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2021-2022學(xué)年遼寧省丹東市東港第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.某幾何體是由直三棱柱與圓錐的組合體,起直觀圖和三視圖如圖所示,正視圖為正方形,其中俯視圖中橢圓的離心率為(
) A. B. C. D.參考答案:D考點:橢圓的定義.專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:根據(jù)三視圖的性質(zhì)得到俯視圖中橢圓的短軸長和長周長,再根據(jù)橢圓的性質(zhì)a2﹣b2=c2,和離心率公式e=,計算即可.解答: 解:設(shè)正視圖正方形的邊長為2,根據(jù)正視圖與俯視圖的長相等,得到俯視圖中橢圓的短軸長2b=2,俯視圖的寬就是圓錐底面圓的直徑2,得到俯視圖中橢圓的長軸長2a=2,則橢圓的半焦距c==1,根據(jù)離心率公式得,e=;故選D.點評:本題主要考查了橢圓的離心率公式,以及三視圖的問題,屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)集合A={x∈R|x﹣1>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x﹣1)>0},則“x∈A∪B“是“x∈C“的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】利用不等式的解法化簡集合A,B,C,再利用集合的運算性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法即可得出.【解答】解:集合A={x∈R|x﹣1>0}={x|x>1},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x﹣1)>0}={x|x>1,或x<0},A∪B={x|x<0,或x>1}.則“x∈A∪B“是“x∈C“的充要條件.故選:C.【點評】本題考查了不等式的解法、集合的運算性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.已知A,B,C,D,E是函數(shù)y=sin(ωx+?)(ω>0,0<?<一個周期內(nèi)的圖象上的五個點,如圖所示,,B為y軸上的點,C為圖象上的最低點,E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心,B與D關(guān)于點E對稱,在x軸上的投影為,則ω,?的值為()A.B.C.D.參考答案:B略4.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)(2+i)2的共軛復(fù)數(shù)虛部為(
)A.4i
B.-4
C.3
D.4參考答案:B5.已知向量與不共線,且向量=+m,=n+,若A,B,C三點共線,則實數(shù)m,n()A.mn=1 B.mn=﹣1 C.m+n=1 D.m+n=﹣1參考答案:A【考點】平行向量與共線向量.【分析】由題意可得∥,再根據(jù)兩個向量共線的性質(zhì)可得=,由此可得結(jié)論.【解答】解:由題意可得∥,∴=λ?,故有=,∴mn=1,故選:A.【點評】本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì),兩個向量坐標(biāo)形式的運算,屬于中檔題.6.等比數(shù)列{an}的前三項和,若成等比數(shù)列,則公比q=(
)A.3或
B.-3或
C.3或
D.-3或參考答案:A由得.∵成等差數(shù)列,∴.∴,解得.設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,整理得,解得或.選A.
