第二章非線性微分動力系統的一般性研究在對一個由非線性微分方程所描述的數學模型設計一個計算格式之前，在對該模型所表示的控制系統進行鎮定設計或其他工作之前，人們往往希望對該系統可能呈現的動態特性有一個清楚的了解。特別是當系統模型包含若干個可變參數時，人們又希望知道，這些參數的變化將如何影響整個系統的動態特性。本章主要介紹非線性微分方程的一般理論，它將是進一步研究和討論以下幾章的基礎。本章中將研究非線性常微分方程定義的動力系統：其中，是定義在某個開集中的一階連續可微函數。首先，介紹系統(2.1)的流在任何常點鄰域的拓撲結構的共同特征。然后，分別介紹非線性微分方程的解的動態特性研究中的三個主要的內容，即方程的平衡點、閉軌以及軌線的漸近性態分析。2.1常點流、直化定理本節介紹系統(2.1)的流在任何常點鄰域的拓撲結構的共同特征，即證明如下的直化定理。定理2.1設有定義在開集上的動力系統(2.1)，是它的一個常點，則存在的鄰域及其上的微分同胚，它將內的流對應為內原點鄰域的一族平行直線段。證明：由于是常點，是中的非零向量，通過非奇異線性變換（坐標軸的平移、旋轉和拉伸），可將對應為新坐標系的原點，且化為列向量（簡記為），其中表示向量的轉置，代表維零向量，而微分系統可化為與此同時，的鄰域，在線性變換的作用下化為原點參見圖2.1(b)。根據解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在的鄰域和包含的區間，使得系統(2.1)從中任何一點出發的解在上存在，且關于其變量是連續可微的。進一步，，即對任意的，其中，系統(2.1)過點有解曲線滿足。令，則得到映射。考察導算子，因。又由于，故有，其中表示階單位方陣。于是導算子。由反函數定理知，在的一個鄰域，為局部微分同胚。取的鄰域。由于均為微分同胚，因而也是微分同胚，且它將中(2.1)的常點的鄰域內的流映射為中開集內的一族平行于軸的直線段（見圖2.1）。證畢。圖2.1對于離散系統的常點，有類似結論。只需改為：在常點鄰近的離散軌道在微分同胚之下，都相應分布在一族平行直線段上。2.2平衡點及其動態特性2.2.1基本概念考慮以下非線性常微分方程定義的動力系統：定義2.1假設是系統(2.1)的一個平衡點，它是“穩定的”是指：如果對的任一個鄰域，存在—個子鄰域，使沿系統(2.1)的任何—個滿足初始條件：的解對皆在存在且位于之中(圖2.2)。進而，如果可選得一個，使得對任何都有那么被稱為是浙近穩定的平衡點或匯(圖2.3)。圖2.2穩定平衡點圖2.3漸近穩定平衡點定義2.2假設是系統(2.1)的一個平衡點，且沒有零特征值和純虛數特征值，那么被稱為是雙曲型的平衡點或非退化平衡點。顯然，對雙曲型平衡點而言如果所有特征值皆有負實部，那么是漸近穩定平衡點，而當的特征值中某些具有負實部，另一些卻具有正實部時，是不穩定的，它被稱為鞍點(saddle)；進而，如果所有持征值皆有正實部，那么是不穩定平衡點，此時被稱之為源(source)。例題2.1(Lienard方程)考慮的平衡點及其穩定性。易推得，Lienard方程的等價形式為其中，。從定義可知，該方程平衡點是，同時該系統在平衡點處Jacobian矩陣為其兩個特征值沒分別是所以，當時，平衡點是匯；而時，是源。2.2.2平衡點穩定性分析對于雙曲型平衡點而言，其穩定性完全可以由相應的線性化系統來判斷。假設是系統(1.1)的一個平衡點，那么在點系統的線性化系統定義為其中是的Jacobian矩陣，。以下定理給出了—個十分有用的結論，即雙曲型平衡點的穩定性與其相應的線性近似系統在原點的穩定性—樣。定理2.2如果沒有零或純虛數特征值，那么存在一對一連續可逆變換(稱之為同胚)，它定義于中的某個鄰域之內，將非線性方程的解映射為相應線性方程(1.2)的解，并保持解的性態不變。以上定理的證明可以在HartmanP．在1964年出版的專著中找到。這里不再引述。然而，當不是雙曲型不動點時，就無法應用上述定理，從線性化系統來判斷其穩定性，下面的Liapunov定理給出了—條途徑。定理2.3假設是系統(2.1)的一個平衡點，如果存在一個可微函數，它定義于的某個鄰域內，且①，當時。②，在中，其中是(2.1)的軌線。那么是穩定的。進而，如果在中，那么是漸近穩