16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering1自動控制原理

（第19講）§5.線性系統的頻域分析與校正§5.1頻率特性的基本概念§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）§5.3對數頻率特性（Bode圖）§5.4頻域穩定判據§5.5穩定裕度§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能§5.7閉環頻率特性

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering2自動控制原理§5.4頻域穩定判據16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering3

主要內容幅角定理奈魁斯特穩定判據奈氏穩定判據在Ⅰ、Ⅱ型系統中的應用在波德圖上判別系統穩定性§5.4頻域穩定判據16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering4穩定性（Stability）Forstability,allrootsofthecharacteristicequationmustlieintheleft-halfsplane.

判別系統穩定性的方法除了直接求解特征方程的根外，前面已經介紹了代數判據和根軌跡法。

在系統含有時滯環節時，代數判據法無能為力，根軌跡法雖然有效，但很麻煩。不能用于研究如何調整系統結構參數來改善系統穩定性及性能的問題.

奈氏判據可由開環頻率特性直接判定閉環系統的穩定性;可研究如何調整系統結構參數改善系統穩定性及性能問題.而且，他所使用的開環頻率特性可以通過實驗測取，這對于不易建模的實際系統很有意義。同時，他不僅僅用于單變量系統，也推廣到多變量系統，不僅用于線性系統，也可推廣用來分析某些非線性系統的穩定性。

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering5映射復變函數函數S平面F平面映射周線：復平面上的一條封閉曲線。假設定義域為一周線，其映射會如何？幅角定理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering6含有零點的映射（觀察幅角）s周線觀察：s包圍零點沿abcd順時針變化一周，F(s)在F平面中包圍原點沿F(a)F(b)F(c)F(d)順時針變化一周。F周線問題：s沿周線變化一周，其函數F(s)有怎樣的變化？1、周線包圍零點觀察：s順時針變化一周，F(s)也順時針變化一周，但不包圍原點。2、周線不包圍零點問題：周線包圍Z個零點，又如何呢？幅角定理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering7含有極點的映射（觀察幅角）s周線觀察：s包圍極點沿abcd順時針變化一周，F(s)在F平面中包圍原點沿F(a)F(b)F(c)F(d)逆時針變化一周。F周線問題：s沿某周線變化一周，其函數F(s)怎樣變化？1、周線包圍極點觀察：s順時針變化一周，F(s)也順時針變化一周，但不包圍原點。2、周線不包圍零點問題：周線包圍P個極點呢？幅角定理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering8MappingTheorem幅角定理幅角定理

點s在S平面內某周線上順時針繞行一周即周線內零（極點）點與s所成向量順時針變化360°時，F(s)在F平面內對應的映射周線上繞原點順（逆）時針繞行一周（或對應向量順時針變化360°）。

注意：S平面上周線外的零/極點不會影響其映射周線對F平面原點的繞行周數。推論：

若F(s)在s周線內有Z個零點和P個極點，且s繞s周線順時針變化一周，則對應的點F(s)沿映射的周線順時針包圍原點N=Z–P

周。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering9設F(s)被包圍有N:s繞奈氏路徑一周時，F(jw)包圍[F]平面(0,j0)點的圈數P個極點(開環極點)Z個零點(閉環極點)Z=2P=1s繞路徑轉過一周，F(jw)繞[F]平面原點轉過的角度jF(w)為幅角定理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering10幅角定理

設負反饋系統的開環傳遞函數為：，其中： 為前向通道傳遞函數，為反饋通道傳遞函數。閉環傳遞函數為：，如下圖所示：令：則開環傳遞函數為：……………(a)閉環傳遞函數為：……………(b)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering11

顯然，輔助方程即是閉環特征方程。其階數為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：。式中，為F(s)的零、極點。由上頁(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點為開環傳遞函數的極點；F(s)的零點為閉環傳遞函數的極點；將閉環特征方程與開環特征方程之比構成一個輔助方程，得：……………..(c)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering12F(s)是復變量s的單值有理函數。如果函數F(s)在s平面上指定的區域內是解析的，則對于此區域內的任何一點都可以在F(s)平面上找到一個相應的點，稱為在F(s)平面上的映射。

