第一章投影理論1第一章投影理論11.1投影法1.2點的投影1.3直線的投影1.4平面的投影1.5直線與平面及兩平面的相對位置內容21.1投影法1.2點的投影1.3直線的投影投影面投影Aa投射線投影中心BCbc物體1.1投影法投影的形成PS3投影面投影Aa投射線投影中心BCbc物體1.1投影法投影的中心投影法投射線匯交于投影中心投影法SP4中心投影法投射線匯交于投影中心投影法SP4斜投影法平行投影法投射線沿S方向相互平行SS正投影法PP投影法5斜投影法平行投影法投射線沿S方向相互平行SS正投影法PP平行投影法投射線相互平行正投影法投射線匯交于投影中心歸納投影法分類投射線類型（匯交或平行）投影面與投射線的相對位置（傾斜或垂直）中心投影法斜投影法投影法投射線傾斜投影面投射線垂直投影面正投影法6平行投影法投射線相互平行正投影法投射線匯交于投影中心歸納投影共同點（產生投影必須具備的條件）投影中心或投射方向投影面物體投影三要素SPSPSP7共同點（產生投影必須具備的條件）投影中心或投射方向投影面物體1.2點的投影Aa點的一個投影能確定點的空間位置嗎？矛盾如何解決？對！用多面投影1.點在兩投影面體系中的投影A1A2P81.2點的投影Aa點的一個投影能確定點的空間位置嗎？矛盾如兩投影面體系的建立HVOXAaa'ax展開HVOXa'aax投影軸水平投影面正面投影面水平投影正面投影1.點在兩投影面體系中的投影9兩投影面體系的建立HVOXAaa'ax展開HVOXa'aax點的投影連線與投影軸的關系點的投影到投影軸之距與點到投影面之距的關系aa'oxHVOXa'aax投影規律a'ax反映點到H面之距aax反映點到V面之距1.點在兩投影面體系中的投影10點的投影連線與投影軸的關系點的投影到投影軸之距與點到投影面之HVX水平投影面正面投影面O2.點在三投影面體系中的投影W側面投影面aa'a"YZaxayaz展開A側面投影VWHOXYYZa'aa"axaz11HVX水平投影面正面投影面O2.點在三投影面體系中的投影W投影規律點的投影連線與投影軸的關系點的投影到投影軸之距與點到投影面之距的關系2.點在三投影面體系中的投影a'aOXa'a"OZa'ax=點到H之距a'az=點到W之距aax=aaz=點到V之距OXYYZa'aa"axaz12投影規律點的投影連線與投影軸的關系點的投影到投影軸之距與點到aa"用坐標表示點的空間位置XZYYxzyy(y,z)(x,z)(x,y)OA(x,y,z)例

求a"a'13aa"用坐標表示點的空間位置XZYYxzyy(y,z)(x,例稱點A、點C為對W面的重影點()a'a"ab'bb"c'cc"點B在點A的右方、下方、前方點C在點A的正左方比較兩點的相對位置14例稱點A、點C為對W面的重影點()a'a"a直線的投影由兩點的同名投影的連線確定1.3

直線的投影a'abb'a"b"15直線的投影由兩點的同名投影的連線確定1.3直線的投影a'a1.直線對一個投影面的投影特性平行垂直傾斜直線相對投影面的位置ABABABabababP161.直線對一個投影面的投影特性平行垂直傾斜直線相對投影面的P—投影ab=ABCos1.直線對一個投影面的投影特性AB∥P—投影反映實長ab=ABABP—投影積聚成一點ab

