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文檔簡介
老師寄語:
學好數學,登上人生的又一高度.
數學是金——析疑解難,無堅不克,所向披靡;數學是美——邏輯之美,形象之美,美不勝收;數學是恨——成也數學,敗也數學;數學是愛——我愛數學,數學愛我,數學是我獲勝的法寶。讓我們一起來享受數學的快樂,探求數學的真諦,感受數學的出神入化。曲線與方程為什么?復習回顧:我們研究了直線和圓的方程.1.經過點P(0,b)和斜率為k的直線l的方程為____________2.在直角坐標系中,平分第一、三象限的直線方程是______________3.圓心為C(a,b),半徑為r的圓C的方程為_______________________.x-y=0點的橫坐標與縱坐標相等x=y(或x-y=0)第一、三象限角平分線含有關系:x-y=0xy0(1)上點的坐標都是方程x-y=0的解(2)以方程x-y=0的解為坐標的點都在上曲線條件方程坐標系中,平分第一、三象限的直線方程是x-y=0思考?圓心為C(a,b),半徑為r的圓C的方程為:思考?(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解;(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么,這個方程叫做曲線的方程;
這條曲線叫做方程的曲線.定義:1.曲線的方程—反映的是圖形所滿足的數量關系;
方程的曲線—反映的是數量關系所表示的圖形.f(x,y)=00xy一般地,在直角坐標系中,如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系:說明:2.“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”
,闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點,也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外.(純粹性).3.“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”,闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏.(完備性).由曲線的方程的定義可知:如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點P0(x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0)=0例1
:判斷下列命題是否正確解:(1)不正確,應為x=3,(2)不正確,
應為y=±1.(3)正確.(4)不正確,
應為x=0(-3≤y≤0).(1)過點A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為︱x︱=3(2)到x軸距離等于1的點組成的直線方程為y=1(3)到兩坐標軸的距離之積等于1的點的軌跡方程為︱xy︱=1(4)△ABC的頂點A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D為BC中點,則中線AD的方程x=0例2.證明與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k>0)的點的軌跡方程是xy=±k.M第一步,設M(x0,y0)是曲線C上任一點,證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解;歸納:
證明已知曲線的方程的方法和步驟
第二步,設(x0,y0)是f(x,y)=0的解,證明點M(x0,y0)在曲線C上.練習1:下列各題中,下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎?為什么?
(1)曲線C為過點A(1,1),B(-1,1)的折線(如圖(1))其方程為(x-y)(x+y)=0;
(2)曲線C是頂點在原點的拋物線其方程為x+=0;
(3)曲線C是Ⅰ,Ⅱ象限內到x軸,y軸的距離乘積為1的點集其方程為y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221練習2:下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個?①-=0|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD練習3:若命題“曲線C上的點的坐標滿足方程f(x,y)=0”是正確的,則下列命題中正確的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲線是C
B.坐標滿足f(x,y)=0的點都在曲線C上C.方程f(x,y)=0的曲線是曲線C的一部分或曲線CD.曲線C是方程f(x,y)=0的曲線的一部分或是全部DB4.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的圖形是 (
) A.兩個點 B.四個點
C.兩條直線 D.四條直線
答案
B
3.5.下列四個圖形中,圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是 (
)
答案
D6.已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所確定的兩條曲線有兩個交點,則a的取值范圍是 (
) A.a>1 B.0<a<1 C.0<a<1或a>1 D.a∈?
答案
A
解析∵a>0,∴方程y=a|x|和y=x
+a(a>0) 的圖象大致如圖,要使方程
y=a|x|和y=(a>0)所確定的兩條曲線 有兩個交點,則要求y=a|x|在y軸右 側的斜率大于y=x+a的斜率,∴a>1.求曲線的方程要點一直接法求曲線方程例1已知一條直線l和它上方的一個點F,點F到l的距離是2.一條曲線也在l的上方,它上面的每一點到F的距離減去到l的距離的差都是2,建立適當的坐標系,求這條曲線的方程.
解:如圖所示,取直線l為x軸,過點F 且垂直于直線l的直線為y軸,建立坐標系xOy.
