第四章資產定價與套利模型第四章資產定價與套利模型本章引言一、資產定價研究的背景和發展資產的價值分析來源于經濟學的微觀觀點：任何一種資產的現在值是未來收入的流量在今天的價值，即未來收益的貼現。這種根據資產未來收入流量確定資產現在價值（如在第3章3.1節中的貨幣現值）的研究，被稱為資產定價。在這種研究中需要解決兩個基本困難：（1）眾多的投資者偏好、大量不同質的資產和多時期性使得未來收入流量一般是未知和不確定的，因此，如何描述這樣復雜的隨機過程是資產定價的第一個難題；（2）眾多的投資者之間的聯系，大量不同質資產之間的聯系，多時期之間的聯系是資產定價的第二個難題。本章引言一、資產定價研究的背景和發展哈里斯·馬科維茨（《資產組合選擇》1952，《資產組合選擇：投資的有效分散》1959）和詹姆斯·托賓（1958）創造了資產組合理論，為資產定價理論奠定了基礎。均值-方差分析是資產定價的方法論創新。威廉·夏普（《資本資產定價：風險條件下等市場均衡理論》1964）和約翰·林特納（風險資產的價值，股票資產組合的風險選擇，資本預算）1965）給出了完備市場上資本資產價值的一般均衡分析模型，從而確立了現代資產定價理論的基本體系和研究框架。最新又發展出資本定價（見羅伯特·C·默頓《連續時間金融》修訂版，中國人民大學出版社2005年版）。哈里斯·馬科維茨（《資產組合選擇》1952，《資產組合選擇：二、資產定價理論的假設條件資本資產定價模型有許多前提性的假設條件，主要包括對市場的完善性和環境的無摩擦性(本章前面的分析實際上默認了這些假設)。這些假設條件是我們在第2章2.3節假設條件的細化。這些假設條件是：(1)存在許多投資者，每位投資者的財富份額都很小，所以投資者都是價格的接受者，不具備操縱市場的能力，市場處于完善的競爭狀態。(2)資本資產定價模型是一個兩期模型，在實踐中意味著所有的投資者都只計劃持有投資資產一個相同的周期，而不考慮計劃期以后的事情。二、資產定價理論的假設條件(3)投資者只能交易公開交易的金融工具，如股票、債券等，不把人力資本(教育)、私人企業(指負債和權益不進行公開交易的企業)、政府融資項目等考慮在內。并假設投資者可以不受限制地以固定的無風險利率借貸(容許賣空無風險證券)。(4)沒有稅收和交易成本，即市場環境是無摩擦的。(5)所有的投資者的行為都是理性的，都按照均值-方差來優化選擇自己的投資組合。(6)所有的投資者都以相同的觀點和分析方法來對待各種投資工具，他們對所交易的金融資產未來支付的概率分布、預期值和方差等都有相同的估計。這就是一致預期假設。(3)投資者只能交易公開交易的金融工具，如股票、債券資本資產定價模型只有在這些條件成立的前提下才成立。這些假設條件可以整理精簡為：1．所有的資產可以自由交易；2．投資者在單個計劃期內操作；3．投資者可以在所有資產上保持多頭或空頭；4．投資者對任意兩個具有相同均值和方差的投資組合是無差異的；第4個假設可用資產回報是正態的這個假設代替，以至于均值和方差完全地體現了回報的分布特征；5．存在無風險資產。在這個環境下，無風險資產和風險資產的單個共同基金足夠產生所有有效投資組合。在這些條件下，所有投資者應當持有相同比例的風險資產。特別地，每個投資者應當保持相同的債權-股票比率。為了取得合意的風險回報組合，投資者只需變動無風險資產在投資組合中的比例。資本資產定價模型只有在這些條件成立的前提下才成立。這些假設條三、資產定價研究的框架和方法論在現代金融學中，研究資產價值有三個方法論體系：（1）一般均衡分析（最優化模型）；（2）基于維納-布朗過程的隨機過程分析（或漂移方程或二項式模型。羅伯特·C·默頓等著名經濟學家把它們定性為非均衡分析）；（3）時間序列計量分析（差分方程）。數理金融學研究前面兩種方法。本章屬于一般均衡定價分析，第5章屬于維納-布朗運動隨機過程分析。資產價值的一般均衡分析解釋了資產選擇和總量消費的關系，資產價值和消費邊際效用的關系，投資風險和整體經濟環境的關系。即總消費-資產組合原理和資產預期收益-消費預期邊際效用分析方法。三、資產定價研究的框架和方法論應該指出，均值-方差分析也是源于資產預期收益-消費預期邊際效用分析方法。具體說，資產價值的一般均衡分析研究了消費效用和投資收益的均衡關系；商品市場和金融（資本）市場的均衡關系；投資風險和跨時期波動的關系。特別是把資產價值和消費效用的內在關系揭示出來，這種機理性研究是現代主流經濟學和金融學研究的范式。從總的方面看，資產定價及其模型從消費品和資本品之間的關系；異質資產之間的關系；當前和未來之間的關系；風險和確定之間的關系，四個方面研究了資產的現值。應該指出，均值-方差分析也是源于資產預期收益-消費預期邊際效本章要點（1）把握資本資產價值分析的由來和原始模型。

資產定價模型揭示的各種均衡關系都是通過歐拉方程得到的。因為著名的夏普-林特納-莫辛的證券市場價格的線性方程就是由歐拉方程推出的。證券市場價格的線性方程也被譽為“證券定價基本方程”，它也有多種形式。要注意這種“一把鑰匙開多把鎖的方法”。（2）把握動態資產定價的理論框架。

資產定價模型一般指消費資本資產定價模型和一般金融資產定價模型，現在又有資本定價模型。所有這些模型都屬于一般均衡分析體系，資本資產定價模型是作為一般均衡的結果。金融經濟學必須從市場均衡的視角來討論資產定價問題。本章要點（1）把握資本資產價值分析的由來和原始模型。