（積聚性）ABABABabababPAB17P—投影ab=ABCos1.直線對一個投影面直線相對于投影面的位置可歸結為幾類？2.直線在三投影面體系中的投影特性直線相對于三投影面的位置直線對三投影面均傾斜—一般位置線VWH18直線相對于投影面的位置可歸結為幾類？2.直線在三投影面體系VWH直線相對于三投影面的位置直線//某一投影面投影面平行線VWH//V正平線//W側平線VWH水平線//H19VWH直線相對于三投影面的位置直線//某一投影面投影面平直線相對于三投影面的位置直線某一投影面投影面垂直線VWHVWHVWHH鉛垂線正垂線VW側垂線20直線相對于三投影面的位置直線某一投影面投影面垂直線VW一般位置線投影面平行線投影面垂直線水平線：∥H面正平線：∥V面側平線：∥W面鉛垂線：H面正垂線：V面側垂線：W面投影面平行線投影面垂直線特殊位置直線歸納直線相對于投影面的位置21一般位置線投影面平行線投影面垂直線水平線：∥H面正平線：一般位置線對H、V、W面均傾斜的直線投影特性三個投影皆為傾斜直線，且均不反映實長a"b"a'b'ab22一般位置線對H、V、W面均傾斜的直線投影特性三個投影皆為傾斜投影面平行線平行某一個投影面的直線是什么線？為什么？正平線平行V面投影特性在所平行的投影面上的投影反映實長及與其它二投影面的傾角實長另外二投影分別平行相應的投影軸一個b'b"a'a"ba一個一個23投影面平行線平行某一個投影面的直線是什么線？為什么？正平線是什么線？投影面垂直線垂直某一個投影面的直線a'a"b"b'a(b)鉛垂線為什么？垂直H面投影特性在所垂直的投影面上的投影積聚成一點另外二投影分別平行相應的投影軸且反映實長實長實長積聚性24是什么線？投影面垂直線垂直某一個投影面的直線a'a"b"b'3.屬于直線的點a'b'abc'c點的投影在直線的同名投影上點將線段分割成定比——定比定理ac/cb=a'c'/c'b'=AC/CB判定a'b'bak'k點K屬于直線AB嗎?253.屬于直線的點a'b'abc'c點的投影在直線的同名投4.兩直線的相對位置平行相交交叉垂直兩直線平行投影特性同名投影平行a'b'//c'd'ab//cd且長度成比例a'b'c'd'abcd264.兩直線的相對位置平行相交交叉垂直兩直線平行投影特AB//CD?abb'a'c'd'dc如何判斷?根據投影特性a'b'/c'd'ab/cd求第三投影擺出空間位置AB:上后下前CD：上前下后27AB//CD?abb'a'c'd'dc如何判斷?根據兩直線相交交點為共有點ABCD=KKABKCD直線的同名投影必相交交點的投影連線符合點的投影規律投影特性b'abc'd'cdk'ka'28兩直線相交交點為共有點ABCD=K直線的同名投影必兩直線交叉a'b'c'd'cabd121'2'3'4'3（）4（）ABCD?29兩直線交叉a'b'c'd'cabd121'2'3'4'3（兩直線垂直討論其中一條直線為投影面平行線的情況BC//PABBCabbc直角投影定理EFABCabcP30兩直線垂直討論其中一條直線為投BC//PABBCaba'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD，求cd例31a'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD1.4平面的投影1.平面表示法a'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc用幾何元素表示a'b'c'abc321.4平面的投影1.