會計學1D冪級數的應用一、近似計算例1.

計算的近似值,精確到解:

第1頁/共25頁例2.

計算的近似值,使準確到解:

已知故令得于是有用此式求ln2計算量大第2頁/共25頁在上述展開式中取前四項,第3頁/共25頁說明:在展開式中,令得具此遞推公式可求出任意正整數的對數.如(n為自然數),第4頁/共25頁例3.

利用求誤差.解:

先把角度化為弧度(弧度)的近似值,并估計第5頁/共25頁(取

例4.

計算積分的近似值,精確到解:第6頁/共25頁則n

應滿足則所求積分近似值為欲使截斷誤差第7頁/共25頁例5.

計算積分的近似值,精確到解:

由于故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數在

x=0處的值為1,則它在積分區間上連續,且有冪級數展開式:第8頁/共25頁二、微分方程的冪級數解法代入原方程,比較同次冪系數可定常數由此確定的級數①即為定解問題在收斂區間內的解.①設所求解為冪級數解法本質上就是待定系數法

1.一階微分方程的情形第9頁/共25頁例6.解:根據初始條件,設所求特解為代入原方程,得比較同次冪系數,得故所求解的冪級數前幾項為第10頁/共25頁2.二階齊次線性微分方程問題定理:則在－R<x<R

內方程②必有冪級數解:②設P(x),Q(x)在(－R,R)內可展成x

的冪級數,(證明略)此定理在數學物理方程及特殊函數中非常有用,很多重要的特殊函數都是根據它從微分方程中得到的.第11頁/共25頁例7.的一個特解.解:設特解為代入原方程整理得比較系數得:可任意取值,因是求特解,故取從而得當n>4時,第12頁/共25頁因此注意到:此題的上述特解即為第13頁/共25頁三、歐拉(Euler)公式則稱③

收斂

,且其和為絕對收斂收斂.若收斂,若對復數項級數③絕對收斂則稱③

絕對收斂.由于,故知歐拉第14頁/共25頁定義:

復變量的指數函數為易證它在整個復平面上絕對收斂.當y=0時,它與實指數函數當x=0時,的冪級數展式一致.第15頁/共25頁（歐拉公式）（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復數的指數形式則歐拉第16頁/共25頁據此可得(德莫弗公式)利用冪級數的乘法,不難驗證特別有第六節作業

P2911(1),(3);2(2)；3(1),(3);4(2)第七節第17頁/共25頁

備用題1.(1)驗證函數滿足微分方程(2)利用(1)的結果求冪級數的和.(2002考研)

解:(1)第18頁/共25頁所以(2)由(1)的結果可知所給級數的和函數滿足其特征方程:特征根:∴齊次方程通解為設非齊次方程特解為代入原方程得故非齊次方程通解為第19頁/共25頁代入初始條件可得故所求級數的和第20頁/共25頁2.解:求解勒讓德(Legendre)方程展成冪級數,故方程滿足定理條件.設方程的解為代入④:④因方程特點,不用將P,Q

進行展開定理第21頁/共25頁整理后得:比較系數,得例如:第22頁/共25頁于是得勒讓德方程的通解:上式中兩個級數都在(－1,1)內收斂,可以任意取,它們是方程的兩個線性無關特解.第23頁/共25頁歐拉(1707–1783)瑞士數學家.他寫了大量數學經典著作,如《無窮小分析引論》,《微還寫了大量力學,幾何學,變分法教材.他在工作期間幾乎每年都完成800頁創造性的論文.他的最大貢獻是擴展了微積分的領域,要分支(如無窮級數,微分方程)