第4章控制系統穩定性

對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統穩定性問題的研究，經典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）的穩定性理論來分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版專著《運動系統穩定性的一般問題》，使得Lyapunov穩定性理論已經成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。本章的主要內容為1.引言2.李亞普諾夫意義下穩定性的定義3.李亞普諾夫第二法5.線性定常離散系統的穩定性4.線性連續系統的穩定性6.有界輸入-有界輸出穩定7.非線性系統的穩定性分析4.1引言

李亞普諾夫將穩定性問題的研究歸納為兩種方法。第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統的穩定性。

第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統穩定性的信息。

對于非線性、時變、多輸入多輸出系統來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。這種方法是基于一種廣義能量函數及其隨時間變化的特性來研究系統穩定性的。以下通過一個例子來說明。例4-1一個彈簧－質量－阻尼器系統，如下圖示。系統的運動由如下微分方程描述。令（1）選取狀態變量則系統的狀態方程為（2）在任意時刻，系統的總能量（3）顯然，當時，而當時而總能量隨時間的變化率為可見，只有在時，。在其他各處均有，這表明系統總能量是衰減的，因此系統是穩定的。Lyapunov第二法是研究系統平衡狀態穩定性的。4.2李亞普諾夫意義下穩定性的定義一：范數向量的范數定義為m×n矩陣A的范數定義為如果平衡點xe不在坐標原點，可以通過非奇異線性變換，使

xe=0，因此，平衡狀態的穩定性問題都可以歸結為原點的穩定性問題。二：平衡狀態定義為滿足狀態4.2.1穩定的定義定義對于任意給定的實數ε>0，都存在對應實數δ(ε,t0)

，則稱平衡狀態xe為Lyapunov意義下穩定的。如果δ與t0無關，則稱為Lyapunov意義下一致漸近穩定。非線性時變系統使得從滿足的任意初始狀態x0出發的軌線x(t)，都有：（對于所有t≥t0）4.2.2漸近穩定對于任意給定的實數ε>0，δ>0，都存在實數T(ε,δ,t0)，則稱平衡狀態xe為Lyapunov意義下漸近穩定。如果T與t0無關，則稱為Lyapunov意義下一致漸近穩定。的任意初始狀態x0出發的軌線x(t)，都有：使得從滿足（對于所有t≥t0+T(ε,δ,t0)）Lyapunov意義下穩定漸近穩定漸近穩定4.2.3大范圍漸近穩定如果從狀態空間中的任意初始狀態x0出發的軌線x(t)，都有：則稱平衡狀態xe為Lyapunov意義下大范圍漸近穩定或全局漸近穩定。如果與t0無關，則稱為Lyapunov意義下一致漸近穩定。如果只有從平衡點xe的某個領域內的初始狀態x0出發的軌線x(t)才有：則稱平衡狀態xe為Lyapunov意義下局部范圍漸近穩。不穩定4.2.4不穩定對于任意的實數，存在一個實數，不論取的多么小，在滿足不等式的所有初始狀態中，至少存在一個初始狀態，由此出發的軌線，滿足稱為Lyapunov意義下不穩定二：標量函數的正定性、負定性1：正定性設有標量函數V(x)，對域S中的所有非零狀態x，總有V(x)

>0，且當x=0時，有V(x)=0，則稱標量函數V(x)在域S內是正定的2：負定性設有標量函數V(x)，對域S中的所有非零狀態x，總有V(x)<0，且當x=0時，有V(x)=0，則稱標量函數V(x)在域S內是負定的。此時–V(x)是正定的3：正半定性和負半定性設有標量函數V(x)，對域S中的某些非零狀態x及x=0，有V(x)=0，而對于S中的其余狀態有V(x)>0，則稱標量函數V(x)在域S內是正半定的。如果-V(x)是正半定的，則V(x)是負半定的4：賽爾維斯特準則：對于二次型函數V(x)=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V(x)也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V(x)也是正定的。例如：是正定的。例如：是半負定的。例如：是負定的。例如：是半正定的。例如：是不定的。（7）定理4-1

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，并且滿足：1）為正定；2）為負定。則為一致漸近穩定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩定的。其中稱為廣義能量函數（energy-likefunction），又稱為Lyapunov函數。4.3李亞普諾夫第二法例4-2

系統的狀態方程如下，判別系統穩定性。解而將狀態方程代入上式，化簡后得選取Lyapunov函數，顯然是正定的，即滿足可見，是負定的，即滿足因此，是一致漸近穩定的。當，有，故系統是一致大范圍漸近穩定的。定理4-2

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，并且滿足：1）為正定；2）為半負定；3）除了平衡狀態外，還有的點，但是不會在整條狀態軌線上有則為一致漸近穩定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩定的。例4-3

系統的狀態方程為其中，a

為大于零的實數。判別系統的穩定性。解系統的平衡狀態為選取Lyapunov函數：顯然它是正定的，即滿足而將狀態方程代入上式，化簡后得可見，當和任意的時，有，而和任意時，。又因為，只要變化就不為零，因此在整條狀態軌線上不會有。因此，是一致漸近穩定的。當，有，故系統是一致大范圍漸近穩定的。定理4-3

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，并且滿足：1）為正定；2）為半負定；則為一致穩定的。如果，，則是大范圍一致穩定的。因為≤0則系統可能存在閉合曲線（極限環），在上面恒有，則系統可能收斂到極限環，而不收斂到平衡點。因此是一致穩定的。例4-4

系統的狀態方程為其中，k

為大于零的實數。分析系統平衡狀態的穩定性。解系統的平衡狀態為選取Lyapunov函數：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-3可知，為Lyapunov意義下一致穩定。定理4-4