平面表示法a'b'c'abca'b'用跡線表示VWHXYZOPPVPHPWPzPxPy平面與投影面的交線稱為平面的跡線正面跡線水平跡線側面跡線PVPHPx33用跡線表示VWHXYZOPPVPHPWPzPxPy平面與投影VWHXYZOPPVPWPVPWPz水平面用跡線如何表示？Pz34VWHXYZOPPVPWPVPWPz水平面用跡線如何表示？PVWHXYZO鉛垂面用跡線如何表示？PVPHPWPxPyPVPHPxPwPyPy35VWHXYZO鉛垂面用跡線如何表示？PVPHPWPxPyPV2.平面的投影特性平面對一個投影面的投影特性平面//P平面P反映實形實形性積聚成直線積聚性類似圖形類似性P平面P362.平面的投影特性平面對一個投影面的投影特性平面//P平面平面在三投影面體系中的投影特性平面相對于三投影面的位置平面相于投影面的位置可歸納為幾類？VWH平面對三投影面均傾斜—一般位置平面37平面在三投影面體系中的投影特性平面相對于三投影面的位置平面平面相對于三投影面的位置平面某一投影面投影面垂直面V正垂面鉛垂面HW側垂面VWHVWHVWH38平面相對于三投影面的位置平面某一投影面投影面垂直面V正垂平面相對于三投影面的位置平面//某一投影面投影面平行面//V正平面水平面//H//W側平面VWHVWHVWH39平面相對于三投影面的位置平面//某一投影面投影面平行面//V一般位置平面投影面垂直面投影面平行面鉛垂面：H面正垂面：V面側垂面：W面水平面：∥H面正平面：∥V面側平面：∥W面特殊位置平面歸納投影面垂直面投影面平行面平面相對于投影面的位置40一般位置平面投影面垂直面投影面平行面鉛垂面：H面正垂面：一般位置平面對H、V、W均傾斜的平面投影特性在H、V、W面上的投影皆為空間平面圖形的類似圖形a'b'c'b"a"c"abc41一般位置平面對H、V、W均傾斜的平面投影特性在H、V、W面上投影面垂直面僅垂直于一個投影面的平面是什么平面？正垂面為什么？積聚性投影特性在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，且反映平面與投影面的傾角另二投影為類似圖形一個類似圖形一個a'b'c'c"b"a"acb類似圖形42投影面垂直面僅垂直于一個投影面的平面是什么平面？正垂面為什么投影面平行面平行于某一投影面的平面是什么平面？水平面為什么？投影特性在所平行的投影面上的投影反映實形另二投影分別平行于相應的投影軸平行OX軸平行OY軸abca'b'c'c"a"b"反映實形43投影面平行面平行于某一投影面的平面是什么平面？水平面為什么？3.平面內的點和直線作圖根據若直線在平面內，則該線必通過平面內的兩點；或通過平面內一點并平行于該平面內一直線。幾何定理若點在平面內，則該點必屬于平面內一直線。443.平面內的點和直線作圖根據若直線在平面內，則該線必通過平面點K在平面內，已知k'，求k例1'1k1'1k可見:在平面內取點取線二者互為條件a'c'cabk'b'a'c'cabk'b'45點K在平面內，已知k'，求k例1'1k1'1k可見:在平面4.平面內的特殊位置直線屬于平面的投影面平行線例過點C在該平面內作水平線a'b'c'bac分析直線的屬性LABC水平線Ｖ投影//OXd'dCD為所求464.平面內的特殊位置直線屬于平面的投影面平行線例過點C在該平已知AC為正平線，完成平面四邊形的水平投影例cda'b'c'd'ab47已知AC為正平線，完成平面四邊形的水平投影例cda'b'c'HABKklLP1abABP

