PAGE中考沖刺：方案設計與決策型問題—知識講解（提高）【中考展望】方案設計與決策型問題對于考查學生的數學創新應用能力非常重要．如讓學生設計圖形、設計測量方案、設計最佳方案等都是近年考查的熱點，題目多以解答題為主．方案設計與決策型問題是近幾年的熱點試題，主要利用圖案設計或經濟決策來解決實際問題．題型主要包括：1．根據實際問題拼接或分割圖形；2．利用方程(組)、不等式(組)、函數等知識對實際問題中的方案進行比較等．方案設計與決策問題就是給解題者提供一個問題情境，要求解題者利用所學的數學知識解決問題，這類問題既考查動手操作的實踐能力，又培養創新品質，應該引起高度重視．【方法點撥】解答決策型問題的一般思路，是通過對題設信息進行全面分析、綜合比較、判斷優劣，從中尋找到適合題意的最佳方案．解題策略：建立數學模型，如方程模型、不等式模型、函數模型、幾何模型、統計模型等，依據所建的數學模型求解，從而設計方案，科學決策.【典型例題】類型一、利用方程（組）進行方案設計 1．國務院總理溫家寶2011年11月16日主持召開國務院常務會議，會議決定建立青海三江源國家生態保護綜合實驗區．現要把228噸物資從某地運往青海甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好能一次性運完這批物資．已知這兩種貨車的載重量分別為16噸/輛和10噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如表：運往地車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）大貨車７２０８００小貨車５００６５０（1）求這兩種貨車各多少輛？（2）如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，前往甲、乙兩地的總運費為w元，求出w與a的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資不少于120噸，請你設計出使總運費最少的貨車調配方案，并求出最少總運費．【思路點撥】（1）設大貨車用x輛，則小貨車用18－x輛，根據運輸228噸物資，列方程求解；（2）設前往甲地的大貨車為a輛，則前往乙地的大貨車為（8－a）輛，前往甲地的小貨車為（9－a）輛，前往乙地的小貨車為[10－（9－a）]輛，根據表格所給運費，求出w與a的函數關系式；（3）結合已知條件，求a的取值范圍，由（2）的函數關系式求使總運費最少的貨車調配方案.【答案與解析】解：（1）設大貨車用x輛，小貨車用y輛，根據題意得，解得答：大貨車用8輛，小貨車用10輛．（2）根據題意，得w=720a+800（8-a）+500（9-a）+650[10-（9-a）]=70a+11550，∴w=70a+11550（0≤a≤8且為整數）.（3）16a+10（9-a）≥120，解得a≥5，又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且為整數，而w=70a+11550，k=70＞0，w隨a的增大而增大，∴當a=5時，w最小，最小值為W=70×5+11550=11900（元）答：使總運費最少的調配方案是：5輛大貨車，4輛小貨車前往甲地；3輛大貨車，6輛小貨車前往乙地．最少運費為11900元．【總結升華】這是一道典型的三個“一次”攜手結伴的中考試題，把一元一次方程（組）、一元一次不等式和一次函數有機地結合起來，和諧搭配，形成知識系統化、習題系列化，可謂“一石三鳥”.類型二、利用不等式（組）進行方案設計【高清課堂：方案設計與決策型問題例3】2．（2015春?文昌校級月考）為美化市容，園林部門決定利用現有的3600盆甲種花卉和2900盆乙種花卉搭配A，B兩種園藝造型共50個，擺放在文廟廣場，搭配每個造型所需花卉情況如表，解答問題：造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆（1）符合題意的搭配方案有哪幾種？（2）若搭配一個A種造型的成本為1000元，搭配一個B種造型的成本為1200元，試說明選用哪種方案成本最低？【思路點撥】（1）設需要搭配x個A種造型，則需要搭配B種造型（50﹣x）個，根據題意列不等式組求解，取整數值即可；（2）通過計算比較得出那種方案成本最低．【答案與解析】解：（1）設需要搭配x個A種造型，則需要搭配B種造型（50﹣x）個，則有，解得：30≤x≤32，所以x=30或31或32．第一方案：A種造型32個，B種造型18個；第二種方案：A種造型31個，B種造型19個；第三種方案：A種造型30個，B種造型20個．（2）分別計算三種方案的成本為：32×1000+18×1200=53600，31×1000+19×1200=53800，30×1000+20×1200=54000，通過比較可知第一種方案成本最低．【總結升華】此題考查一元一次不等式組的實際運用，找出題目蘊含的不等關系是解決問題的關鍵．舉一反三：【變式】榮昌公司要將本公司100噸貨物運往某地銷售，經與春晨運輸公司協商，計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共6輛，用這6輛汽車一次將貨物全部運走，其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸，每輛乙型汽車最多能裝該種貨物18噸．