2022上海市徐匯職業(yè)高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.閱讀程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】通過程序框圖的要求，寫出前四次循環(huán)的結(jié)果得到輸出的值．【解答】解：該程序框圖是循環(huán)結(jié)構(gòu)經(jīng)第一次循環(huán)得到i=1，a=2；經(jīng)第二次循環(huán)得到i=2，a=5；經(jīng)第三次循環(huán)得到i=3，a=16；經(jīng)第四次循環(huán)得到i=4，a=65滿足判斷框的條件，執(zhí)行是，輸出4故選B2.設(shè)，，，則（）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.對于兩個復(fù)數(shù),有下列四個結(jié)論:①;②;③;④,其中正確的結(jié)論的個數(shù)為(

）A.l

B.2

C.3

D.4參考答案：C4.在等差數(shù)列中，已知，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則的值為(

)A. B.

C.

D.參考答案：D略6.以為六條棱長的四面體個數(shù)為

（

）

A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：解析：以這些邊為三角形僅有四種：，，，.固定四面體的一面作為底面：當(dāng)?shù)酌娴娜厼闀r，另外三邊的取法只有一種情況，即；當(dāng)?shù)酌娴娜厼闀r，另外三邊的取法有兩種情形，即，.其余情形得到的四面體均在上述情形中。由此可知，四面體個數(shù)有3個.7.有3人排成一排，甲、乙兩人不相鄰的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】等可能事件的概率．【專題】計算題；概率與統(tǒng)計．【分析】所有的方法數(shù)為A33=6，其中甲、乙兩人不相鄰的方法數(shù)為A22=2，由此求得甲、乙兩人不相鄰的概率．【解答】解：3人排成一排，所有的方法數(shù)為A33=6，其中甲、乙兩人不相鄰的方法數(shù)為A22=2，故3人排成一排，甲、乙兩人不相鄰的概率是=，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查排列與組合及兩個基本原理，求出甲、乙兩人不相鄰的方法數(shù)為A22?A44，是解題的關(guān)鍵．8.在等差數(shù)列{an}中，首項a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，則k=（）A．22B．23C．24D．25參考答案：A考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們可將ak=a1+a2+a3+…+a7，轉(zhuǎn)化為ak=7a4，又由首項a1=0，公差d≠0，我們易得ak=7a4=21d，進(jìn)而求出k值．解答：解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列且首項a1=0，公差d≠0，又∵ak=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故選A點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，其中根據(jù)a4是數(shù)列前7項的平均項（中間項）將ak=a1+a2+a3+…+a7，化為ak=7a4，是解答本題的關(guān)鍵．9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2，則a8的值為(

)A．15 B．16 C．49 D．64參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計算題．【分析】直接根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出結(jié)論．【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，故選A．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的基本性質(zhì)，解題時要注意公式的熟練掌握．10.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+－1(x＞0)，則f（x）（）A．有最小值 B．有最大值 C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)參考答案：A【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴函數(shù)f（x）=2x+﹣1≥2﹣1=2﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號，∴f（x）有最小值，無最大值，故選：A【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積是．參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該四棱錐是如圖所示的四棱錐S﹣ABCD，其中ABCD是邊長為2的正方體，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，AD中點(diǎn)為E，SE=4，由此求出外接球的半徑，利用球體的表面積公式計算即可．【解答】解：由三視圖知該四棱錐是如圖所示的四棱錐S﹣ABCD，其中ABCD是邊長為2的正方體，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，AD中點(diǎn)為E，SE=4，其BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG、SG，BD∩AC=H，設(shè)該四棱錐的外接球球心為O，作OF⊥SE于F，則OH⊥平面ABCD，OF=EH=1，CH=，設(shè)OH=x，則SF=4﹣x，∵OS=OC=R，∴OS2=OC2，即（4﹣x）2+1=x2+2，解得x=，∴該四棱錐的外接球半徑R==，∴該四棱錐的外接球的表面積S=4πR2=4π×=．故答案為：．12.若,則的最大值是______，最小值是___參考答案：3，

013.在（1+x）6（1+y）4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f（m，n），則f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=．參考答案：120【考點(diǎn)】二項式定理的應(yīng)用．【分析】由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3項的系數(shù)，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展開式展開式中，含x3y0的系數(shù)是：=20，故f（3，0）=20；含x2y1的系數(shù)是=60，故f（2，1）=60；含x1y2的系數(shù)是=36，故f（1，2）=36；含x0y3的系數(shù)是=4，故f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故答案為：120．14.不等式的解集是

．參考答案：15.若一個底面邊長為，側(cè)棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個球面上，則此球的體積為

.參考答案：略16.如圖，點(diǎn)P在正方體的面對角線上運(yùn)動，則下列四個命題：①三棱錐的體積不變；②∥面；③；④面面。其中正確的命題的序號是_______________（寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號）參考答案：①

②

④

17.數(shù)列{}是等差數(shù)列，=7，則=_________參考答案：49略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，且c=2a，求cosB的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；等差數(shù)列的通項公式；等差關(guān)系的確定．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a+c=2b，再利用正弦定理及誘導(dǎo)公式變形即可得證；（Ⅱ）由a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，將c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，將三邊長代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin=sin（A+C），則sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac，將c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．【點(diǎn)評】此題考查了余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．19.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)已知圓，雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓相切，求雙曲線的方程．參考答案：解：(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，從而有解得

故橢圓C的方程為

(2)橢圓C：＋＝1的兩焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，故雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5.設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)，則G的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，圓心為(0,5)，半徑為r＝3.∴＝3?a＝3，b＝4.∴雙曲線G的方程為－＝1.20.已知橢圓中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上，且橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，兩條準(zhǔn)線間的距離為8．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為：由題意得：解得 …………3分

又

∴，，∴橢圓方程為．

…………5分（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程：

化簡得：.………6分

則，

………7分

∵

∴ …………8分

又……9分

∴

解得：

∴

…………11分

經(jīng)檢驗(yàn)滿足

∴當(dāng)時，．

…………12分21.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C中，D是BC上的一點(diǎn)，AB=AC，且AD⊥BC.（1）求證：A1C∥平面AB1D；（2）若AB=BC=AA1=2，求點(diǎn)A1到平面AB1D的距離.參考答案：（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，再連接，據(jù)直棱柱性質(zhì)知，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，∵當(dāng)時，，∴是的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面.（2）如圖，在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，∵是中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面與點(diǎn)到平面距離相等，∵平面，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，∴長為所求，在中，，，，∴，∴點(diǎn)到平面的距離為.22.（本小題滿分13分）已知

（1）若的最小值記為h（），求h（）的解析式．（2）是否存在實(shí)數(shù)，同時滿足以下條件：①；②當(dāng)h（）的定義域?yàn)閇，]時，值域?yàn)閇，]；若存在，求出，的值；若不存在，說明理由．參考答案：(1)h(a)=

(2)不存在（1），∵∴………………1分

，對稱軸t=a.………2分①②③………………5分

∴h(a)=

（2）

因?yàn)閔（a）=12-6a在（3，+∞）上為減函