KLPAB//HKLAB平面內垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱為平面的最大斜度線KL為平面內對H面的最大斜度線平面的最大斜度線48HABKklLP1abABP平面內垂直于投影特性klab(直角投影定理）KL與H面的傾角即為平面P與H面的傾角KL是平面內對H面傾角最大的直線HABKklLP1ab49投影特性klabKL與H面的傾角KL是平1.5直線與平面、兩平面的相對位置點、直線、平面之間的相對位置從屬關系平行關系相交關系屬于直線的點屬于平面的點屬于平面的直線直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行直線與直線相交直線與平面相交平面與平面相交垂直關系直線與平面垂直平面與平面垂直直線與直線垂直501.5直線與平面、兩平面的相對位置點、直線、平面之間的相對1.平行問題

定理

若直線平行于平面內一直線，則該直線平行于平面。反之，若直線平行于平面，則在平面內必可作一直線與該直線平行。

d'da'b'c'abck'kl'l直線//平面平面//平面511.平行問題定理d'da'b'c'abck'kl

定理

若兩平面內有一對相交直線對應平行，則該兩平面平行。a'b'c'bcae'f'd'fdeg'g52定理a'b'c'bcae'f'd'fdeg'g52過點K作直線平行已知平面c'a'b'abck'km'mn'n可作多少條直線？滿足條件的直線的軌跡是什么？例53過點K作直線平行已知平面c'a'b'abck'km'mn'n若平面為特殊位置面(如鉛垂面），過點作直線與之平行將如何？直線的水平投影應平行平面具有積聚性的投影直線的正面投影呢？作平面與該平面平行呢？mm'n'na'b'c'abck'k54若平面為特殊位置面(如鉛垂面），過點作直線與之平行將如何？直2.相交問題直線與平面相交--交點為共有點平面與平面相交--交線為共有線求交問題的本質是求共有點幾何元素相對投影面的位置均不具有積聚性投影至少其一具有積聚性投影一般位置的相交問題特殊位置的相交問題552.相交問題直線與平面相交--交點為共有點平面與平面相交-求直線與平面的交點kk'判別可見性例1b'e'ba'c'acf'ef特殊位置的相交問題K56求直線與平面的交點kk'判別可見性例1b'e'ba'c'ae'f'ef求直線與平面的交點kk'例2K57e'f'ef求直線與平面的交點kk'例2K57求二平面的交線mnn'm'例3b'a'c'abcMN58求二平面的交線mnn'm'例3b'a'c'abcMN58a'b'c'cbadfed'e'f'請同學們想一想：若兩個正垂面相交，其交線是什么線？交線為正垂線判別可見性mnm'(n')這種相交形式稱為互交59a'b'c'cbadfed'e'f'請同學們想一想：交線為正一般位置的相交問題a'd'e'b'c'aedcbPHmnm'n'k'k作圖步驟包含直線作輔助平面求輔助平面與已知平面的交線交線與已知直線的交點即為所求例1求DEABC＝KEDABCMNKP60一般位置的相交問題a'd'e'b'c'aedcbPHmnm'例2RVSV求兩平面的交線用求一般位置線面交點的方法求解結果61例2RVSV求兩平面的交線用求一般位置線面交點的方法求解結果例31'2'3'4'1234mm'5'8'58nn'P1P2RSMN12345678求兩平面的交線RVSV用“三面共點”原理求解作圖步驟作輔助平面（投影面）分別求輔助平面與二已知平面的交線求二交線的交點即為二平面交線上的點62例31'2'3'4'1234mm'5'8'58nn'P1P23.垂直問題直線與平面垂直幾何定理若一直線垂直于某平面，則此直線必垂直于該平面內的一切直線。反之若一直線垂直于某平面內二相交直線則此直線必垂直于該平面。633.垂直問題直線與平面垂直幾何定理若一直線垂直于某VHABECDc'd'a'b'ceabABP（DCE）CD//VCE//Ha'b'c'd'abce若直線垂直于平面，則直線的水平投影垂直于平面內水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于平面內正平線的正面投影直線投影方向如何確定64VHABECDc'd'a'b'ceabABP（DCE）a'例過點A作直線垂直于平面a'ab'b65例過點A作直線垂直于平面a'ab'b65兩平面垂直幾何定理若一直線垂直于某平面，則包含此直線的一切平面均垂直于該平面。反之，若兩平面相互垂直，則由平面A內任一點向平面B所作的垂線必在平面A內。66兩平面垂直幾何定理若一直線垂直于某平面，則包含例過點A作平面垂直于平面a'ab'b分析包含已知平面的垂線的平面已知平面過點A作直線已知平面包含該垂線作平面作圖步驟c'c平面ABC為所求67例過點A作平面垂直于平面a'ab'b分析包含已知平面的垂線的例求點A到BC之距a'abcb'c'分析過點A與BC垂直相交的直線段為點到直線之距作圖步驟過點A作平面SBC求BCS＝K連接AK，即為所求kk'PV此例為作兩一般位置直線垂直相交的方法s's68例求點A到BC之距a'abcb'c'分析過點A與BC垂直作圖a'b'abcc'd'd完成矩形ABCD的投影分析矩形的對邊相互平行鄰邊相互垂直本題關鍵是求b'c'作圖步驟過點B作平面AB在平面內取直線BC作AD//BCCD//BA綜合問題舉例69a'b'abcc'd'd完成矩形ABCD的投影分析矩形的對邊a'c'ab已知ABC為等邊三角形，ab//OX，完成其投影ADBC分析b'已知CB(=a'b')、c'b'，