因此，本章我們將說明資本資產定價模型是一個均衡模型，包括兩個重要關系：資本市場線和證券市場線。資本市場線指出了有效分散化的投資組合的預期回報與總風險之間的均衡關系。因此，資本市場線顯示了流行于市場上的有效投資組合的均衡條件。所有的投資者將持有資本市場線上的投資組合。資本市場線顯示了對所有投資者有效的風險-回報關系。（3）把握資產定價理論的系統性。

作為現代金融學的核心理論，資本資產定價、無套利均衡、風險中性概率（等價鞅測度）、動態完全性及動態資產定價理論框架是金融學的基本定理。風險中性概率我們在第3章已經總結，本章總結這些基本定理的其余部分。本章在4.4節和4.5節總結了無套利均衡定價理論及其相關的市場效率原理。因此，本章我們將說明資本資產定價模型是一個均衡模型（4）把握資本資產定價模型五個簡單的含義：①通過跨行業、跨地區分散投資，投資者可以消除一些風險；②一些系統風險不能被消除，因此，完全分散化的投資組合仍然具有風險；③如果投資于風險資產，投資者必須獲得較高的回報；④一項特定投資的回報僅僅依賴于它影響系統性風險的程度；⑤系統性風險可以通過投資風險與市場風險之間的關系來衡量。數理金融學與金融工程基礎(第二版)-第四章課件(02)-（5）把握資本資產定價模型和套利定價模型二者在思想和方法應用方面的共同點和區別。APT模型的漂亮之處在于，它不需要效用函數的任何假設，投資組合的均值和方差是投資者所考慮的僅有的兩個因素。APT模型實際上是一種算法，它能導出證券預期收益的表達式。這一特點使得APT模型在現代金融軟件的設計和計量分析中非常重要。（5）把握資本資產定價模型和套利定價模型二者在思想和方法應用4.1資產定價研究簡述

本節要點無論是經濟學還是金融學，市場資產組合一般均衡分析模型都是資產定價的本源性基礎和原理——即市場中所有資產價值都是相對決定的，沒有獨立和絕對的。消費永遠在投資之前，消費的效用價值永遠是資產價值之本。人們的投資和資產選擇其最終目的是為了一生幸福。均值-方差分析所揭示的資產定價原理是：在市場上，任何資產的收益和風險其實都是平均收益和總風險的函數，都圍繞著它們而變化；資產的收益和風險是統一的。4.1資產定價研究簡述

4.1.1資產組合模型與資產定價

從總的方面看，資產定價及其模型從消費品和資本品之間的關系，不同質資產之間的關系，當前和未來之間的關系，風險和確定之間的關系這四個方面研究了資產的現值。J·托賓（1958）利用資產組合理論的基本原理證明，在無風險資產和有風險資產的投資中，投資者能夠選擇其中的組合使得風險和收益實現理想的組合。W·F·夏普（Sharpe,1959）林特納（Lintner,1965）和莫辛（Mossion,1966）建立和發展出資產價值的一般均衡分析模型。這些貢獻導致了以資產收益和風險為研究目標的現代資產定價理論及其模型研究的發展。

4.1.1資產組合模型與資產定價

從總的方面看，資產定到了莫迪利亞尼-米勒（Miller,1973）定理時，資產定價理論完成了其理論基礎。資產定價的基本結果是資本資產定價公式

（4.1.1）

其中，

和

分別是兩種風險資產的收益，

是無風險資產的收益。

該公式說明，投資者對任意資產

希望獲得的收益，等于無風險資產收益加上對風險資產的調整。這個風險由市場中相關資產之間的收益的方差決定。到了莫迪利亞尼-米勒（Miller,1973）定理時，資產定米勒和斯科爾斯(Scholes,1972)等對（4.1.1）式進行了實證和檢驗。在第1章1.1節我們得到了：如果把資產

設為無風險資產，資產

是有風險資產，那么，相對于無風險資產

，資產

的預期收益就是=+資產

的風險回報在第2章2.2節中我們得到

（2.2.20）

（4.1.1）式就是由以上結果得來。其中米勒和斯科爾斯(Scholes,1972)等對（4.1.1）資產定價模型今天被廣泛應用于評估資產組合的績效、企業金融分析等。資本資產定價模型和套利定價模型在企業財務的資本預算分析中和投資的風險成本估量中被普遍運用。盧卡斯（1978）建立了消費資本資產定價模型并用于研究宏觀經濟波動問題。資本資產定價采取的是一般均衡分析。這一點，已經在第1章1.2節和第2章2.2節中介紹過了。其實，均衡分析是一種線性定價原則，具體說就是在效用最大化原則下，某種資產

的收益結構可以表示為

（4.1.2）資產定價模型今天被廣泛應用于評估資產組合的績效、企業金融分析其中

是預期收益，

是非指定的外生變量，它通過

每種資產的系數

而影響資產

。

是干擾因子（變量）。在金融分析中，資產定價的線性原則、市場具有效率（也稱有效性）結構、交易無套利機會和市場有效假說條件都是等價的。注意，（4.1.2）式有著廣泛的金融應用，它是套利理

論和基金分離理論的分析基礎。我們在本章4.2.3節還

要討論它的一個簡化形式。其中是預期收益，是非指定的外生變量，它通過

4.1.2基于消費的資產定價原理

從薩繆爾森（1969）提出離散時間的代際模型以后，被盧卡斯（1978）發展并通過消費-投資去研究宏觀經濟問題。莫（默）頓（1969）、魯賓斯坦（1976）、布里登（1978）和羅斯（1985）等進一步推廣到不確定的消費和資產組合的研究中，成為現代金融理論的一個基礎模型——消費資產組合理論。

