...wd......wd......wd...空間向量在立體幾何中的應用【考綱要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.3.掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直.4.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.5.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理.6.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.【知識網絡】【考點梳理】要點一、空間向量1.空間向量的概念在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。要點詮釋：⑴空間的一個平移就是一個向量。⑵向量一般用有向線段表示，同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。相等向量只考慮其定義要素：方向，大小。⑶空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。2.共線向量〔1〕定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．當我們說向量、共線〔或//〕時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．〔2〕共線向量定理：空間任意兩個向量、〔≠〕，//的充要條件是存在實數λ，使＝λ。3.向量的數量積〔1〕定義：向量，那么叫做的數量積，記作，即。〔2〕空間向量數量積的性質：①；②；③．〔3〕空間向量數量積運算律：①；②〔交換律〕；③〔分配律〕。4.空間向量基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使。假設三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。5.空間直角坐標系：〔2〕在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建設三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建設了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；6.空間直角坐標系中的坐標在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實數組，使，有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．7.空間向量的直角坐標運算律：〔1〕假設，，那么．一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。〔2〕假設，，那么，，，，，；，．夾角公式：．〔3〕兩點間的距離公式：假設，，那么或。要點二、空間向量在立體幾何中的應用1.立體幾何中有關垂直和平行的一些命題，可通過向量運算來證明．對于垂直問題，一般是利用進展證明；對于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進展證明．2.利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便．其一般方法是將所求的角轉化為求兩個向量的夾角或其補角，而求兩個向量的夾角那么可以利用向量的夾角公式。要點詮釋：平面的法向量的求法：設n=(x,y,z)，利用n與平面內的兩個不共線的向a，b垂直，其數量積為零，列出兩個三元一次方程，聯立后取其一組解，即得到平面的一個法向量〔如圖〕。線線角的求法：設直線AB、CD對應的方向向量分別為a、b，那么直線AB與CD所成的角為。〔注意：線線角的范圍[00,900]〕線面角的求法：設n是平面的法向量，是直線的方向向量，那么直線與平面所成的角為〔如圖〕。二面角的求法：設n1，n2分別是二面角的兩個面，的法向量，那么就是二面角的平面角或其補角的大小〔如圖〕3.用向量法求距離的公式設n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，那么點B到平面的距離為〔如圖〕。要點詮釋：⑴點A到平面的距離：，其中，是平面的法向量。⑵直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。⑶兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。【典型例題】類型一、空間向量的運算【例1】=〔2，2，1〕，=〔4，5，3〕，求平面ABC的單位法向量。【答案】單位法向量=±〔，－，〕.【解析】，∴單位法向量=±〔，－，〕.【總結升華】一般情況下求法向量用待定系數法。由于法向量沒規定長度，僅規定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標設為1，再求另兩個坐標。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以此題的單位法向量應有兩解。舉一反三：【變式】假設＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)〔1〕假設，求實數k的值；〔2〕假設，求實數k的值；〔3〕假設取得最小值，求實數k的值。【答案】(1)，即由，解得；(2)，，即，解得；(3)當時，取得最小值。類型二：向量法證明平行或垂直【例2】如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，,,,為的中點，為的中點〔Ⅰ〕證明：直線；〔Ⅱ〕求異面直線AB與MD所成角的大小；〔Ⅲ〕求點B到平面OCD的距離。【解析】作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建設坐標系,(1)設平面OCD的法向量為,那么即取,解得(2)設與所成的角為,,與所成角的大小為(3)設點B到平面OCD的距離為,那么為在向量上的投影的絕對值,由,得.所以點B到平面OCD的距離為【總結升華】1.用向量證明線面平行的方法有：(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示．2.用向量法證垂直問題：(1)證明線線垂直，只需證明兩直線的方向向量數量積為0；(2)證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉化為證明線線垂直；(3)證明面面垂直，只需證明兩平面的法向量的數量積為0，或利用面面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直．