求cbCBP實長距P之差CB實長c'b'CB距V之差c70a'c'ab已知ABC為等邊三角形，ab//OX，完成其投影小結點在三投影面體系中的投影作圖是解決一切問題的基楚熟練掌握各種位置直線、平面的投影特性特別要注意H面投影與W面投影的關系特別是特殊位置直線、平面的投影特性71小結點在三投影面體系中的投影作圖是解決一切問題的基相交問題求一般位置直線與平面的交點作圖步驟包含直線作輔助平面（投影面）求輔助平面與已知平面的交線交線與已知直線的交點即為所求求交問題的本質是求共有點求交點（線）的基本方法—輔助平面法利用“三面共點”原理求解72相交問題求一般位置直線與平面的交點包含直線作輔助平面（投垂直問題直線平面直線平面平面平面直線直線直線投影方向的確定直線的水平投影垂直于平面內水平線的水平投影，直線的正面投影垂直于平面內正平線的正面投影。73垂直問題直線平面直線平面平面平面直線直線直線投影方向綜合問題此部分是點、直線、平面的投影規律和基本作圖方法的綜合應用基本作圖方法在平面內取點取線求直線與平面的交點及兩平面的交線過點作直線及平面平行已知直線或平面過點作直線及平面垂直已知直線或平面74綜合問題此部分是點、直線、平面的投影規律和基本作圖方綜合問題類型包括

定位問題度量問題確定滿足一定條件的幾何元素的位置

—常需利用軌跡求解距離、實形、角度問題—解題的主要基礎是作直線的垂面作平面的垂線求線面交點及求線段實長75綜合問題類型包括定位問題度量問題確定滿足求解綜合問題時應注意首先進行空間分析然后確定解題步驟最后綜合運用上述知識作圖同學們應對本階段的知識及方法進行一下小結76求解綜合問題時應注意首先進行空間分析然后確定解題步驟最后綜合演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！77第一章投影理論78第一章投影理論11.1投影法1.2點的投影1.3直線的投影1.4平面的投影1.5直線與平面及兩平面的相對位置內容791.1投影法1.2點的投影1.3直線的投影投影面投影Aa投射線投影中心BCbc物體1.1投影法投影的形成PS80投影面投影Aa投射線投影中心BCbc物體1.1投影法投影的中心投影法投射線匯交于投影中心投影法SP81中心投影法投射線匯交于投影中心投影法SP4斜投影法平行投影法投射線沿S方向相互平行SS正投影法PP投影法82斜投影法平行投影法投射線沿S方向相互平行SS正投影法PP平行投影法投射線相互平行正投影法投射線匯交于投影中心歸納投影法分類投射線類型（匯交或平行）投影面與投射線的相對位置（傾斜或垂直）中心投影法斜投影法投影法投射線傾斜投影面投射線垂直投影面正投影法83平行投影法投射線相互平行正投影法投射線匯交于投影中心歸納投影共同點（產生投影必須具備的條件）投影中心或投射方向投影面物體投影三要素SPSPSP84共同點（產生投影必須具備的條件）投影中心或投射方向投影面物體1.2點的投影Aa點的一個投影能確定點的空間位置嗎？矛盾如何解決？對！用多面投影1.點在兩投影面體系中的投影A1A2P851.2點的投影Aa點的一個投影能確定點的空間位置嗎？矛盾如兩投影面體系的建立HVOXAaa'ax展開HVOXa'aax投影軸水平投影面正面投影面水平投影正面投影1.點在兩投影面體系中的投影86兩投影面體系的建立HVOXAaa'ax展開HVOXa'aax點的投影連線與投影軸的關系點的投影到投影軸之距與點到投影面之距的關系aa'oxHVOXa'aax投影規律a'ax反映點到H面之距aax反映點到V面之距1.點在兩投影面體系中的投影87點的投影連線與投影軸的關系點的投影到投影軸之距與點到投影面之HVX水平投影面正面投影面O2.點在三投影面體系中的投影W側面投影面aa'a"YZaxayaz展開A側面投影VWHOXYYZa'aa"axaz88HVX水平投影面正面投影面O2.點在三投影面體系中的投影W投影規律點的投影連線與投影軸的關系點的投影到投影軸之距與點到投影面之距的關系2.點在三投影面體系中的投影a'aOXa'a"OZa'ax=點到H之距a'az=點到W之距aax=aaz=點到V之距OXYYZa'aa"axaz89投影規律點的投影連線與投影軸的關系點的投影到投影軸之距與點到aa"用坐標表示點的空間位置XZYYxzyy(y,z)(x,z)(x,y)OA(x,y,z)例