4.1.2基于消費的資產定價原理

消費資產組合理論模型假設個人選擇這樣的消費和投資決策：它使終生的預期效用達到最大化。終生的預期效用被分為兩部分。一部分是通過消費選擇產生的效用

，其中的

表示消費選擇的時期。另一部分是通過資產選擇產生的效用

，其中

表示時期

的資產，

表示時期

不確定環境中的狀態變量，它描述了消費、投資和就業中的市場信息、結構和自然等潛在因素。

的經濟含義是間接效用這樣，在不確定的經濟中，個人的目標函數或總福利水平就是

（4.1.3）消費資產組合理論模型假設個人選擇這樣的消費和投資決策：它使終

其中的

是對狀態

下的效用預期。嚴格講，（4.1.3）式應該是一種可加的求和形式。當個人實現了最大化效用時，在每個時期

應該有：消費的邊際效用等于資產的邊際效用。（4.1.3）式是一種總消費的均衡分析，把消費選擇與資產選擇和就業等都統歸為“總消費”。在總消費中通過每項資產的預期收益與總消費中的預期邊際效用之間的比較（方差和協方差）來研究資產的價格和投資的收益。這就是人們所常說的基于消費的資產定價模型。有些著作也把它稱為總消費-資產組合模型。其中的是對狀態下的效用預期。嚴格從第3章的內容我們知道，在不同的時期的總消費中，人們對資產的選擇是和物品消費選擇統一的，資產的價值和消費的邊際效用是統一的。這既是實物商品與金融資產之間的組合，也是消費和投資的一般均衡。這是金融資產分析的經濟原理。商品市場的通脹率、資本市場的生產率和市場資產組合的收益率三者之間的關系就是這個原理的實際內容。再具體地說，金融市場中的資產價值與不同時期的消費和生產總量有關，與不同時期的市場狀態有關。投資的風險也源于不同時期的消費和生產的總量變化的不確定性。從第1章1.3節和第3章3.2節得到的歐拉方程，我們可以看到基于消費的資本資產定價模型的這些基本思想。從第3章的內容我們知道，在不同的時期的總消費中，人們對資產的關于消費-資產定價模型，后來得到了比較完善的結果。主要為：

（1）在市場的均衡狀態，每一種資產組合都與消費高度相關，最優的資產組合就是那種導致個人消費與總消費高度相關的資產組合。

（2）對于商品不確定的經濟環境，資產的實際收益與實際的人均消費相關。

（3）個人的最優資產組合就是導致個人最優消費的資產組合。當資本市場具有帕累托效率時，每個人的消費相對于總消費都是單調增加的。關于消費-資產定價模型，后來得到了比較完善的結果。主要為：

4.1.3均方差資產定價分析

是否投資于某種資產或改變自己的資產組合，其策略取決于預期收益是否大于風險成本。一般均衡分析原理告訴我們，投資者的最優策略是資產的邊際收益等于其用風險衡量的邊際成本。在金融市場上，收益較高的投資往往有較大的風險，因此，人們往往以資產組合的平均收益和收入的總方差最小來進行不同資產之間的組合，或以收益和無風險利率的平均方差最小來進行投資。建立在均衡分析基礎上的資本資產定價模型的核心與根本特點是，每一組基準的資產組合，都可以看作是一個受特殊約束的資產組合方差的最小化問題的解。這就是著名的均方差資本資產定價原理（也被稱為均值-方差資產定價原理）。

4.1.3均方差資產定價分析

是否投資于某種資產或改變如果把均方差資本資產定價原理解釋得再具體深入一些，就是，由于個人都喜歡較高的收益均值和較低的方差，所以，當收益的平均值給定時，方差越小越好；當方差給定時，收益的平均值越大越好。這兩種情況都被稱為均方差有效率（也被稱為均值-方差效率）的資產組合。由均方差資本資產定價原理可以得到一個非常重要的結論：在均方差分析的有效率投資中，不存在套利問題。如果把均方差資本資產定價原理解釋得再具體深入一些，就是，由于在競爭性的市場上，這些的原理，尤其是均方差資本資產定價原理告訴我們怎樣去實際選擇一種資產和進行有風險的投資。而且在理論研究上和實際投資中都給人們一個非常明確的指導。如果市場是競爭和完備的，那么根據新古典均衡分析和效率原理，各種資產的邊際收益相等，且每種資產的邊際收益和邊際成本相等，最后，它們都應該和無風險利率一致。在風險分散型投資和有風險報酬的資產組合中，均方差資本資產定價則原理告訴我們兩個基本的結論：

（1）在市場均衡的條件下，任何資產的預期收益和風險與資產組合的平均收益和系統風險相一致；

（2）在市場均衡的條件下，資產的收益率與風險是統一的。在競爭性的市場上，這些的原理，尤其是均方差資本資產定價原理告假定資產組合為

，其中一種資產

的單位增量

是可以按無風險利率

得到的資金。

將擴大資產組合

的預期收益

。當資產組合中增加某種資產時，其獲得的凈利益是該資產引起的預期收益減去融資成本。設

引起資產組合變化后的預期收益為

，資產組合預期收益的增量為

，那么，顯然有

（4.1.4）假定資產組合為，其中為了進行更詳細和嚴格計算，設

表示資產

收益的方差，

表示資產

和資產組合

收益之間的協方差。根據結論（1），我們知道，在市場均衡的條件下，任何證券的期望收益

減去無風險利率

后所得的差，必須與證券收益和市場資產組合收益的協方差成比例，即有

（4.1.5）

其中，

是對投資中總的風險度量，也就是不確定環境中某種狀態的概率。另一方面，根據結論（2），在市場均衡的條件下，資產組合的收益

減去無風險利率

后所得的差，也必須與證券

收益的方差成比例，即有為了進行更詳細和嚴格計算，設表示資

（4.1.6）

其中，

是對投資

的風險度量。在均衡的市場上，當

時，由（4.1.6）式解出

，然后代入（4.1.5）式就得到

（4.1.7）從（4.1.4）式到（4.1.7）式是資本資產定價模型的基本思路，（4.1.7）式就是資本資產定價的最基本形式。其中，（4.1.7）式就是（4.1.1）式的具體形式。（4.1.5）式和（4.1.6）式的含義是，在有風險的投資中，資產組合首先要從收益和風險的均方差效率考慮問題，把資產組合的選擇問題轉化為均方差分析。