設M(x,y)是曲線上任一點,作MB⊥x軸,垂足為B,那么點M 屬于集合
P={M||MF|-|MB|=2}.求曲線(圖形)方程的一般步驟(1)建系:建立適當的坐標系;(2)設點:設動點坐標(x,y);(3)找限制條件:寫出適合條件p的點M集合
P={M|p(M)};(4)代入坐標
:將坐標代入p(M),列出方程f(x,y)=0
;(5)化簡:化方程f(x,y)=0為最簡形式.建設現代化檢驗練習1.在三角形ABC中,若|BC|=4,BC邊上的
中線AD的長為3,求點A的軌跡方程.設A(x,y),又D(0,0),所以化簡得:x2+y2=9(y≠0)這所求的軌跡方程.解:取B、C所在直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立直角坐標系.2.已知在直角三角形ABC中,角C為直角,點A(-1,0),點B(1,0),求滿足條件的點C的軌跡方程. (x+1)(x-1)+y2=0.
化簡得x2+y2=1.
∵A、B、C三點要構成三角形,
∴A、B、C不共線,∴y≠0,
∴點C的軌跡方程為x2+y2=1(y≠0).要點二定義法求曲線方程例2已知圓C:(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的任意弦,求所作弦的中點的軌跡方程.練習:已知定長為6的線段,其端點A、B分別在x軸、y軸上移動,線段AB的中點為M,求M點的軌跡方程.
解作出圖象如圖所示,根據直角三角
形的性質可知
所以M的軌跡為以原點O為圓心,以3為半徑的圓,
故M點的軌跡方程為x2+y2=9.要點三代入法求曲線方程例3已知動點M在曲線x2+y2=1上移動,M和定點B(3,0)連線的中點為P,求P點的軌跡方程.
解設P(x,y),M(x0,y0),
規律方法代入法求軌跡方程就是利用所求動點P(x,y)與相關動點Q(x0,y0)坐標間的關系式,且Q(x0,y0)又在某已知曲線上,則可用所求動點P的坐標(x,y)表示相關動點Q的坐標(x0,y0),即利用x,y表示x0,y0,然后把x0,y0代入已知曲線方程即可求得所求動點P的軌跡方程.練習1:已知圓C:x2+(y-3)2=9.過原點作圓C的弦OP,求OP的中點Q的軌跡方程.
解
法一(直接法)
如圖,因為Q是OP的中點,所以∠OQC=90°.
設Q(x,y),由題意,得|OQ|2+|QC|2=|OC|2,
即x2+y2+[x2+(y-3)2]=9,2.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三個頂點C在曲線y=3x2-1上移動,求△ABC的重心的軌跡方程.1.直接法:
求軌跡方程最基本的方法,直接通過建立x,y之間的關系,構成F(x,y)=0即可.①直接法②
定義法③代入法④參數法求軌跡方程的常見方法:3.代入法:這個方法又叫相關點法或坐標代換法.即利用動點P’(x’,y’)是定曲線F(x,y)=0上的動點,另一動點P(x,y)依賴于P’(x’,y’),那么可尋求關系式x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程F(x’,y’)=0中,得到動點P的軌跡方程.2.定義法:如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可用曲線定義寫出方程。4.參數法:
選取適當的參數,分別用參數表示動點坐標x,y,得出軌跡的參數方程,消去參數,即得其普通方程。例:已知點C的坐標是(2,2),過點C的直線CA與x軸交于點A,過點C且與直線CA垂直的直線與y軸交于點B,設點M是線段AB的中點,求點M的軌跡方程。yx0CABM歸納:選參數時必須首先考慮到制約動點的各種因素,然后再選取合適的參數,常見的參數有角度、直線的斜率、點的坐標、線段長度等。1.求曲線方程的步驟:建設現代化,嚴防偽漏
(建系)
(設點)
(找限制條件)(代入坐標)(化簡)
---M(x,y)---P={M|M滿足的條件}課堂小結
A.一條直線 B.一條直線去掉一點 C.一個點 D.兩個點
答案
B
解析注意當點C與A、B共線時,不符合題意,應去掉.2.在第四象限內,到原點的距離等于2的點M的軌跡方程是
(
) A.x2+y2=4B.x2+y2=4(x>0)
答案
D A.16B.14C.12D.10
答案
B
解析當E、F分別為AB、BC中點時,顯然碰撞的結果為4,當E、F分別為AB的三等分點時,可得結果為6(如圖1所示).可以猜想本題碰撞的結果
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