求a"a'90aa"用坐標表示點的空間位置XZYYxzyy(y,z)(x,例稱點A、點C為對W面的重影點()a'a"ab'bb"c'cc"點B在點A的右方、下方、前方點C在點A的正左方比較兩點的相對位置91例稱點A、點C為對W面的重影點()a'a"a直線的投影由兩點的同名投影的連線確定1.3

直線的投影a'abb'a"b"92直線的投影由兩點的同名投影的連線確定1.3直線的投影a'a1.直線對一個投影面的投影特性平行垂直傾斜直線相對投影面的位置ABABABabababP931.直線對一個投影面的投影特性平行垂直傾斜直線相對投影面的P—投影ab=ABCos1.直線對一個投影面的投影特性AB∥P—投影反映實長ab=ABABP—投影積聚成一點ab

（積聚性）ABABABabababPAB94P—投影ab=ABCos1.直線對一個投影面直線相對于投影面的位置可歸結為幾類？2.直線在三投影面體系中的投影特性直線相對于三投影面的位置直線對三投影面均傾斜—一般位置線VWH95直線相對于投影面的位置可歸結為幾類？2.直線在三投影面體系VWH直線相對于三投影面的位置直線//某一投影面投影面平行線VWH//V正平線//W側平線VWH水平線//H96VWH直線相對于三投影面的位置直線//某一投影面投影面平直線相對于三投影面的位置直線某一投影面投影面垂直線VWHVWHVWHH鉛垂線正垂線VW側垂線97直線相對于三投影面的位置直線某一投影面投影面垂直線VW一般位置線投影面平行線投影面垂直線水平線：∥H面正平線：∥V面側平線：∥W面鉛垂線：H面正垂線：V面側垂線：W面投影面平行線投影面垂直線特殊位置直線歸納直線相對于投影面的位置98一般位置線投影面平行線投影面垂直線水平線：∥H面正平線：一般位置線對H、V、W面均傾斜的直線投影特性三個投影皆為傾斜直線，且均不反映實長a"b"a'b'ab99一般位置線對H、V、W面均傾斜的直線投影特性三個投影皆為傾斜投影面平行線平行某一個投影面的直線是什么線？為什么？正平線平行V面投影特性在所平行的投影面上的投影反映實長及與其它二投影面的傾角實長另外二投影分別平行相應的投影軸一個b'b"a'a"ba一個一個100投影面平行線平行某一個投影面的直線是什么線？為什么？正平線是什么線？投影面垂直線垂直某一個投影面的直線a'a"b"b'a(b)鉛垂線為什么？垂直H面投影特性在所垂直的投影面上的投影積聚成一點另外二投影分別平行相應的投影軸且反映實長實長實長積聚性101是什么線？投影面垂直線垂直某一個投影面的直線a'a"b"b'3.屬于直線的點a'b'abc'c點的投影在直線的同名投影上點將線段分割成定比——定比定理ac/cb=a'c'/c'b'=AC/CB判定a'b'bak'k點K屬于直線AB嗎?1023.屬于直線的點a'b'abc'c點的投影在直線的同名投4.兩直線的相對位置平行相交交叉垂直兩直線平行投影特性同名投影平行a'b'//c'd'ab//cd且長度成比例a'b'c'd'abcd1034.兩直線的相對位置平行相交交叉垂直兩直線平行投影特AB//CD?abb'a'c'd'dc如何判斷?根據投影特性a'b'/c'd'ab/cd求第三投影擺出空間位置AB:上后下前CD：上前下后104AB//CD?abb'a'c'd'dc如何判斷?根據兩直線相交交點為共有點ABCD=KKABKCD直線的同名投影必相交交點的投影連線符合點的投影規律投影特性b'abc'd'cdk'ka'105兩直線相交交點為共有點ABCD=K直線的同名投影必兩直線交叉a'b'c'd'cabd121'2'3'4'3（）4（）ABCD?106兩直線交叉a'b'c'd'cabd121'2'3'4'3（兩直線垂直討論其中一條直線為投影面平行線的情況BC//PABBCabbc直角投影定理EFABCabcP107兩直線垂直討論其中一條直線為投BC//PABBCaba'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD，求cd例108a'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD1.4平面的投影1.