讀者要注意這里的分析過程及其得到結論表達式與我們在第2章2.2節的分析過程及其得到的公式結論。在2.2節中得到的結果說明的是，在風險經過調整后資產之間的價值關系用可以報酬（或收益率）來度量，而在（4.1.7）式中得到的均衡關系式則說明，某種資產的價值與平均報酬之間的關系和個體風險與系統風險之間的關系。或者簡單地說就是，第2章2.2節得到的結果是風險調整后的市場均衡關系，而（4.1.6）式是風險調整前的市場均衡關系。相比之下，（4.1.7）式含有更多的信息。另外讀者要注意比較從（4.1.4）式到（4.1.7）式的分析和（4.1.1）式的解釋過程之間的聯系和區別。讀者要注意這里的分析過程及其得到結論表達式與我們在第2章2.

4.2經典的資本資產定價模型(CAPM)

本節要點本節討論兩類資本資產定價模型：消費資本資產定價模型和一般資本資產定價模型。資本資產定價模型是金融學最基本的定價模型。它是第一個在不確定性條件下的關于資產定價的均衡分析模型。資本資產定價模型指出，承受不規則的風險，可能沒有報酬，因為大規模和分散的資產組合將會使風險抵消。這樣，在最優的投資組合中，只會剩下規則性風險，由于這些風險不能由資產分散化而消除，所以就必須

4.2經典的資本資產定價模型(CAPM)

本節要點有風險報酬，以便吸引厭惡風險的投資者進行投資和持有風險資產。如果投資者持有這些有風險的資產，那么與其它資產比較，這些資產的預期收益也將是高的。在這些有風險的投資中，每種資產的價值最終都依賴于和其它資產的協同關系（方差與協方差）。這些是資本資產定價模型的基本思想。資本資產定價模型最先是由林特納（1965）、莫辛（1966）和夏普（1964）通過兩期的效用模型推導得出的。在其中，效用可以直接通過有價證券收益的平均值和方差來確定。有風險報酬，以便吸引厭惡風險的投資者進行投資和持莫頓（1973）證明，標準的資本資產定價模型能夠從消費者對有價證券選擇和跨時期消費選擇的最優化組合中得出。實際上，消費的效用與資產的市場收益是高度相關的，資產的價格與消費的邊際效用是統一的。本節為了幫助讀者更好地探討資本資產定價模型，先討論消費的資本資產定價模型，這樣做的目的是為了更深刻理解一般均衡分析與資產定價的關系。然后再研究資本資產定價的基礎模型，最后介紹標準的資本資產定價模型。需要指出的是，最早的資產定價模型先于關于消費資本資產定價模型。消費資本資產定價模型的原始想法是用來研究消費選擇與資產價格之間的關系。莫頓（1973）證明，標準的資本資產定價模型能夠從消費者對有下面是本節要點：（1）在基本的資本資產定價模型中討論中，已定要注意消費預期效用與資產價值之間的內在關系。它的本源性分析我們在第1章1.3節和第3章3.2節。（2）標準的CAPM公式其實是市場證券線的嚴格形式。由此揭示出系統風險和非系統風險的重要概念。（3）CAPM公式是最基本的資產定價模型，它的應用和發展一直不斷。下面是本節要點：

4.2.1基本的資本資產定價模型

我們現在直接由消費-投資組合分析來推導出著名的“基于消費的資本資產定價模型。這個工作因該歸功于盧卡斯。特別是讀者要體會消費品的效用與資產價值之間的內在均衡關系。基本資產定價模型是新古典金融學的核心，也是現代金融學的基礎。如果在時期

，投資者

（

）把資產轉移到

個風險資產中的任何一個

（

是投資者

對資產

的持有量），以便可以獲得一個隨機的收益

，無風險資產的收益率用

表示，那么，現在就可以把第3章3.2節中關于不確定條件下的多時期消費-投資模型：

4.2.1基本的資本資產定價模型

我們現在直接由消費-轉換為

其中

，

為正整數，不確定性完全由自然狀態來描述。

于是3.2節中歐拉方程

（3.2.23）數理金融學與金融工程基礎(第二版)-第四章課件(02)-現在就為

（4.2.1）

（4.2.2）

其中的（4.2.1）式是說，對于風險資產，在均衡關系下，起重要作用的是邊際效用和收益率的預期值，二者在時期

都是不確定的。（4.2.2）式是說，對于無風險資產，在均衡關系下，其收益率

可以從預期值中得出。

由以上兩式相減，既得

，（4.2.3）現在就為從（4.2.3）式，由期望和協方差之間的數學關系即有

（4.2.4）因為根據概率論知識，有所以，對于資產

的預期收益

就有

，（4.2.5）（4.2.5）式的含義是，具有邊際消費效用的資產收益的協方差越高，均衡關系下的資產預期收益就越低。如果存在一種資產或一個資產組合

，其收益

完全與

負相關，即

，那么有從（4.2.3）式，由期望和協方差之間的數學關系即有對于資產組合

，由（4.2.5）式可以得到

（4.2.6）把此結果代入（4.2.5）式，就得到

（4.2.7）（4.2.7）式就是4.1節中的（4.1.1）和（4.1.6）式。當時此結果的含義并不是很透徹，來龍去脈也不很清楚了。特別是金融市場與宏觀經濟的聯系，資產選擇與其它需求的關系，現在都搞清楚了。數理金融學與金融工程基礎(第二版)-第四章課件(02)-上面的推導過程非常深刻地揭示了資產價格與個人消費之間的關系，一般均衡與資產定價之間的關系。它們表明：

