第講7二次函數（第一課時）第二章函數1考點搜索●二次函數的基本知識●實系數二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實根的符號與二次方程系數之間的關系●已知二次函數的解析式，求其單調區間；已知二次函數的某一單調區間，求參數的范圍●一元二次方程根的分布●二次函數在閉區間上的最值高2高考猜想高考中很多問題最后都要化歸為二次函數問題來解決，因而必須熟練掌握二次函數的性質，并能靈活運用這些性質去解決實際問題；高考中若出現二次函數與方程、不等式的綜合題，一般難度較大，平時應注意這方面能力的培養.3一、二次函數的圖象特征1.a＞0時，開口

，Δ≥0時與x軸的

為方程ax2+bx+c=0的兩實根；Δ＜0時，拋物線與x軸

，

恒成立.向上交點的橫坐標不相交ax2+bx+c＞042.

a＜0時，開口

，Δ≥0時與x軸

為方程ax2+bx+c=0的兩實根；Δ＜0時，拋物線與x軸

，

恒成立.向下交點的橫坐標不相交ax2+bx+c＜05二、二次函數的解析式1.

一般式：f(x)=

(a≠0).2.

頂點式：f(x)=

(a≠0).3.

零點式：f(x)=

(a≠0，x1，x2為兩實根).ax2+bx+ca(x-h)2+k

a(x-x1)(x-x2)6三、二次函數在閉區間上的最大值和最小值設f(x)=a(x-k)2+h(a＞0)，在區間［m，n］上的最值問題有：1.

若k∈［m，n］，則ymin=f(k)=

，ymax=max{f(m)，f(n)}.h72.

若k［m，n］，則當k＜m時，ymin=

，ymax=

;當k＞n時，ymin=

，ymax=

.(當a＜0)時，可仿此討論).f(n)f(m)f(m)f(n)81.若二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象的頂點坐標為(2,-1)，與y軸的交點坐標為(0,11)，則()A.a=1,b=-4,c=-11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=-6,c=11D.a=3,b=-12,c=119二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象的頂點坐標為(2,-1)f(x)=a(x-2)2-1，又f(x)與y軸的交點坐標為(0,11),所以f(0)=a(0-2)2-1=11，解得a=3，所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.故選D.答案：D102.設a為常常數數，，f(x)=x2-4x+3,若函函數數f(x+a)為偶偶函函數數，，則a=；f［f(a)］=.由函函數數f(x+a)為偶偶函函數數，，知f(x)關于于直直線線x=a對稱稱，，而f(x)=x2-4x+3的對對稱稱軸軸是是直直線線x=2,所以以a=2，從而而f［f(a)］=f［f(2)］=f(-1)=8.28113.已知知函函數數f(x)=x2+4x(x≥0)4x-x2(x<0),若f(2-a2)>f(a),則實實數數a的取取值值范范圍圍是是()A.(-∞∞,-1)∪∪(2,+∞∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞∞,-2)∪∪(1,+∞∞)由題知f(x)在R上是增函函數，故得2-a2>a，解得-2<a<1，故選C.C12題型一：：求二次次函數的的解析式式1.已知二次次函數f(x)滿足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值值是8，則此二次次函數的的解析式式為.13解法1：利用二次次函數的的一般式式.設f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由題意得得4a+2b+c=-1a-b+c=-1解得所以所求求二次函函數為f(x)=-4x2+4x+7.a=-4b=4c=714解法2：利用二二次函數數的頂點點式.設f(x)=a(x-m)2+n，因為f(2)=f(-1)，所以拋物物線的對對稱軸為為所以又根據題題意函數數有最大大值8，所以n=8，所以又因為f(2)=-1，所以解解得a=-4.所以15解法3：利用二二次函數數的零點點式.由已知，，f(x)+1=0的兩根為為x1=2，x2=-1，故可設f(x)+1=a(x-2)(x+1)，即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數有有最大值值［f(x)］max=8，即解得a=-4或a=0(舍去)，所以所求求函數解解析式為為16點評：用待定系系數法求求二次函函數的解解析式，，關鍵是是根據題題中條件件得到待待求系數數的方程程組，而而正確選選用二次次函數的的形式，，可簡化化求解過過程.17已知二次次函數f(x)滿足：對對任意x∈R，都有f(x)≤f(1)=3成立，且且f(0)=2，則f(x)的解析式式是()A.-x2-2x+2B.-x2+2x+2C.x2-2x+2D.x2+2x+218由已知，，當x=1時，f(x)取最大值值3，從而可設設f(x)=a(x-1)2+3(a＜0).因為f(0)=2，所以a+3=2，即a=-1.所以f(x)=-(x-1)2+3=-x2+2x+2，故選B.答案：B19題型二：：二次函函數在閉閉區間上上的最值值問題2.已知函數數的的最大大值為2，求a的值.分析：令令t=sinx，問題就就轉化為為二次函函數在閉閉區間上上的最值值問題.20令t=sinx，t∈［-1,1］，所以對對稱軸為為(1)當即即-2≤a≤2時，ymax=(a2-a+2)=2，得a=-2或a=3(舍去).(2)當a2>1，即a>2時，函數在在［-1,1］上單調調遞增，，由得得21(3)當即a<-2時，函數在在［-1,1］上單調調遞減，，由得a=-2(舍去).綜上可得得：a=-2或22點評：二次函數數在閉區區間的最最值，一一般與區區間的端端點及頂頂點值有有關；而而含參二二次函數數在閉區區間上的的最值問問題，23函數f(x)=2x2-6x+1在區間［-1，1］上的最小小值是，最大值是是.當x=1時，［f(x)］min=-3;當x=-1時，［f(x)］max=9.3924題型三：三三個二次的的關系3.已知二次函函數f(x)的二次項系系數為a，且不等式式f(x)＞-2x的解集為(1，3).(1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等等的實數根根，求f(x)的解析式；；(2)若f(x)的最大值為為正數，求求a的取值范圍圍.25(1)因為f(x)+2x＞0的解集為(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a＜0.因此f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①①由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0.②②26因為方程②②有兩個相相等的實數數根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a=1或由于a＜0，舍去a=1.將代代入①，，得f(x)的解析式為為27(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a及a＜0，可得f(x)的最大值為為由a＜0，可得故當f(x)的最大值為為正數時，，實數a的取值范圍圍是28點評：二次函數是是聯系二次次方程、二二次不等式式的樞紐，，解題中常常以二次方方程為基礎礎，以二次次函數圖象象為工具，，解決有關關方程、不不等式、函函數等綜合合問題.29已知函數f(x)=cx+1(0＜x＜c)6x2-7x+3(c≤x＜1)，滿足(1)求常數c的值；(2)解不等式f(x)＞2c.30(1)因為0＜c＜1，所以c2＜c.由即故(2)由(1)得f(x)=6x2-7x+3(≤≤x＜1).31由f(x)＞2c得，當時時，，得解得當時時，得6x2-7x+3＞1，解得綜上可得：：f(x)＞2c的解集為321.求二次函數數在某區間間內的最大大值和最小小值，是二二次函數中中的一個重重點內容.其基本思路路是先對二二次函數的的解析式配配方化為頂頂點式，再再考察其對對稱軸與給給定區間的的相對位置置關系，然然后結合圖圖象寫出最最值.332.一般地，二二次函數的的最值在區區間端點或或頂點處產產生，若