平面表示法a'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc用幾何元素表示a'b'c'abc1091.4平面的投影1.平面表示法a'b'c'abca'b'用跡線表示VWHXYZOPPVPHPWPzPxPy平面與投影面的交線稱為平面的跡線正面跡線水平跡線側面跡線PVPHPx110用跡線表示VWHXYZOPPVPHPWPzPxPy平面與投影VWHXYZOPPVPWPVPWPz水平面用跡線如何表示？Pz111VWHXYZOPPVPWPVPWPz水平面用跡線如何表示？PVWHXYZO鉛垂面用跡線如何表示？PVPHPWPxPyPVPHPxPwPyPy112VWHXYZO鉛垂面用跡線如何表示？PVPHPWPxPyPV2.平面的投影特性平面對一個投影面的投影特性平面//P平面P反映實形實形性積聚成直線積聚性類似圖形類似性P平面P1132.平面的投影特性平面對一個投影面的投影特性平面//P平面平面在三投影面體系中的投影特性平面相對于三投影面的位置平面相于投影面的位置可歸納為幾類？VWH平面對三投影面均傾斜—一般位置平面114平面在三投影面體系中的投影特性平面相對于三投影面的位置平面平面相對于三投影面的位置平面某一投影面投影面垂直面V正垂面鉛垂面HW側垂面VWHVWHVWH115平面相對于三投影面的位置平面某一投影面投影面垂直面V正垂平面相對于三投影面的位置平面//某一投影面投影面平行面//V正平面水平面//H//W側平面VWHVWHVWH116平面相對于三投影面的位置平面//某一投影面投影面平行面//V一般位置平面投影面垂直面投影面平行面鉛垂面：H面正垂面：V面側垂面：W面水平面：∥H面正平面：∥V面側平面：∥W面特殊位置平面歸納投影面垂直面投影面平行面平面相對于投影面的位置117一般位置平面投影面垂直面投影面平行面鉛垂面：H面正垂面：一般位置平面對H、V、W均傾斜的平面投影特性在H、V、W面上的投影皆為空間平面圖形的類似圖形a'b'c'b"a"c"abc118一般位置平面對H、V、W均傾斜的平面投影特性在H、V、W面上投影面垂直面僅垂直于一個投影面的平面是什么平面？正垂面為什么？積聚性投影特性在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，且反映平面與投影面的傾角另二投影為類似圖形一個類似圖形一個a'b'c'c"b"a"acb類似圖形119投影面垂直面僅垂直于一個投影面的平面是什么平面？正垂面為什么投影面平行面平行于某一投影面的平面是什么平面？水平面為什么？投影特性在所平行的投影面上的投影反映實形另二投影分別平行于相應的投影軸平行OX軸平行OY軸abca'b'c'c"a"b"反映實形120投影面平行面平行于某一投影面的平面是什么平面？水平面為什么？3.平面內的點和直線作圖根據若直線在平面內，則該線必通過平面內的兩點；或通過平面內一點并平行于該平面內一直線。幾何定理若點在平面內，則該點必屬于平面內一直線。1213.平面內的點和直線作圖根據若直線在平面內，則該線必通過平面點K在平面內，已知k'，求k例1'1k1'1k可見:在平面內取點取線二者互為條件a'c'cabk'b'a'c'cabk'b'122點K在平面內，已知k'，求k例1'1k1'1k可見:在平面4.平面內的特殊位置直線屬于平面的投影面平行線例過點C在該平面內作水平線a'b'c'bac分析直線的屬性LABC水平線Ｖ投影//OXd'dCD為所求1234.平面內的特殊位置直線屬于平面的投影面平行線例過點C在該平已知AC為正平線，完成平面四邊形的水平投影例cda'b'c'd'ab124已知AC為正平線，完成平面四邊形的水平投影例cda'b'c'HABKklLP1abABP