（1）資產的預期收益（價格）與消費的邊際效用之間的協方差負相關。換句話說，其等價的命題是，消費的預期效用應該和資產的預期收益是一致的；

（2）在實際經濟中，個人首先承受著與消費有關的風險，既應該首先有然后才是與其它資產之間的風險關系，即上面的推導過程非常深刻地揭示了資產價格與個人消費之間的關系，（4.2.7）式右邊的系數

就是我們在以前指出的市場風險因子

，它非常重要，在金融學中具有非常重要的地位和價值。以后要經常直接運用它。由于消費資本資產定價模型在宏觀經濟研究中的重要性，盧卡斯又建立了消費資本資產定價模型的另一種形式。對此讀者可以查閱高級宏觀經濟學著作。（4.2.7）式右邊的系數

4.2.2標準的CAPM模型

下面我們給出一般資本資產定價模型的最簡單形式及其建立過程。現在考慮一個兩期的投資模型，當期為0期，1期的資產價值是不確定的。用前面討論過的自然狀態來描述不確定性。出于以下目的，先對所需要的若干符號及其含義做些簡要討論：第一，因為有些符號在模型中可能被隱含著，但是它們的含義和作用卻存在，所以，必須先把它們提在模型的前面單列，并加以介紹。第二，如果把必要的符號及其符號之間的含義關系都放在模型中，會增加對模型理解和記憶的負擔。第三，這樣做會使后面的模型簡潔、清晰，不繁瑣。

4.2.2標準的CAPM模型

下面我們給出一般資本資狀態集合

：

，其中

表示一種自然狀態

—狀態

發生的概率，投資者持有相同的市場信息或在投資收益方面有相同的概率估計

—投資者，

—投資者

在0期的財富

—投資者

在0期的消費

—投資者

在0期的投資

—投資者

在1期及狀態

下的消費

—投資者

在1期的隨機消費—投資者

的效用，

是貼現因子

—資產

在0期的價格

—投資者

對資產

的持有量狀態集合：，其中—，即資產占投資者的投資比例。注意，現在投資者的資產組合用向量表示，其中。該組合的含義是，可正可負，消費投資者的投資可以在任何資產處于多頭或空頭的位置。

—資產

在1期及狀態

下的價值

—資產

在1期作為隨機變量時的價值，當

確定

時，有

—資產

在狀態

下的收益，即有

。

—資產

作為隨機變量時的收益，即當

確定時有關系

—無風險的資產的總收益，即有

。其中

是無風險利率——資產的期望收益，即有

—資產

和

的收益的協方差，即

有了這么繁多的準備后，就可以給出CAPM模型的另一種形式和推導過程。這里的效用函數是馮·諾依曼-摩根斯頓效用函數。在1期的消費受到的約束是

（4.2.8）

其中

是投資者

的儲蓄，即無風險資產，也包括在

當中。注意，約束條件（4.2.8）式就是第3章3.2節的約束條件（3.2.12）式的變形。—資產的期望收益，即有現在，投資者

的資產組合選擇是在給定的收益的期望值下實現方差最小。就是說，給定的收益的期望值是資產選擇的約束條件。根據第1章1.3節知道，投資者

的投資策略是

（4.2.9）

其中的

是給定的收益的期望值。現在，投資者的資產組合選擇是在給定的收益的期望值下實如果

和

分別是對應第一和第二個約束條件的因子，那么拉格朗日函數為

由一階條件，注意到

和

的對稱性，即在

中有兩項是相同的，于是對于所有的

就有

（4.2.10）對于無風險資產

，因為

，

，所以（4.2.10）式為

（4.2.11）如果和分別是對應第一和第二個約束條件的因子，在（4.2.10）式中，如果設資產

是滿足（4.2.9）式的一種共同基金，且

，那么（4.2.10）式就為

（4.2.12）特別當

時，就有

。但是此時的協方差

也就成為了方差

，于是由（4.2.12）式得

（4.2.13）由（4.2.11）式和（4.2.13）式解出

和

得

，將此結果代入（4.2.12）式后解出

，就得到

（4.2.14）在（4.2.10）式中，如果設資產（4.2.14）式就是資本資產定價模型的主要形式和基本結果。其含義是說，任意資產的期望收益等于無風險資產的收益加上一個風險報酬，該風險報酬由該資產的收益與某個資產組合收益的方差決定（這其中就隱含著不同資產之間的一般均衡關系）。（4.2.14）式其實是消費資本資產定價公式（4.2.7）式的廣義形式或一般形式。在資本資產定價模型的（4.2.14）式中，現在的風險因子

是市場投資組合收益率的敏感度，它衡量某種資產的風險收益與資產組合的風險收益之間的比較。它可以反映某種資產的風險大小。（4.2.14）式就是資本資產定價模型的主要形式和基本結果。

4.2.3CAPM公式的簡單推導和經濟解釋

1．直接由市場證券線推導CAPM公式我們在第2章2.2節知道了非常重要的資本市場線，現在把它改寫為

（4.2.15）

其中的

和

各自表示均值和方差，

是回報的無風

險利率。該直線的斜率

被稱為風險的市場價

格。它的金融含義是說，當該直線上的組合標準差每增加一個單位時，預期收益會增加多少。

4.2.3CAPM公式的簡單推導和經濟解釋

1根據市場一般均衡原理，市場證券線（4.2.15）對于任何資產

都是對的，即有

，（4.2.16）

其中

是市場組合的收益與資產

的收益之間的斜方差。（4.2.16）式就是我們要導出的CAPM定價公式。看上去這個推導很簡單，其實它把大量的工作放到了第1章市場一般均衡分析和第2章市場證券線的推導里。根據市場一般均衡原理，市場證券線（4.2.15）對于任何資產２．CAPM模型的經濟解釋在（4.2.16）式中，差值