設系統狀態方程為

在的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，并且滿足：1）為正定；2）為正定或半正定；則為不穩定的。例4-5

系統的狀態方程為分析系統平衡狀態的穩定性。解系統的平衡狀態為選取Lyapunov函數：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-4可知，是不穩定的。

應該指出：Lyapunov第二法給出的結果是系統穩定性的充分條件。到目前為止，人類還沒有找到構造Lyapunov函數的一般方法。因此，對于某個系統來說，找不到合適的Lyapunov函數，既不能說系統穩定，也不能說系統不穩定，只能說無法提供有關該系統穩定性的信息（即：inconclusive—沒有得出結論）。4.4線性連續系統的穩定性對線性時變系統，其相應的齊次狀態方程為由第2章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統的穩定性，如果收斂則都穩定；如果發散，則都不穩定。首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣當它的所有主子式均大于零時，則Q是正定的。即：對線性定常系統，可以用Lyapunov第二法。

如果方陣Q是正定的，則－Q

就是負定的。負定的矩陣主子式負正相間。Lyapunov函數為狀態變量的二次型函數，即如果P為維正定的對稱常數矩陣，則為正定的。令，其中Q為正定實數矩陣，且滿足如果給定Q陣，能夠推出P

為正定的，則系統在為穩定的。并且線性定常系統為穩定，就一定是大范圍一致漸近穩定。（注1：線性定常系統，可以判斷A的特征值是否全部具有負實部，既可以判別其穩定性。）（注2：因為是線性定常系統，則Q為正定時，P陣或者為正定、或者為負定，不會是不定的。）例4-6

線性定常系統的狀態方程為判別系統的穩定性。解系統的平衡狀態為為簡單起見，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得有可見，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩定的。4.5線性定常離散系統的穩定性線性定常離散系統的狀態方程為（8）系統的平衡狀態為假設G

為維非奇異常數陣，是唯一的平衡狀態。選取Lyapunov函數（9）式中，P

為正定的對稱常數，因此是正定的。的差分為若要在處漸近穩定，要求為負定的。所以其中Q為正定。給定一個正定對稱常數陣Q，求P

陣，并驗證其正定性。（10）例4-7

線性定常離散系統的狀態方程如下，試判別其穩定性。解系統的平衡狀態為為簡單起見，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得P的各階主子式均大于零，即可見，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩定的。4.6有界輸入-有界輸出穩定4.6.1有界輸入-有界輸出穩定BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定義：對于初始松弛系統，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱為BIBO系統。如果輸入有界，是指≤如果輸出有界，是指≤可以取如果≤于是≤≤≤定理4-5

由方程描述的線性定常系統。為初始松弛系統。其輸出向量的解為（11）BIBO穩定的充分必要條件是存在一個常數K3，有≤或者對于的每一元素，都有≤其中，a

為一個非負的實數，而系統的脈沖響應函數為例4-8線性定常系統方程為分析系統是否BIBO穩定。解可見，只有當時，才有有限值存在，系統才是BIBO穩定的。4.6.2BIBO穩定與平衡狀態穩定性之間的關系對于線性定常系統（12）平衡狀態的漸近穩定性由A的特征值決定。而BIBO的穩定性是由傳遞函數的極點決定的。

的所有極點都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是的極點。可能存在零極點對消。所以，處的漸近穩定就包含了BIBO穩定，而BIBO穩定卻可能不是處的漸近穩定。那么在什么條件下，BIBO穩定才有平衡狀態漸近穩定呢？結論是：如果（12）式所描述的線性定常系統是BIBO穩定，且系統是既能控又能觀測的，則系統在處是漸近穩定的。4.7非線性系統的穩定性分析4.7.1用Lyapunov第二法分析非線性系統穩定性到目前為止，尚沒有構造Lyapunov函數的一般性方法。往往都是根據經驗，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1.克拉索夫斯基法（12）非線性定常系統的狀態方程為其中和均為n維向量。為非線性多元函數，對各都具有連續的偏導數。構造Lyapunov函數如下（13）其中

W

為正定對稱常數矩陣（14）而（15）其中稱為雅可比矩陣（16）其中（17）如果是負定的，則是負定的。而是正定的，故是一致漸近穩定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩定的。為簡便，通常取，這時例4-10

非線性定常系統狀態方程為試分析的穩定性。解雅可比矩陣選擇W=I

則檢驗的各階主子式：并且時，有顯然，是負定的，故是大范圍一致漸近穩定的。2變量梯度法設連續時間非線性時不變系統Xe=0為系統孤立平衡狀態，(1)設V(x)的梯度為(2)設梯度▽V(x)對應于有勢場，則旋度rot▽V(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)(6)判斷V(x)計算結果的正定性

3：阿塞爾曼法設系統的動態方程為：其中f（xi）為非線性單值函數，f（0）=0，故x=0為系統的平衡狀態。阿塞爾曼指出：若以線性函數取代非線性函數，即令f（xi）=kxi，可對線性化后的系統建立李雅普諾夫函數V（x），若dV（x）/dt在k1≤k≤k2區間內是負定的，則當非線性函數不超過上述區間時，非線性系統的平衡狀態x=0是大范圍漸近穩定的。例

設f(x1)如圖所示，判斷x=0的穩定性解：令f(x1)=2x1

線性化后的系統方程為

令得Q為正定對稱陣認為非線性系統的李雅普諾夫函數就是V（x），則根據負定的要求，穩定時要求根據負定的要求，穩定時要求只要非線性特性在此范圍內，系統是大范圍漸近穩定的