舉一反三：【變式】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥【解析】如圖建設空間直角坐標系A－xyz，令AB＝AA1＝4，那么A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．(1)取AB中點為N，那么N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，∴eq\o(DE,\s\up12(→))＝(－2，4，0)，eq\o(NC,\s\up12(→))＝(－2，4，0)，∴eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(NC,\s\up12(→)).∴DE∥NC，又NC在平面ABC內，DE不在平面ABC內，故DE∥平面ABC.(2)eq\o(B1F,\s\up12(→))＝(－2，2，－4)，eq\o(EF,\s\up12(→))＝(2，－2，－2)，eq\o(AF,\s\up12(→))＝(2，2，0)，eq\o(B1F,\s\up12(→))·eq\o(EF,\s\up12(→))＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，那么eq\o(B1F,\s\up12(→))⊥eq\o(EF,\s\up12(→))，∴B1F⊥EF，∵eq\o(B1F,\s\up12(→))·eq\o(AF,\s\up12(→))＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴eq\o(B1F,\s\up12(→))⊥eq\o(AF,\s\up12(→))，即B1F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥類型三：異面直線所成的角【例3】正方體ABCD-EFGH的棱長為a，點P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,求直線PQ與AD所成的角【答案】90°【解析】建設空間直角坐標系如圖，那么，,∴,，∴∴QP與AD所成的角為90°。【總結升華】建設坐標系后，求出可由求解。舉一反三：【變式】如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，側棱長為〔1〕與能否垂直請證明你的判斷；〔2〕當在上變化時，求異面直線與所成角的取值范圍。【答案】∵菱形中，于，設，分別以所在直線為軸，建設空間直角坐標系，設，那么〔1〕∵，∴，∴與不能垂直。〔2〕∵，∴，∵∴，，∵，∴設，又，∴∵，∴∴直線與所成角的取值范圍是。類型四：直線與平面所成的角【例4】如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，。試確定，使直線與平面所成角的正切值為；【解析】建設如以下列圖的空間直角坐標系，那么A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一個法向量.設與所成的角為，那么依題意有，解得.故當時，直線。舉一反三：【變式】如圖，三棱錐P-ABC中，∠ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥面ABC．(1)求直線AB和直線PC所成角的余弦值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；【答案】(1)以A為坐標原點，分別以AB、AP所在直線為y軸、z軸,以過A點且平行于BC直線為x軸建設空間直角坐標系.在直角△ABC中,∵AB=，AC=2，∴BC=1A(0,0,0)，B(0,,0)，C(1,,0)，P(0,0,1).(0,,0)，(1,,),cos<,>===∴直線AB與直線PC所成的角余弦為.(2)取平面ABC的一個法向量=(0，0，1)，設PC和面ABC所成的角為，那么sin=|cos<，>|==.∴PC和面ABC所成的角的正弦值為．類型五：二面角【例5】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2eq\r(2)，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝eq\r(5).(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1(3)設N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內，且MN⊥平面A1B1C1，求線段【解析】如以下列圖，建設空間直角坐標系，點B為坐標原點，依題意得A(2eq\r(2)，0，0)，B(0，0，0)，C(eq\r(2)，－eq\r(2)，eq\r(5))，A1(2eq\r(2)，2eq\r(2)，0)，B1(0，2eq\r(2)，0)，C1(eq\r(2)，eq\r(2)，eq\r(5))．(1)易得eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－eq\r(2)，－eq\r(2)，eq\r(5))，eq\o(A1B1,\s\up12(→))＝(－2eq\r(2)，0，0)，于是cos〈eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(A1B1,\s\up12(→))〉＝eq\f(\o(AC,\s\up12(→))·\o(A1B1,\s\up12(→)),|\o(AC,\s\up12(→))||\o(A1B1,\s\up12(→))|)＝eq\f(4,3×2\r(2))＝eq\f(\r(2),3)，所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為eq\f(\r(2),3).(2)易知eq\o(AA1,\s\up12(→))＝(0，2eq\r(2)，0)，eq\o(A1C1,\s\up12(→))＝(－eq\r(2)，－eq\r(2)，eq\r(5))．設平面AA1C1的一個法向量m＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1C1,\s\up12(→))＝0，,m·\o(AA1,\s\up12(→))＝0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)x－\r(2)y＋\r(5)z＝0，,2\r(2)y＝0.))不妨令x＝eq\r(5)，可得m＝(eq\r(5)，0，eq\r(2))．