稱為超額預期收益。CAPM定價公式（4.2.16）式的經濟含義就是：資產的超額收益與市場平均收益之間具有線形關系。這一點我們在前面已經多次見過。特別是如果分別用

和

分別表示超額收益和平均收益，那么（4.2.16）式就可以改寫為如下的關系

（4.2.17）

由CAPM定價公式我們可以得到非常重要的系統風險和非系統風險的概念及其分析方法。２．CAPM模型的經濟解釋因為

是通過因子

與市場相關的證券風險，這個風險在經濟學和金融學中被稱為系統風險。

一般

被稱為非系統風險或特定風險。眾所周知，系統風險是不可分散的，而非系統風險或特定風險可以分散。比如企業風險。數理金融學與金融工程基礎(第二版)-第四章課件(02)-

4.2.4CAPM模型的簡單應用和實證分析及檢驗

１．CAPM公式的簡單應用CAPM公式有很多種形式和應用，其中三個主要應用是：

第一，它在理論上說明，在均衡狀態下，每個人所持有的風險資產的相對比例和市場投資組合是相同的。具體說，就是，在均衡的資產選擇中，個人資產組合中的風險資產的相對比例和市場上社會投資總量中的風險資金的相對比例是一致的。這一點和莫迪利亞尼-米勒定理的結論非常相似。第二，為非常簡單的消極投資策略提供了符合實際的依據：這就是根據市場投資組合的比例分散持有風險資產，將風險資產和無風險資產進行組合，以獲得所希望的風險-收益組合。

4.2.4CAPM模型的簡單應用和實證分析及檢驗

１第三，CAPM模型可以以兩種方式運用于投資組合的管理：在資產分配和選擇證券時，確定一個合乎邏輯的、方便的起點，以風險調整為基礎評價投資管理能力。這樣在公司財務中，CAPM被用來在公司的估值模型和資產預算決策中確定恰當的風險調整折現率。第三，CAPM模型可以以兩種方式運用于投資組合的管理：在資產

２．CAPM模型的實證和檢驗分析現在金融計量實證方面的研究和運用都發展很快，使用時間序列和橫截面方法對CAPM模型進行檢驗就是一個方面。比如這項工作的一個重要結果是證明了，CAPM模型中的

值只能解釋證券或股票在橫截面上的平均收益差距。在同質預期和無風險利率存在的假設下，CAPM模型的直接含義是均值-方差有效。這時，CAPM模型最為直接的檢驗是對超額收益回歸方程

（4.2.18）中的

進行檢驗。２．CAPM模型的實證和檢驗分析假設個體收益在短時期內服從獨立同分布，也考慮資產之間的同時相關性。于是，在收益服從聯合正態分布的假設下，使用面板數據（

種資產，在時間

內）和極大擬然估計法就可以對（4.2.18）式進行估計。尤其是在回歸方程中使用實際收益

（4.2.19）其中的

是

種資產的收益向量。在這樣的實證檢驗中，一個具體的結果是，根據CAPM模型，橫截面上的股票平均收益差異，線性地依賴資產的

值。假設個體收益在短時期內服從獨立同分布，也考慮資產之間的同時相

4.3套利定價模型（APT）和金融市場結構

本節要點套利定價模型的核心思想就是著名的線性定價原則。注意APT模型和CAPM模型的區別。直觀地看，套利定價模型更符合現實。套利定價模型的最實質性意義在于它揭示了市場結構與資產價值，乃至于與市場行為之間的關系。套利分析對研究金融行為非常重要。這是現代金融領域發展非常快的研究方向和實際應用。套利定價模型在現代金融計量分析中非常重要。因為它不需要效用函數的任何假設，投資組合的均值和方差是投資者所考慮的僅有的兩個因素。模型實際上是一種機制，是一種算法。

4.3套利定價模型（APT）和金融市場結構

本節要點

4.3.1套利定價的概念及其與資本資產定價的

關系和區別

在金融學中，研究資產價值的基本方法有兩個，一種是基于一般均衡分析的資本資產定價模型，另一種是基于套利理論的定價模型。從二者關系上看，前者是無套利定價，而后者則不一定是一般均衡的價格。也可以形象的說，一種是市場出清的資產定價，一種是市場不出清的資產定價。當然，在金融學中，市場出清的概念不是針對商品和價格，而是針對風險和收益。建立在均值-方差分析基礎上的資本資產定價模型，在理論上是十分完美的模型，它解釋了為什么不同的證券會有不同的期望收益率。自模型創立以來，得到了十分廣泛的應用。

4.3.1套利定價的概念及其與資本資產定價的

關系和CAPM的核心是市場投資組合，市場上風險資產的超額收益率由市場組合的超額收益率和

系數確定，而

系數也源自市場投資組合。CAPM實際上在已知各種風險資產收益率分布和市場組合的情況下，如果市場滿足CAPM的基本假設，則風險資產的定價問題就得以解決。但是，一方面CAPM是建立在一系列十分嚴格的假設之下，在市場處于競爭均衡的狀態之下得到，另一方面在計算

系數時，要計算

，計算量之大，即使使用現代最新的計算技術也感到力不從心。況且金融市場的實際情況很難滿足CAPM對于市場的假設。因此，CAPM不僅在理論上受到人們的質疑，而且在應用過程中遇到很大的困難。CAPM的核心是市場投資組合，市場上風險資產的超額收益率由市Ross(1976)提出了一種新的資產定價理論，稱為套利定價理論。APT和CAPM顯著的不同點是：APT認為，除了市場因素之外，資產價格受一些外部因素影響，利用無套利定價原理得出風險資產期望收益率的一般表達式，而且套利定價模型的假設大大少于CAPM的假設，比CAPM更接近資本市場的實際情況。在這種意義下，APT是CAPM的完善和發展。數理金融學與金融工程基礎(第二版)-第四章課件(02)-套利定價理論和資本資產定價模型這兩個模型都認為，資產預期收益和其它隨機變量的協方差之間存在著線性關系。在資本資產定價模型中，協方差是指資產預期收益與市場資產組合收益的關系。這些協方差被解釋為當投資者進行證券多樣化選擇時所不能避免的風險度量。預期收益和協方差之間的線性關系的斜率就是風險貼水。CAPM要求投資者行為是均值-方差最優化的。APT和CAPM并不相互排斥，而是互為補充的。套利定價理論和資本資產定價模型這兩個模型都認為，資產預期收益套利定價模型（APT）是單周期模型。在這個模型中，每個投資者都相信，資本資產收益的隨機性與市場的結構相一致，如果均衡價格不提供套利機會，那么，這些資本資產的預期收益與資產的風險報酬就是線性相關的。套利定價模型的這些思想和原理被深入地用在市場結構與市場有效性研究中。APT模型除了具有與CAPM模型互補的特性和優點以外，其最本質的特性就是不要求市場出清。這是APT模型和套利理論的最大價值所在。換句話說，資本資產定價是在一般均衡市場上進行研究的，而現實中沒有具備一般均衡條件的市場，因此，從這個角度說，APT模型的套利定價不僅是CAPM模型的互補，也是更有現實價值的模型。套利定價模型（APT）是單周期模型。在這個模型中，每個投資者