同樣，對于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應的封閉曲線（為的映射）。

若N為正，表示順時針運動，包圍原點；

若N為0，表示順時針運動，不包圍原點；

若N為負，表示逆時針運動，包圍原點。[幅角定理]：s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線移動一周時，在F(s)平面上相對應于封閉曲線將以順時針方向繞原點旋轉N圈。N，z，p的關系為：N=z-p。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering13二、奈魁斯特穩定判據：

對于一個控制系統，若其特征根處于s右半平面，則系統是不穩定的。對于上面討論的輔助方程，其零點恰好是閉環系統的極點，因此，只要搞清F(s)的的零點在s右半平面的個數，就可以給出穩定性結論。如果F(s)的右半零點個數為零，則閉環系統是穩定的。

應用開環頻率特性研究閉環系統的穩定性，如果開環頻率特性是已知的，設想：

如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數應為：

當已知開環右半極點數時，便可由N判斷閉環右極點數。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering14這里需要解決兩個問題：1、如何構造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足幅角條件的？2、如何確定相應的映射F(s)對原點的包圍次數N，并將它和開環頻率特性相聯系？它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓；

；Ⅲ部分是負虛軸，。第1個問題：先假設F(s)在虛軸上沒有零、極點。按順時針方向做一條曲線包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：ⅠⅡⅢ16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering15F(s)平面上的映射是這樣得到的：以代入F(s)并令從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由

，得第二部分的映射；令從，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計算，式中： 是F(s)在s右半平面的零點數和極點數。確定了N，可求出 。當時，系統穩定；否則不穩定。第2個問題：輔助方程與開環頻率特性的關系。我們所構造的的輔助方程為，為開環頻率特性。因此，有以下三點是明顯的：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering16②F(s)對原點的包圍，相當于對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點的包圍次數N與對(-1,j0)點的包圍的次數一樣。奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對應，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關于實軸的對稱。③F(s)的極點就是的極點，因此F(s)在右半平面的極點數就是在右半平面的極點數。①由可求得，而是開環頻率特性。一般在中，分母階數比分子階數高，所以當時，，即F(s)=1。（對應于映射曲線第Ⅱ部分）16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering17F(s)與的關系圖。ⅠⅡⅢ16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering18

根據上面的討論，如果將幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將幅角定理用于判斷閉環控制系統的穩定性。[奈魁斯特穩定判據]：若系統的開環傳遞函數在右半平面上有個極點，且開環頻率特性曲線對(-1,j0)點包圍的次數為N，（N>0順時針，N<0逆時針），則閉環系統在右半平面的極點數為：。若，則閉環系統穩定，否則不穩定。[奈魁斯特穩定判據的另一種描述]：設開環系統傳遞函數在右半s平面上的極點數為，則閉環系統穩定的充要條件為：在 平面上的開環頻率特性曲線極其映射當從變化到時，將以逆時針的方向圍繞(-1,j0)點圈。對于開環系統穩定的情況，，則閉環系統穩定的充要條件是開環頻率特性曲線極其映射不包圍(-1,j0)點。不穩定的閉環系統在s右半平面的極點數為：。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering19[例5-1]開環傳遞函數為：，試用奈氏判據判斷閉環系統的穩定性。[解]：開環系統的奈氏圖如右。在s右半平面的極點數為0，繞(-1,j0)點的圈數N=0，則閉環系統在s右半平面的個數： 。故閉環系統是穩定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering20[例5-2]設開環系統傳遞函數為：，試用奈氏判據判斷閉環系統的穩定性。[解]：開環極點為-1，-1j2，都在s左半平面所以。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時針圍繞(-1,j0)點2圈。所以閉環系統在s右半極點數為： ，閉環系統是不穩定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering21自動控制原理

