2.1基本不等式

第2課時

基本不等式的應用1

復習與回顧

1.什么是基本不等式？基本不等式中的等號在什么條件能成立？2.基本不等式的代數特征是怎樣的，如何從幾何圖形上進行解釋？基本不等式的常見變形：

代數特征：

兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數，當且僅當這兩個正數相等時，二者相等.

幾何解釋：

圓O的半弦CD不大于圓的半徑OD，當且僅當C與圓心O重合時，二者相等。3.用基本不等式求最值的條件是什么？什么樣的代數式可以用基本不等式求最值？一正二定三相等(1)a、b要同為正數；(2)求a+b的最值時,ab應為定值

;

求ab的最值時,a+b應為定值；(3)當a=b時,

由以上可知，若代數式可以化為兩正數之和且積為定值的形式，或是兩正數之積且和為定值的形式，并在這兩正數可以取得相等時，就可以用基本不等式來求其最值。

接下來我們就來學習一下如何用基本不等式來求代數式的最值。

例1.(1)用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，當這個矩形的邊長各為多少時，所用籬笆最短？最短的籬笆的長度是多少？解：

思考1：我們若設相鄰的兩邊長分別為xm和ym，則本題中什么值是定值，什么值是不能確定的？

探究新知(一)

思考2：本題中我們要解決的問題可以轉化上一節中的哪一種類型？xy兩鄰邊的積xy是一個定值，周長2x+2y的值

是不確定的.兩正數x，y的積xy是定值，求它們和x+y的最小值.設相鄰的兩邊長分別為xm和ym，則

∴當這個矩形的邊長均為10m時，所用的籬笆最短，最短的長度40m.

例1.(2)用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？解：

思考3：我們若設相鄰的兩邊長分別為xm和ym，則本題中什么值是定值，什么值是不能確定的？

思考4：本題中我們要解決的問題可以轉化上一節中的哪一種類型？xy周長2(x+y)是一個定值，面積xy的值是不確定的.兩正數x，y的和x+y是定值，求它們積xy的最大值.設相鄰的兩邊長分別為xm和ym，則

∴當這個矩形的邊長均為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m2.

例1.(1)用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，當這個矩形的邊長各為多少時，所用籬笆最短？最短的籬笆的長度是多少？(2)用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？簡析：(1)思考5：若本題我們只設一個未知數，你能解嗎？x

例2.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

思考1：長方體的體積公式是怎樣的？本題中的長方體哪些量是確定的，哪些量是未知的？

思考2：由前面的分析知，水池的總造價是由哪個量來決定的？若設池底相鄰的兩邊分別為xm和ym，你能寫出水池的總造價z的表達式嗎？

例2.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

思考3：本題可以用基本不等式的數學模型求z的最小值嗎？為什么？

因為本題中求z的最小值實際上是求兩個正數和x+y的最小值，而它們的積xy=1600是定值，所以可以用基本不等式。解：設池底相鄰的兩邊分別為xm和ym，水池的總造價為z元

∴將水池底設計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低總造價是2976000元

解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為y元，根據題意，得

∴當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元

例2.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

思考5：若本題我們只設一個未知數，你能解嗎？練習簡析：

1.用一段長為30m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，當這個矩形邊長為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

設矩形平等于墻的邊長為am(0<a<18),垂直于墻的邊長為bm，則(教材P48練習第2題)簡析：

2.做一個體積為32m3，高為2m的長方體紙盒，當底面邊長取什么值時，所用的紙最少？設底面相鄰的兩邊長分別為xm和ym，則2∴當底面邊長都為4m時，所用的紙最少。(教材P48練習第3題)

探究新知(二)解：(1)解：(2)練習簡析：小結1.基本不等式怎樣的，什么條件下不等式的等號成立？其常見的變形有哪兩個？2.用基本不等式求最值的條件是什么？