會計學1插值計算與插值多項式插值問題描述設已知某個函數關系在某些離散點上的函數值：插值問題：根據這些已知數據來構造函數的一種簡單的近似表達式,以便于計算點的函數值，或計算函數的一階、二階導數值。第1頁/共35頁y=f(x)y=p(x)簡單的說，插值的目的就是根據給定的數據表，尋找一個解析形式的函數p(x)，近似代替f(x)第2頁/共35頁

6.1插值法的數學描述設函數y=f(x)在區間[a,b]上連續,是[a,b]上取定的n+1個互異節點,且在這些點處的函數值為已知,即若存在一個f(x)的近似函數,滿足則稱為f(x)的一個插值函數,f(x)為被插函數,點xi為插值節點,R(x)=

稱為插值余項,區間[a,b]稱為插值區間,插值點在插值區間內的稱為內插,否則稱外插

第3頁/共35頁插值的幾何意義第4頁/共35頁6.2拉格朗日（Lagrange）插值

為了構造滿足插值條件

(i=0,1,2,…,n)的便于使用的插值多項式P(x),先考察幾種簡單情形,然后再推廣到一般形式。6.2.1線性插值與拋物插值（1）線性插值線性插值是代數插值的最簡單形式。假設給定了函數f(x)在兩個互異的點，的值，,現要求用線性函數近似地代替f(x)。選擇參數a和b,使。稱這樣的線性函數P(x)為f(x)的線性插值函數。第5頁/共35頁線性插值線性插值多項式

第6頁/共35頁由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為

它也可變形為

顯然有：第7頁/共35頁記可以看出的線性組合得到，其系數分別為，稱為節點,的線性插值基函數第8頁/共35頁線性插值基函數滿足下述條件1001并且他們都是一次函數。注意他們的特點對下面的推廣很重要于是線性插值函數可以表示為與基函數的線性組合第9頁/共35頁例6.1已知,,求解:這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用線性插值

第10頁/共35頁例6.2已知y=f(x)的函數表

求線性插值多項式,

并計算x=1.5的值X13y12解:由線性插值多項式公式得第11頁/共35頁這就是二次插值問題。其幾何意義是用經過3個點的拋物線近似代替曲線

,如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。

（2）

拋物插值

拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數插值之一。設已知f(x)在三個互異點x0，x1，x2的函數值y0，y1，y2，要構造次數不超過二次的多項式使滿足二次插值條件：第12頁/共35頁拋物插值函數因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。第13頁/共35頁為了與下一節的Lagrange插值公式比較,仿線性插值,用基函數的方法求解方程組。先考察一個特殊的二次插值問題：求二次式,使其滿足條件：

這個問題容易求解。由上式的后兩個條件知:

是的兩個零點。于是再由另一條件確定系數從而導出第14頁/共35頁P(x)的參數直接由插值條件決定，即滿足下面的代數方程組：

該三元一次方程組的系數矩陣

的行列式是范德蒙行列式，當時，方程組的解唯一。第15頁/共35頁類似地可以構造出滿足條件：的插值多項式

及滿足條件：的插值多項式

這樣構造出來的稱為拋物插值的基函數取已知數據作為線性組合系數,將基函數線性組合可得容易看出,P(x)滿足條件第16頁/共35頁例6.3已知x=1,4,9的平方根值,用拋物插值公式,求(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)y0+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)y1+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7p2(x)=第17頁/共35頁例6.4已知函數y=f(x)在節點上滿足

xx0x1x2yy0y1y2

求二次多項式p(x)=a0+a1x+a2x2

使之滿足p(xi)=yii=0,1,2解:用待定系數法,將各節點值依次代入所求多項式,得解上述方程,將求出的a0,a1,a2

代入p(x)=a0+a1x+a2x2

即得所求二次多項式

第18頁/共35頁我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式p1(x)，而三個插值點可求出二次插值多項式p2(x)

。當插值點增加到n+1個時，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項式pn(x)

，如下所示：已知n+1個節點處的函數值求一個n次插值函數滿足6.2.2拉格朗日插值多項式第19頁/共35頁構造各個插值節點上的基函數滿足如下條件100001000001第20頁/共35頁與推導拋物插值的基函數類似,先構造一個特殊n次多項式的插值問題,使其在各節點上滿足

即:由條件()知,都是n次的零點,故可設第21頁/共35頁其中為待定常數。由條件,可求得

于是代入上式,得稱為關于基點的n次插值基函數(i=0,1,…,n)

第22頁/共35頁以n+1個n次基本插值多項式為基礎,就能直接寫出滿足插值條件的n次代數插值多項式。事實上，由于每個插值基函數都是n次值多項式,所以他們的線性組合是次數不超過n次的多項式

,稱形如上式的插值多項式為n次拉格朗日插值多項式。并記為

第23頁/共35頁例6.5求過點(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點插值多項式解:由Lagrange插值公式（給定的三個點在一條直線上）第24頁/共35頁例6.6已知f(x)的觀測數據

x0124f(x)19233

構造Lagrange插值多項式解

四個點可構造三次Lagrange插值多項式:基函數為

第25頁/共35頁Lagrange插值多項式為

為便于上機計算,常將拉格朗日插值多項式可改寫成

第26頁/共35頁

例6.7已知f(x)的觀測數據

x1234f(x)0-5-63構造插值多項式

解:四個點可以構造三次插值多項式,將數據代入插值公式，有

這個例子說明p(x)的項數不超過n+1項，但可以有缺項。第27頁/共35頁x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=p(x)ab在插值區間a,b上用插值多項式p(x)近似代替f(x),除了在插值節點xi上沒有誤差外，在其它點上一般是存在誤差的。若記R(x)=f(x)-p(x)則R(x)就是用p(x)近似代替f(x)時的截斷誤差,或稱插值余項我們可根據后面的定理來估計它的大小。6.2.3插值多項式的誤差

第28頁/共35頁定理設f(x)在a,

b有n+1階導數，x0,x1,…,xn為a,b上n+1個互異的節點,p(x)為滿足

p(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n)的n次插值多項式，那么對于任何xa,b有插值余項其中a<<b

且依賴于x第29頁/共35頁＞0，使得||≤x∈(a,b)由于(x)一般無法確定，因此式R(x)只能用作余項估計。如果在區間(a,b)上有界，即存在常數

則有余項估計

第30頁/共35頁對于線性插值，其誤差為對于拋物插值（二次插值），其誤差為第31頁/共35頁例6.8已知=100,=121