（第20講）§5.線性系統的頻域分析與校正§5.1頻率特性的基本概念§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）§5.3對數頻率特性（Bode圖）§5.4頻域穩定判據§5.5穩定裕度

§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能§5.7閉環頻率特性

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering22回顧奈氏周線與奈氏曲線NyquistContour上面的極坐標圖對稱于實軸因為模相同，相位相反坐標原點(n-m)(-90°)實軸上的點16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering23回顧

奈魁斯特穩定判據[奈魁斯特穩定判據]：若系統的開環傳遞函數在右半平面上有個極點，且開環頻率特性曲線對(-1,j0)點包圍的次數為N，（N>0順時針，N<0逆時針），則閉環系統在右半平面的極點數為：。若，則閉環系統穩定，否則不穩定。[奈魁斯特穩定判據的另一種描述]：設開環系統傳遞函數在右半s平面上的極點數為，則閉環系統穩定的充要條件為：在 平面上的開環頻率特性曲線極其映射當從變化到時，將以逆時針的方向圍繞(-1,j0)點圈。對于開環系統穩定的情況，，則閉環系統穩定的充要條件是開環頻率特性曲線極其映射不包圍(-1,j0)點。不穩定的閉環系統在s右半平面的極點數為：。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering24[例5-3]系統結構圖如右：試判斷閉環系統的穩定性并討論穩定性和k的關系。-[解]：開環系統奈氏圖是一個半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時，包圍(-1,j0)點，k<1時不包圍(-1,j0)點。由圖中看出：當k>1時，奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點一圈，N=-1，而，則閉環系統是穩定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering25臨界穩定的概念

最小相位系統當G(jω)過(-1,j0)點時，閉環系統臨界穩定。G(jω)曲線過(-1,j0)點時，說明有這么一個點

G(jω)=1同時成立！特點：∠

G(jω)

=-180o0j1-1G(jω)N=zP16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering26編程題編寫程序求臨界頻率和臨界增益。閉環被控對象如下它的臨界震蕩頻率（弧度）滿足方程：

它的臨界增益k滿足方程：symsw;solve('-0.15*w-atan(0.5*w)-atan(0.4*w)=-pi')w=ans;k=sqrt((0.5*w)^2+1)*sqrt((0.4*w)^2+1)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering27特殊情況對于Ⅰ、Ⅱ型的開環系統

上面討論的奈魁斯特判據和例子，都是假設虛軸上沒有開環極點，即開環系統都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于Ⅰ、Ⅱ型的開環系統，由于在虛軸上（原點）有極點，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環系統的穩定性。為了解決這一問題，需要重構奈魁斯特路徑。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering28三、奈魁斯特穩定判據在Ⅰ、Ⅱ型系統中的應用：具有開環0極點系統，其開環傳遞函數為：

可見，在原點有重0極點。也就是在s=0點，不解析，若取奈氏路徑同上時（通過虛軸的整個s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經過原點而仍然能包圍整個s右半平面，重構奈氏路徑如下：以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時的奈氏路徑如下：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering29SpecialCaseG(s)involvespolesonthejωaxis為保證Nyquist周線不穿越G(s)的極點，把原點附近的周線設置為用無窮小半徑逆時針半周繞行。NyquistContour無窮大半徑順時針半周無窮大半徑順時針一周16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering30(b)對于Ⅱ型系統：將奈氏路徑中的點代入中得：所以這一段的映射為半徑為，角度從變到的整個圓（順時針）。所以這一段的映射為半徑為，角度從變到的右半圓。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering31[結論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據仍可應用于Ⅰ、Ⅱ型系統。[例5-4]設Ⅰ型系統的開環頻率特性如下圖所示。開環系統在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據判斷閉環系統穩定性。[解]：顯然這是1型系統。先根據奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環系統是穩定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering32Type1system令虛部為0，求得與實軸交點的頻率及實部坐標值為欲使閉環系統穩定，則Nyquist曲線不包圍(-1,j0)，所以[例5-5]已知開環特性，試分析系統閉環后的穩定性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering33[例5-6]某Ⅱ型系統的開環頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據判斷閉環系統穩定性。[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環系統是不穩定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering34通常，只畫出的開環奈氏圖，這時閉環系統在s右半平面上的極點數為：。式中，為變化時，開環奈氏圖順時針包圍(-1,j0)點的圈數。不包圍(-1,j0)點，0型系統包圍(-1,j0)點，Ⅰ型系統和Ⅱ型系統對應的奈魁斯特路徑分別為：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering35這時奈魁斯特穩定判據可以描述為：設開環系統傳遞函數在右半平面的極點為P，則閉環系統穩定的充要條件是：當從 時，頻率特性曲線在實軸段的正負穿越次數差為。