4.3.2APT模型的基本表述

CAPM模型是從消費者的效用開始的，APT模型是從資產收益開始的，從這些含義上說，CAPM模型是需求方模型，APT模型的供給方模型。套利定價理論假定，投資者認為，單個時期的資本資產收益

滿足

（4.3.1）

其中，

是資產

的預期收益，

是隨機變量（非指定的外生因子），它通過每種資產的系數

（即方差、協方差等變量）而影響資產

，

是一個在相當分散的資產組合和大數投資活動中微不足道的隨機變量（干擾因子）。

4.3.2APT模型的基本表述

CAPM模型是從消費者（4.3.1）式就是4.1節中的（4.1.2）。（4.4.1）式的根本含義是說，不同資產的價格是相互作用共同變化的。在套利定價理論中，

是指市場中風險因子。需要特別強調的是，這些風險因子對所有資產而言都是共同的，它們反映了所謂的系統風險。其中的

就是資產

對市場某些市場結構要素的反映的靈敏度。它與

和

都是一回事。

是資產

的風險。它反映了資產的非系統風險。它們有時也被稱為特殊風險當市場中的資產組合可以非常分散時，它們就很小了。（4.3.1）式就是4.1節中的（4.1.2）。（4.4.1

4.3.3標準的APT模型與推導

不失一般性，現在以兩種資產來討論套利定價模型。這兩種資產設為

和

，期望收益用風險報酬來衡量。投資者擁有1單位的總財富，現在的資產組合是

。這是一種投資比例組合分析方法。設該資產組合的收益是

（4.3.2）在（4.3.2）式中，如果

，那么資產組合

就是無風險投資。因為由

可以推出

或者

。

4.3.3標準的APT模型與推導

不失一般性，現在以兩如果

那么意味著不存在隨機變量；如果

那么意味著兩種資產

和

的風險抵消了（其實，可以推出兩種資產的方差和協方差都對稱）。在比較嚴格的研究中可以證明，

是投資無風險的條件，而且由此可以得到非常重要和有實際應用的結論。在此基礎上進行推廣，可以用來研究市場有效性問題。如果那么意味著不存在隨機變量；當市場存在著投資的風險因素

時，投資者要使自己的投資無風險，根據以上分析，那就只有想辦法使

（4.3.3）由于有

，我們就可以把（4.3.3）式寫為從此式可得

（4.3.4）當

時有

。現在設這個無風險收益為

，再把

代入到

中，然后解出

就得到當市場存在著投資的風險因素時，投資者要使自己的投資

（4.3.5）由（4.3.4）式和（4.3.5）式聯立，就得到

（4.3.6）現在，如果把

代入到

中，重復以上過程，同理就得到

（4.3.7）令

，那么由（4.3.6）式和（4.3.7）式，有

（4.3.8）

（4.3.7）式和（4.3.8）式其實是資產的市場平均收益率分析。它的本質作用相當于均值。（4.3.8）式此結果表明，對于任意的

和

都有

，（4.3.9）（4.3.9）式就是套利定價模型的結果。也就是著名的線性定價原則。其含義是說，任何資產的預期收益都是無風險收益與風險報酬的線性結果。其中的風險報酬由資產對市場結構的反映靈敏度（

）和市場平均收益率（

）共同決定。（4.3.7）式和（4.3.8）式其實是資產的市場平均收益率現在總結一下APT定價模型的步驟和要點，它們是：（1）從（4.3.2）式到（4.3.5）式的過程是找到無風險資產

。這個過程的關鍵是通過無風險條件

（4.3.3）

得到了

。（2）從（4.3.6）式到（4.3.8）式的過程是找到市場平均收益率

。它其實就是均值的轉化。這個過程的關鍵是通過（4.3.6）式和（4.3.7）式，得到了

的計算公式（4.3.8）式應該指出（4.3.9）式中由（

）組成的

矩陣對于研究套利問題極為重要。如果繼續下去就會發現，矩陣

與

協方差矩陣之間的關系非常密切。現在總結一下APT定價模型的步驟和要點，它們是：

4.3.4APT模型與CAPM模型的比較

把套利定價公式（4.3.9）式和（4.3.1）式與資本資產定價公式

（4.2.7）

或

（4.2.14）

做比較，就可以發現它們之間有什么聯系和區別？

4.3.4APT模型與CAPM模型的比較

如果從形式上觀察，它們的共同點是都考察靈敏度

。但要是仔細分析就會發現兩個重要區別：（1）資本資產定價分析是找到一種無風險的資產

（

）和另一種市場共同基金

（

）作為風險資產的定價參照，而套利定價分析是找到一種無風險的資產（

）和市場平均收益率（

）作為定價參照。（2）資本資產定價分析是在一般均衡的市場上進行的，而套利定價分析并不要求這樣的條件。如果從形式上觀察，它們的共同點是都考察靈敏度。第一個區別使得二者各有其優點。CAPM模型把風險資產的價值分析落實到市場共同基金上，這也為金融實務和金融中介提供了指導。而APT模型把風險資產的價值分析落實到平均收益率上，這為風險資產的價格計算提供了依據。第二個區別應該說更有意義。因為沒有市場出清和一般均衡的要求，這少了多少（人為的和理想的）約束！