7.已知x,y滿足則的取值范圍是
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C8.已知變量滿足,則的取值范圍是(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:B根據(jù)題意作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示,即的邊界及其內(nèi)部,又因為,而表示可行域內(nèi)一點和點連線的斜率,由圖可知,根據(jù)原不等式組解得,所以.故選.9.已知A(﹣2,0),B(2,0),斜率為k的直線l上存在不同的兩點M,N滿足:|MA|﹣|MB|=2,|NA|﹣|NB|=2,且線段MN的中點為(6,1),則k的值為()A.﹣2 B.﹣ C. D.2參考答案:D【考點】KI:圓錐曲線的綜合.【分析】求出雙曲線方程,利用點差法,即可得出結(jié)論.【解答】解:由題意,M,N是雙曲線的右支上的兩點,a=,c=2,b=1,∴雙曲線方程為=1(x>),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=12,y1+y2=2,代入雙曲線方程,作差可得(x1﹣x2)﹣2(y1﹣y2)=0,∴k=2,故選D.10.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a,b為正實數(shù),且,則的最小值為
.參考答案:由題得,代入已知得,兩邊除以得當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時取等.所以即的最小值為.故答案為:
12.拋物線頂點在原點,焦點在x軸正半軸,有且只有一條直線l過焦點與拋物線相交于A,B兩點,且|AB|=1,則拋物線方程為
.參考答案:13.已知直線相切,則a的值為__________.參考答案:2略14..橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,過F2的直線交橢圓于A,B兩點,的周長為8,則該橢圓的短軸長為__________.參考答案:【分析】由的周長為8,利用橢圓的定義可得的值,再根據(jù)離心率為求出的值,從而求得的值,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因為的周長為8,所以,因離心率為,所以,
由,解得,則該橢圓的短軸長為,故答案為.【點睛】本題主要考查橢圓的定義以及橢圓的離心率,意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與靈活應(yīng)用,屬于中檔題.15.點M(x,y)滿足不等式|2x|+|y|≤1,則x+y的最大值為
.參考答案:1考點:簡單線性規(guī)劃.專題:不等式的解法及應(yīng)用.分析:作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,設(shè)z=x+y,利用z的幾何意義求z的最大值.解答: 解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:(陰影部分)設(shè)z=x+y,則y=﹣x+z,平移直線y=﹣x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點A(0,1)時,直線的截距最大,此時z最大.代入z=x+y得z=0+1=1.即x+y的最大值為1.故答案為:1點評:本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法.16.為了解一大片經(jīng)濟林的生長情況,隨機測量其中若干株樹木的底部周長(單位:cm),其數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖,則估計該片經(jīng)濟林中底部周長在[98,104)中的樹木所占比例為
.
參考答案:75%
略17.等比數(shù)列的前項和為,已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,則數(shù)列的公比為____________。參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.某市疾控中心流感監(jiān)測結(jié)果顯示,自2019年1月起,該市流感活動一度d現(xiàn)上升趨勢,尤其是3月以來,呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢,截止目前流感病毒活動度仍處于較高水平,為了預(yù)防感冒快速擴散,某校醫(yī)務(wù)室采取積極方式,對感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù)。假設(shè)某班級已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染,需要通過化驗血液來確定感染的同學(xué),血液化驗結(jié)果呈陽性即為感染,呈陰性即未被感染。下面是兩種化驗方法:方案甲:逐個化驗,直到能確定感染同學(xué)為止;方案乙:先任取3個同學(xué),將它們的血液混在一起化驗,若結(jié)果呈陽性則表明感染同學(xué)為這3位中的1位,后再逐個化驗,直到能確定感染同學(xué)為止;若結(jié)果呈陰性則在另外3位同學(xué)中逐個檢測;(1)求依方案甲所需化驗次數(shù)等于方案乙所需化驗次數(shù)的概率;(2)表示依方案甲所需化驗次數(shù),表示依方案乙所需化驗次數(shù),假設(shè)每次化驗的費用都相同,請從經(jīng)濟角度考慮那種化驗方案最佳。參考答案:(1);(2)方案乙更佳分析:(1)分別求出時的值,及時的值,進(jìn)而可求出方案甲所需化驗次數(shù)等于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率;(2)確定的可能取值及相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望,比較二者大小可知方案乙更佳.