頻率特性曲線對(-1,j0)點的包圍情況可用頻率特性的正負穿越情況來表示。當增加時，頻率特性從上半s平面穿過負實軸的段到下半s平面，稱為頻率特性對負實軸的段的正穿越（這時隨著的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時針包圍(-1,j0)點。反之稱為負穿越。正穿越負穿越16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering36四、在對數坐標圖上判斷系統的穩定性：

開環系統的極坐標圖（奈氏圖）和對數坐標圖（波德圖）有如下的對應關系：1、奈氏圖上單位圓對應于對數坐標圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負實軸對應于對數坐標圖上的-180度相位線。

奈氏圖頻率特性曲線在上的正負穿越在對數坐標圖上的對應關系：在對數坐標圖上的范圍內，當增加時，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因為相角值增加了。反之稱為負穿越。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering37對照圖如下：正穿越負穿越正穿越負穿越相角方向為正

增加時，相角增大對數坐標圖上奈氏穩定判據如下：

設開環頻率特性在s右半平面的極點數為P，則閉環系統穩定的充要條件是：對數坐標圖上幅頻特性的所有頻段內，當頻率增加時，對數相頻特性對-180度線的正負穿越次數差為P/2。閉環系統右半s極點數為：，式中為正負穿越次數差。若Z=0，閉環系統穩定；若Z>0，閉環系統不穩定。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering38五、最小相位系統的奈氏判據：開環頻率特性在s右半平面無零點和極點的系統稱為最小相位系統。最小相位系統閉環穩定的充要條件可簡化為：奈氏圖（開環頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點。因為若N=0，且P=0，所以Z=0。奈氏圖幅值和相角關系為：當時當時，式中，分別稱為相角、幅值穿越頻率上述關系在對數坐標圖上的對應關系:當時當時，16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering39小結

幅角定理。滿足該定理的條件。N=z-p

輔助方程。其極點為開環極點，其零點為閉環極點。奈奎斯特穩定判據。幾種描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系統的奈氏路徑極其映射；最小相位系統的奈氏判據；對數坐標圖上奈氏判據的描述。

對數頻率特性圖和奈奎斯特頻率特性圖的關系。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering40第五節穩定裕度16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering41自動控制原理

（第20講）§5.線性系統的頻域分析與校正§5.1頻率特性的基本概念§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）§5.3對數頻率特性（Bode圖）

§5.4頻域穩定判據§5.5穩定裕度

§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能§5.7閉環頻率特性

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering42j01ωcωgG(jω)G(jωx)∠G(jωc)=–180oG(jωg)h=1穩定裕度的定義-116一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering43求穩定裕度步驟(補充)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering44判穩例題(補充)已知單位反饋系統開環傳遞函數要求:1.

繪制奈氏曲線2.

用奈氏判據判穩

3.