KLPAB//HKLAB平面內垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱為平面的最大斜度線KL為平面內對H面的最大斜度線平面的最大斜度線125HABKklLP1abABP平面內垂直于投影特性klab(直角投影定理）KL與H面的傾角即為平面P與H面的傾角KL是平面內對H面傾角最大的直線HABKklLP1ab126投影特性klabKL與H面的傾角KL是平1.5直線與平面、兩平面的相對位置點、直線、平面之間的相對位置從屬關系平行關系相交關系屬于直線的點屬于平面的點屬于平面的直線直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行直線與直線相交直線與平面相交平面與平面相交垂直關系直線與平面垂直平面與平面垂直直線與直線垂直1271.5直線與平面、兩平面的相對位置點、直線、平面之間的相對1.平行問題

定理

若直線平行于平面內一直線，則該直線平行于平面。反之，若直線平行于平面，則在平面內必可作一直線與該直線平行。

d'da'b'c'abck'kl'l直線//平面平面//平面1281.平行問題定理d'da'b'c'abck'kl

定理

若兩平面內有一對相交直線對應平行，則該兩平面平行。a'b'c'bcae'f'd'fdeg'g129定理a'b'c'bcae'f'd'fdeg'g52過點K作直線平行已知平面c'a'b'abck'km'mn'n可作多少條直線？滿足條件的直線的軌跡是什么？例130過點K作直線平行已知平面c'a'b'abck'km'mn'n若平面為特殊位置面(如鉛垂面），過點作直線與之平行將如何？直線的水平投影應平行平面具有積聚性的投影直線的正面投影呢？作平面與該平面平行呢？mm'n'na'b'c'abck'k131若平面為特殊位置面(如鉛垂面），過點作直線與之平行將如何？直2.相交問題直線與平面相交--交點為共有點平面與平面相交--交線為共有線求交問題的本質是求共有點幾何元素相對投影面的位置均不具有積聚性投影至少其一具有積聚性投影一般位置的相交問題特殊位置的相交問題1322.相交問題直線與平面相交--交點為共有點平面與平面相交-求直線與平面的交點kk'判別可見性例1b'e'ba'c'acf'ef特殊位置的相交問題K133求直線與平面的交點kk'判別可見性例1b'e'ba'c'ae'f'ef求直線與平面的交點kk'例2K134e'f'ef求直線與平面的交點kk'例2K57求二平面的交線mnn'm'例3b'a'c'abcMN135求二平面的交線mnn'm'例3b'a'c'abcMN58a'b'c'cbadfed'e'f'請同學們想一想：若兩個正垂面相交，其交線是什么線？交線為正垂線判別可見性mnm'(n')這種相交形式稱為互交136a'b'c'cbadfed'e'f'請同學們想一想：交線為正一般位置的相交問題a'd'e'b'c'aedcbPHmnm'n'k'k作圖步驟包含直線作輔助平面求輔助平面與已知平面的交線交線與已知直線的交點即為所求例1求DEABC＝KEDABCMNKP137一般位置的相交問題a'd'e'b'c'aedcbPHmnm'例2RVSV求兩平面的交線用求一般位置線面交點的方法求解結果138例2RVSV求兩平面的交線用求一般位置線面交點的方法求解結果例31'2'3'4'1234mm'5'8'58nn'P1P2RSMN12345678求兩平面的交線RVSV用“三面共點”原理求解作圖步驟作輔助平面（投影面）分別求輔助平面與二已知平面的交線求二交線的交點即為二平面交線上的點139例31'2'3'4'1234mm'5'8'58nn'P1P23.垂直問題直線與平面垂直幾何定理若一直線垂直于某平面，則此直線