[0，π]上的單調遞增區間；（2）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A）=1，cosC=，a=5，求b．參考答案：考點：平面向量數量積的運算；三角函數中的恒等變換應用；正弦定理．專題：解三角形；平面向量及應用．分析：（1）先求出f（x）=2sin（ωx+），而f（x）圖象的對稱中心與對稱軸之間的最小距離為其周期的四分之一，這樣即可求得ω=2，從而f（x）=2sin（2