解:1起點:終點:求交點:2.ImRe0可見系統不穩定!不能由γ和h判穩吧!3.16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering45

當頻率特性曲線穿過(-1,j0)點時，系統處于臨界穩定狀態。這時： 。對于最小相位系統，可以用 和來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點的程度，或稱為穩定裕度。穩定裕度越大，穩定性越好。[定義]：和為幅值穩定裕度和相位穩定裕度。在對數坐標圖上，用表示的分貝值。即16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering46顯然，當時，即和時，閉環系統是穩定的否則是不穩定的。對于最小相位系統，和是同時發生或同時不發生的，所以經常只用一種穩定裕度來表示系統的穩定裕度。常用相角裕度。[幅值穩定裕度物理意義]：穩定系統在相角穿越頻率處將幅值增加倍（奈氏圖）或增加分貝（波德圖），則系統處于臨界狀態。若增加的倍數大于倍（或分貝），則系統變為不穩定。比如，若增加開環放大系數K，則對數幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變。可見，開環放大系數太大，容易引起系統的不穩定。[相位穩定裕度的物理意義]：穩定系統在幅值穿越頻率處將相角減小度，則系統變為臨界穩定；再減小，就會變為不穩定。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering47自動控制原理

（第21講）§5.線性系統的頻域分析與校正§5.1頻率特性的基本概念§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）§5.3對數頻率特性（Bode圖）

§5.4頻域穩定判據§5.5穩定裕度

§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能

§5.7閉環頻率特性

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering48對于沒有正實部零極點（最小相位）系統，可以用 和來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點的程度，或稱為穩定裕度。穩定裕度越大，穩定性越好。[定義]：和為幅值穩定裕度和相位穩定裕度。在對數坐標圖上，用表示的分貝值。即課程回顧16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering49課程回顧穩定裕度的概念(開環頻率指標)穩定裕度的定義穩定裕度計算方法的幾何意義截止頻率相角裕度相角交界頻率幅值裕度的物理意義穩定裕度的意義16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering50Phase&GainMargininBodeDiagrams16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering51穩定裕度計算解法I：由幅相曲線求例，求(1)令試根得16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering52(2.1)令可得16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering53(2.2)將G(jw)分解為實部、虛部形式令得代入實部16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering54由L(w):得解法II：由Bode圖求16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering55解.作L(w)求法I:例，求法II:16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering56ExampleObtainthephaseandgainmarginofthesystemshownbelowforthecasewhereK=10andK=100.G=zpk([],[0-1-5],10);[Gm,Pm,wc,wg]=margin(G)G=zpk([],[0-1-5],100);[Gm,Pm,wc,wg]=margin(G)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering57當增益從k=10增大到k=100時，幅值特性曲線上移20dB，相位特性曲線不變。這時系統的相位穩定裕度和幅值裕度分別是-12dB和-30度。因此系統在k=10時是穩定的，在k=100時是不穩定的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering58帶有延遲環節系統的相位裕度的求法：設系統的開環傳遞函數為：，我們知道增加了延遲環節后系統的幅值特性不變，相角特性滯后了。表現在奈氏圖和波德圖上的情況如下（假設Gk(s)）為最小相位系統。左圖中，紅色曲線為Gk(s)頻率特性，蘭色曲線為增加了延遲環節后的頻率特性。其幅值和相角穿越頻率分別為和，相角裕度分別為。顯然增加了延遲環節后，系統的穩定性下降了。若要確保穩定性，其相位裕度必須大于零。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering59[穩定裕度概念使用時的局限性]：1、在高階系統中，奈氏圖中幅值為的點或相角為-180度的點可能不止一個，這時使用幅值和相位穩定裕度可能會出現歧義；2、除純延遲外的非最小相位系統不能使用該定義；3、有時幅值和相位穩定裕度都滿足，但仍有部分曲線很靠近(-1,j0)點，這時閉環系統的穩定性依然不好。見下圖：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering60自動控制原理§5.6利用開環頻率特性

分析系統的性能§5.6.1L(w)低頻漸近線與系統穩態誤差的關系§5.6.2L(w)中頻段特性與系統動態性能的關系§5.6.2L(w)高頻段對系統性能的影響

（第21講）16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering61§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能例1

最小相角系統j(w)~L(w)