在沒有這些約束條件的情況下，APT模型是怎么解決風險資產的價格和收益分析的呢？其中市場平均收益率（即

，（4.3.7）式到（4.3.8）式）是最關鍵的作用）。這個思路其實是借鑒了均值的思想。第一個區別使得二者各有其優點。CAPM模型把風險資產的價值分由此我們就看到，CAPM模型是用市場共同基金化解了的風險，APT模型則是用均值化解的風險。如果再往更深層次的原理上分析，二者是否在本源機理上可以統一呢？我們應該大膽地去探索。到目前為止，這兩種均衡期望收益模型是建立在非常不同(行為)假設條件上的。人們一般經常將APT稱為多因子模型。根據這一術語，標準CAPM模型可以認為是APT非常特殊的一種情形。唯一因子就是市場投資組合的期望收益

。如果假設證券的收益生成方程只取決于一個因子，將該因子取為市場投資組合的收益，那么APT與CAPM的均衡收益方程一致。由此我們就看到，CAPM模型是用市場共同基金化解了的風險，AAPT模型的主要思想是：(i)在一個零風險投資組合構造的基礎上，模型提供了確定均衡收益的一種結構，但不需要現金投資。(ii)APT不依賴于效用函數的任何假設，投資者僅考慮投資組合的均值和方差。然而，APT要求預期同質。APT的漂亮之處在于，它不需要效用函數的任何假設，投資組合的均值和方差是投資者所考慮的僅有的兩個因素。模型實際上是一種機制，是一種算法，在無風險套利機會瞬間即逝思想的基礎上，模型能導出證券(或證券組合)預期收益的表達式。但是，APT模型需要假設投資者具有相同的預期。APT模型的主要思想是：4.3.5金融市場結構與套利行為

我們在第1章1.2節和第2章2.1節已經討論過金融市場有效性問題，本節應用資產套利定價理論來從另外一個角度認識市場結構和效率性。特別是，套利定價理論可以從微觀層面和金融行為方面來認識金融市場有效性問題。4.3.5金融市場結構與套利行為

1．APT模型與有效市場假說APT模型是排除套利的定價模型，該模型的宏觀經濟含義非常強。其中的文章都是圍繞著

做出來的。它指出，當投資的風險只與宏觀層面的經濟因素有關時，企業高度分散化投資的組合可以排除某些小的風險

和市場微觀干擾（克服

）。從總量上來說，某些小概率的市場因素或某些特定的資產并不會影響投資，只是投資中的收益在各種資產之間根據各自的風險報酬來進行分配。上述套利定價模型隱含的意思是，在單周期的投資中，從市場投資的總量來說并沒有什么隨機性，但是某些資產可以根據自己對市場因素的反映敏感性，其實也就是信息等方面的優勢，通過資產組合而獲得更豐厚的報酬，即所謂的套利。1．APT模型與有效市場假說現代對套利問題的研究是對不能獲得套利機會的研究。無套利的最重要意義在于，市場存在線性的定價規則。我們都知道，當經濟活動服從大數定律時，對于任何喜歡多數而厭惡少數的個體來說，競爭和均衡使套利的機會不存在，因此，在資產定價理論和套利定價理論中，有這樣一個非常重要的基本結論（證明很困難，故略去）定理4.3.1下面的命題是等價的：（1）無套利機會；（2）經濟中存在線性的定價規則；（3）所有依據理性選擇的消費投資人都實現了最優需求現代對套利問題的研究是對不能獲得套利機會的研究。無套利的最重

在比較深入一些的著作中，把此定理敘述為：定理4.3.2下列結論等價：（1）市場不存在套利機會；（2）存在風險中性概率側度；（3）存在狀態價格隨機過程。和定理4.3.1比較，定理4.3.2的結論可能比較抽象。其實，核心的機制就是我們在第3章3.2節中的（3.2.7）式～（3.2.9）式。在比較深入一些的著作中，把此定理敘述為：大多數現代金融研究不是基于無套利理論，就是基于無套利的基本假定。已經有理論證明，莫迪利亞尼-米勒定理、市場有效性假說與無套利的基本命題是一致的。不僅資產定價理論與套利定價理論有內在的共性，而且，期權定價理論其實也是基于套利定價模型。因為在風險中性的經濟中，期權價格與資產價格是線性關系。所以，套利定價理論告訴我們，研究與理解各種金融定價模型，把它們最基本的原理和分析模型搞清楚是非常必要和有幫助的。大多數現代金融研究不是基于無套利理論，就是基于無套利的基本假2.套利記交易證券的價格向量為

，支付矩陣為

考慮一個交易證券的組合

。它在0期的價值為

，在1期的支付向量為

。我們一般把滿足下列條件的組合

稱做套利或套利機會(arbitrageopportunity)：(1)；(2)；(3)至少有一個不等式嚴格成立。上面定義的套利可以分為三種類型：

第1類套利：

且

；

第2類套利：

且

；

第3類套利：

且

。2.套利在第1類套利中，組合的初始價值為負。這就是說，參與者在得到組合的同時還得到正的支付，而在未來任意可能狀態下的支付為0。因此，第1類套利允許參與者獲得收益卻不承擔任何未來責任。第1類套利的一個主要特征就是它的支付沒有任何不確定性。因為今天的支付為正而未來的支付為0。在第2類套利中，組合的初始投資為0卻得到正的未來支付。這里，正的支付意味著支付在所有狀態下非負且在某些狀態下嚴格為正。初始投資為0的組合也叫做套利組合(arbitrageportfolio)。值得注意的是，第2類套利的支付是不確定的。但這種不確定是“好”的。因為它總為正，只