設平面A1B1C1的一個法向量n＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1C1,\s\up12(→))＝0，,n·\o(A1B1,\s\up12(→))＝0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)x－\r(2)y＋\r(5)z＝0，,－2\r(2)x＝0.))不妨令y＝eq\r(5)，可得n＝(0，eq\r(5)，eq\r(2))．那么cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2,\r(7)·\r(7))＝eq\f(2,7)，從而sin〈m，n〉＝eq\f(3\r(5),7)，所以二面角A－A1C1－B1的正弦值為eq\f(3\r(5),7).(3)由N為棱B1C1的中點，得N(eq\f(\r(2),2)，eq\f(3\r(2),2)，eq\f(\r(5),2))．設M(a，b，0)，那么eq\o(MN,\s\up12(→))＝(eq\f(\r(2),2)－a，eq\f(3\r(2),2)－b，eq\f(\r(5),2))．因為MN⊥平面A1B1C1，由(2)知平面A1B1C1的一個法向量為n＝(0，eq\r(5)，eq\r(2))，所以eq\o(MN,\s\up12(→))∥n，所以eq\f(\r(2),2)－a＝0，eq\f(\f(3\r(2),2)－b,\r(5))＝eq\f(\f(\r(5),2),\r(2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),2)，,b＝\f(\r(2),4))).故M(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),4)，0)．因此eq\o(BM,\s\up12(→))＝(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),4)，0)，所以線段BM的長|eq\o(BM,\s\up12(→))|＝eq\f(\r(10),4).【總結升華】求兩異面直線所成的角，用向量法就是求兩直線上的兩方向向量的夾角，但需注意二者范圍的區別．同樣地，利用向量法求二面角的大小，就是求兩個半平面的法向量的夾角(或夾角的補角)，在具體求解中應適中選取或求解直線的方向向量及平面的法向量．在空間直角坐標系中，常采用待定系數法求平面的法向量．舉一反三：【變式】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，，EF=2。〔Ⅰ〕求證：AE∥平面DCF；〔Ⅱ〕當AB的長為何值時，二面角A—EF—C的大小為60°【解析】如圖，以點為坐標原點，以和分別作為軸，軸和軸，建設空間直角坐標系．DDABEFCyzx設，那么，，，，．〔Ⅰ〕證明：，，，所以，，從而，，所以平面．因為平面，所以平面平面．故平面．〔Ⅱ〕解：因為，，所以，，從而解得．所以，．設與平面垂直，那么，，解得．又因為平面，，所以，得到．所以當為時，二面角的大小為．類型六：空間距離【例5】如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3).求點A到平面MBC的距離．【解析】取CD中點O，連接OB，OM，那么OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.取O為原點，直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建設空間直角坐標系如圖．OB＝OM＝eq\r(3)，那么各點坐標分別為C(1，0，0)，M(0，0，eq\r(3))，B(0，－eq\r(3)，0)，A(0，－eq\r(3)，2eq\r(3))．(1)設是平面MBC的法向量，那么eq\o(BC,\s\up12(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(BM,\s\up12(→))＝(0，eq\r(3)，eq\r(3))．由⊥eq\o(BC,\s\up12(→))得·eq\o(BC,\s\up12(→))＝0即x＋eq\r(3)y＝0；由⊥eq\o(BM,\s\up12(→))得·eq\o(BM,\s\up12(→))＝0即eq\r(3)y＋eq\r(3)z＝0.取＝(eq\r(3)，－1，1)，eq\o(BA,\s\up12(→))＝(0，0，2eq\r(3))，那么d＝＝eq\f(2\r(3),\r(5))＝eq\f(2\r(15),5).故點A到平面MBC的距離為eq\f(2\r(15),5).法二：(1)取CD中點O，連OB，OM，那么OB＝OM＝eq\r(3)，OB⊥CD，MO⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，那么MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，所以MO∥平面ABC，故M，O到平面ABC的距離相等．作OH⊥BC于H，連MH，那么MH⊥BC.求得OH＝OC·sin60°＝eq\f(\r(3),2)，MH＝eq\r(〔\r(3)〕2＋〔\f(\r(3),2)〕2)＝eq\f(\r(15),2).設點A到平面MBC的距離為d，由VA－MBC＝VM－ABC得eq\f(1,3)·S△MBC·d＝eq\f(1,3)·S△ABC·OH.即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(15),2)d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)，解得d＝eq\f(2\r(15),5).【總結升華】利用向量法求點到平面的距離的步驟如下：(1)求出該平面的一個法向量；(2)找出以該點及平面內的某點為端點的線段對應的向量；(3)利用公式d＝求距離．舉一反三：【變式】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，，,求點E到平面ACD的距離。【答案】以O為原點，如圖建設空間直角坐標系，那么設平面ACD的法向量為那么，令得是平面ACD的一個法向量。又點E到平面ACD的距離類型七、利用空間向量解決立體幾何中的探索問題【例6】在四棱錐中，//，，，平面，.〔Ⅰ〕設平面平面，求證：//；〔Ⅱ〕求證：平面；〔Ⅲ〕設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【證明】〔Ⅰ〕因為//，平面，平面，所以//平面.因為平面，平面平面，所以//.〔Ⅱ〕：因為平面，，所以以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建設空間直角坐標系，那么，，，.所以