之間的對應關系(K=1)16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering62§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能三頻段理論1.L(w)低頻段?系統穩態誤差ess2.L(w)中頻段?系統動態性能(s,ts)3.L(w)高頻段?系統抗高頻噪聲能力最小相角系統L(w)曲線斜率與j(w)的對應關系希望L(w)以-20dB/dec斜率穿越0dB線，并保持較寬的頻段16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering63Bode’sTheorem

第一，線性最小相位系統的幅頻特性與相頻特性之間的關系是一一對應的。第二，對數幅頻特性漸進線的斜率與相角有對應的關系。如果在整個頻率范圍內斜率是固定的，則他們的關系為-20γdB←→-90°γ。如果在整個頻率范圍內幅頻特性斜率是變化的，則在某一頻率ω0處的相角φ(ω0)，主要地取決于ω0處的那一段對數幅頻特性的斜率，其他段的斜率，隨著離ω0越遠，影響越小。

由Bode定理知，若要求系統相角裕量在30?-60?，則系統開環對數幅頻曲線在幅穿頻率及其附近的斜率通常最好為-20dB/dec，且維持該斜率的頻率范圍越寬，相角裕量就越大，系統的相對穩定性就越好。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering64§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能中頻段三頻段理論高頻段低頻段對應性能希望形狀L(w)系統抗高頻干擾的能力開環增益K系統型別v穩態誤差

ess截止頻率wc相角裕度g動態性能陡，高緩，寬低，陡頻段三頻段理論并沒有提供設計系統的具體步驟，但它給出了調整系統結構改善系統性能的原則和方向16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering65§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能關于三頻段理論的說明：①各頻段分界線沒有明確的劃分標準；②與無線電學科中的“低”、“中”、“高”頻概念不同；③不能用是否以-20dB/dec過0dB線作為判定

閉環系統是否穩定的標準；④只適用于單位反饋的最小相角系統。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering66§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能(1)二階系統

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering67§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering68§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能例2

已知系統結構圖，求wc，并確定s,ts。解.繪制L(w)曲線按時域方法：16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering69§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能(2)高階系統

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering70例3

已知最小相角系統L(w)如圖所示，試確定(1)開環傳遞函數G(s);(2)由g確定系統的穩定性；(3)將L(w)右移10倍頻，討論對系統的影響。解.(1)(3)將L(w)右移10倍頻后有(2)L(w)右移后wc

增大不變→s不變→ts減小穩定§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering71自動控制原理

（第21講）§5.線性系統的頻域分析與校正§5.1頻率特性的基本概念§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）§5.3對數頻率特性（Bode圖）§5.4頻域穩定判據§5.5穩定裕度§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能§5.7閉環頻率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering72§5.7閉環頻率特性研究閉環頻率特性的必要性閉環頻率特性的一些特征量在實際工程中應用

十分廣泛；

(2)通過實驗方法很容易得到系統的閉環頻率特性；(3)通過閉環頻率特性可以估算系統的性能指標。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering73§5.7.1閉環頻率特性的幾個特征量

例2一階系統閉環頻率特性(1)零頻值(2)rrMw諧振頻率諧振峰值對二階欠阻尼系統(3)帶寬頻率下降到0.707對應的頻率值

§5.7閉環頻率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering74帶寬的物理意義：因為，當時，表示 ，隨著時，表示 ，輸出衰減了0.707倍或-3分貝。再增加，輸出衰減得更厲害，這時對實際系統來說，已不能正常使用了。

在實際應用中，一般用（或略大一些）來估計。顯然這種估計是偏于保守的。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering75§5.7.2閉環頻域指標與時域指標的關系(1)二階系統

§5.7閉環頻率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering76解.