詳解:(1)設(shè)分別表示依方案甲需化驗為第次;表示依方案乙需化驗為第次;表示方案甲所需化驗次數(shù)等于依方案乙所需化驗次數(shù).,(2)的可能取值為.的可能取值為.(次),∴(次),∴故方案乙更佳.點睛:求解離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的一般步驟:(1)確定各隨機變量的可能取值;(2)求出隨機變量各取值下的概率;(3)計算數(shù)學(xué)期望.19.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinB=bcosA(1)求角A的值;(2)若△ABC的面積為,△ABC的周長為6,求邊長a.參考答案:【考點】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知可得tanA=,結(jié)合范圍0<A<π,可求A的值;(2)利用三角形面積公式可求bc=4,利用周長及余弦定理可得,即可解得a的值.【解答】解:(1)∵asinB=bcosA,∴由正弦定理得:sinAsinB=sinBcosA,∵0<B<π,∴sinB≠0.∴sinA=cosA,∴tanA=,∵0<A<π,∴A=;(2)∵a+b+c=6,△ABC的面積為=bcsinA=bc,可得:bc=4,∴=.∴,解得a=2.20.已知橢圓C:(a>b>0)的離心率,左、右焦點分別為F1、F2,點滿足:F2在線段PF1的中垂線上.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為k(k≠0)的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點A(2,0)、M、N,且∠NF2F1=∠MF2A,求k的取值范圍.參考答案:【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題.【分析】(1)解法一:由橢圓C的離心率和點F2在線段PF1的中垂線上知|F1F2|=|PF2|,由此推出,從而可求出橢圓C的方程.解法二:橢圓C的離心率,得,先求得線段PF1的中點為D的坐標(biāo),根據(jù)線段PF1的中垂線過點F2,利用,得出關(guān)于c的方程求出c值,最后求得a,b寫出橢圓方程即可;(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣2),,將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用∠NF2F1=∠MF2A得出的斜率關(guān)系即可求得k的取值范圍.【解答】解:(1)解法一:橢圓C的離心率,得,其中橢圓C的左、右焦點分別為F1(﹣c,0),、F2(c,0),又點F2在線段PF1的中垂線上,∴F1F2=PF2,∴解得c=1,a2=2,b2=1,∴橢圓C的方程為.…解法二:橢圓C的離心率,得,其中橢圓C的左、右焦點分別為F1(﹣c,0),、F2(c,0),設(shè)線段PF1的中點為D,∵F1(﹣c,0),,∴,又線段PF1的中垂線過點F2,∴,即c=1,a2=2,b2=1,∴橢圓方程為(2)由題意,直線l的方程為y=k(x﹣2),且k≠0,聯(lián)立,得(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,由△=8(1﹣2k2)>0,得,且k≠0設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則有,,(*)∵∠NF2F1=∠MF2A,且由題意∠NF2A≠90°,∴,又F2(1,0),∴,即,∴,整理得2x1x2﹣3(x1+x2)+4=0,將(*)代入得,,知上式恒成立,故直線l的斜率k的取值范圍是.…21.已知函數(shù).若f(x)的最小正周期為4π.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.參考答案:【考點】正弦定理;正弦函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(1)利用倍角公式、和差公式可得f(x),利用周期公式、單調(diào)性即可得出.(2)(2a﹣c)cosB=bcosC,利用正弦定理可得(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,再利用和差公式可得:B,可得A∈,即可得出.【解答】解:(1)f(x)=sin(2ωx)+cos(2ωx)=,∴4π=,解得ω=.∴f(x)=sin.由+2kπ≤+≤+2kπ,解得4kπ﹣≤x≤+4kπ,k∈Z.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[4kπ﹣,+4kπ],k∈Z.(2)(2a﹣c)cosB=bcosC,∴(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,sinA≠0,∴cosB=,B∈(0,π),∴B=.函數(shù)f(A)=sin,∵A∈,∈.∴f(A)=.【點評】本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.22.(本小題滿分12分)某幼兒園為訓(xùn)練孩子數(shù)字運算能力,在一個盒子里裝有標(biāo)號為1,2,3,的卡片各2張,讓孩子從盒子里任取2張卡片,按卡片上最大數(shù)字的10倍計分,每張卡片被取出的可能性相同。(I)求取出的2張卡片上的數(shù)字互不相同的概率;(II)若孩子取出的卡片的計分不小于20分就得到獎勵,求孩子得到獎勵的概率.參考答案:(Ⅰ)設(shè)這六張卡片分別為A1、B1、A2、B2、A3、B3,孩子從盒子里任取2張卡片的全部基本事件為A1B1、A1A2、A1B2、A1A3、A1B3、B1A2、B1B
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