依圖，可以確定是欠阻尼二階系統由例3

實驗測得某閉環系統的對數幅頻特性如圖所示，試確定

系統的動態性能。解出可確定§5.7閉環頻率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering77(2)高階系統

§5.7閉環頻率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering78解.依題意，當時

要求即例4

一臺筆錄儀的傳遞函數為，要求在5Hz以內時，

記錄儀的振幅誤差不大于被測信號的10%，試確定記錄儀應

有的帶寬§5.7閉環頻率特性16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering79課程小結用頻域分析方法估算系統的動態性能實驗測試穩定性穩定裕度閉環頻率

特征量奈氏判據對數判據16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering80本次課程作業5—1,2,45（1，2），13自動控制原理16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering81頻域分析法小結（1）

自動控制原理4～5章測驗題

一.單項選擇題(在每小題的四個備選答案中，選出一

個正確的答案，將其題號寫入題干的○內)1．已知系統開環傳遞函數

○若要繪制系統根軌跡，則其等效開環傳遞函數應該是

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering82頻域分析法小結（2）

○2．給出單位負反饋系統的開環傳遞函數，當K=0→∞

變化時，應繪制0o根軌跡的是

3．閉環系統幅頻特性如圖所示，則系統帶寬頻率是

○16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering83頻域分析法小結（3）

○4．開環對數幅頻特性的中頻段決定A．系統的型別；B．系統的抗干擾能力；C．系統的穩態誤差；D．系統的動態性能。○5．最小相角系統閉環穩定的充要條件是A．奈奎斯特曲線不包圍(-1,j0)點；B．奈奎斯特曲線包圍(-1,j0)點；C．奈奎斯特曲線順時針包圍(-1,j0)點；D．奈奎斯特曲線逆時針包圍(-1,j0)點。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering84頻域分析法小結（4）

○6．開環對數頻率特性沿w軸向左平移時

A.

wc

減小，g增加；

B.

wc減小，g不變；C.

wc增加，g不變；

D.

wc不變，g也不變。○7．兩典型二階系統的超調量s﹪相等，則此兩

系統具有相同的A.自然頻率wn；B.相角裕度g;

C.阻尼振蕩頻率wd；D.開環增益K。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering85頻域分析法小結（5）

○8．單位反饋系統的開環傳遞函數其幅值裕度h等于

○9．已知串聯校正裝置的傳遞函數為

則它是A．相位遲后校正；

B．遲后超前校正；

C．相位超前校正；

D．Ａ、Ｂ、Ｃ都不是。16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering86頻域分析法小結（6）

○10．開環系統Bode圖如圖所示，對應的開環傳遞

函數G(s)應該是16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering87頻域分析法小結（7）

○11.單位反饋最小相角系統的開環對數頻率特性如圖

所示，要用串聯校正方式使校正后系統滿足條件

，則應采用

Ａ．超前校正；Ｂ．遲后校正；Ｃ．遲后-超前校正；

D．用串聯校正方式

不可能滿足要求。

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering88頻域分析法小結（8）

○12．典型二階系統的超調量越大，反映出系統

Ａ．頻率特性的諧振峰值越小；Ｂ．阻尼比越大；Ｃ．閉環增益越大；Ｄ．相角裕度越小。

16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering89頻域分析法小結（9）

二.多項選擇題(在每小題的五個備選答案中，選出

二至五個正確的答案，將其號碼寫入題干的

○○○○○內，正確答案沒有選全、多選或有

選錯的，該題無分，每小題2分，共分)1．系統的頻率特性

A．是頻率的函數；B．與輸入幅值有關；

C．與輸出有關；D．與時間t有關；

E．由系統的結構、參數確定。

○○○○○16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering90頻域分析法小結（10）

○○○○○2．根據下列開環傳遞函數作K=0→∞變化的根軌跡,

應畫常規根軌跡的有16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering91頻域分析法小結（11）

3．最小相角系統的穩定性,可由下列條件判定

A．開環零、極點分布；

B．閉環特征方程；

C．根軌跡及開環增益；

D．開環幅相頻率特性；

E．開環對數頻率特性。

○○○○○16一月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering92頻域分析法小結（12）

○○○○○4．指出下列由閉環頻率特性引出的指標

A．帶寬頻率wb

；

B．相角裕度g；C．零頻值M(0)

；

D

．諧振峰值wr

；

E．截止頻率wc

。16一