已知租用1輛甲型汽車和2輛乙型汽車共需費用2500元；租用2輛甲型汽車和l輛乙型汽車共需費用2450元．且同一種型號汽車每輛租車費用相同．(1)求租用一輛甲型汽車、一輛乙型汽車的費用分別是多少元?(2)若榮昌公司計劃此次租車費用不超過5000元．通過計算求出該公司有幾種租車方案?請你設計出來，并求出最低的租車費用．【答案】(1)設租用一輛甲型汽車的費用是x元，租用一輛乙型汽車的費用是y元．由題意得解得答：租用一輛甲型汽車的費用是800元，租用一輛乙型汽車的費用是850元．(2)設租用甲型汽車z輛，則租用乙型汽車(6-z)輛．由題意得解得2≤x≤4．由題意知，z為整數，∴z＝2或z＝3或z＝4．∴共有3種方案，分別是：方案一：租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛；方案二：租用甲型汽車3輛，租用乙型汽車3輛；方案三：租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛．方案一的費用是800×2+850×4＝5000(元)；方案二的費用是800×3+850×3＝4950(元)；方案三的費用是800×4+850×2＝4900(元)．5000＞4950＞4900，所以最低運費是4900元．答：共有3種方案，分別是：方案一：租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛；方案二：租用甲型汽車3輛，租用乙型汽車3輛；方案三：租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛．最低運費是4900元．類型三、利用方程（組）、不等式（組）綜合知識進行方案設計3．為了抓住梵凈山文化藝術節的商機，某商店決定購進A、B兩種藝術節紀念品．若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要950元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要800元．(1)求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？(2)若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買這100件紀念品的資金不少于7500元，但不超過7650元，那么該商店共有幾種進貨方案？(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第(2)問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【思路點撥】這是一道融三個“一次”為一體的綜合性應用題，體現了任何數學知識不是片面、孤立存在的，而是相互依賴、相互聯系和相互作用的數學意識.【答案與解析】解：（1）設該商店購進一件A種紀念品需要a元，購進一件B種紀念品需要b元.根據題意得方程組解方程組，得∴購進一件A種紀念品需要100元，購進一件B種紀念品需要50元.（2）設該商店購進A種紀念品x件，則購進B種紀念品有（100—x）件.∴解得50≤x≤53.∵x為正整數,∴x可取50,51,52,53.∴共有4種進貨方案.（3）設所獲利潤為y元，根據題意，有y=20x+30（100-x）=-10x+3000.∵-10＜0，∴y隨x的增大而減小，∴x=50時，y最大值=-50×10+3000=2500(元).∴當購進A種紀念品50件，B種紀念品50件時，可獲最大利潤，最大利潤是2500元.【總結升華】只要我們弄清了三個“一次”之間的內在聯系，構建其模型，把握題型規律，梳理相關信息，就會輕松、有效地解決這類問題.舉一反三：【變式】為了解決農民工子女就近入學問題，我市第一小學計劃2012年秋季學期擴大辦學規模．學校決定開支八萬元全部用于購買課桌凳、辦公桌椅和電腦，要求購買的課桌凳與辦公桌椅的數量比為20∶1，購買電腦的資金不低于16000元，但不超過24000元．已知一套辦公桌椅比一套課桌凳貴80元，用2000元恰好可以買到10套課桌凳和4套辦公桌椅(課桌凳和辦公桌椅均成套購進)．(1)一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為多少元？(2)求出課桌凳和辦公桌椅的購買方案．【答案】解：(1)設一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為x元、y元，則，解得.答：一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為120元，200元．(2)設購買辦公桌椅m套，則購買課桌凳20m套，由題意有16000≤80000－120×20m－200×m≤24000，解得，21≤m≤24，∵m為整數，∴m＝22、23、24，有三種購買方案，具體方案如下表：方案一方案二方案三課桌凳(套)440460480辦公桌椅(套)222324類型四、利用函數知識進行方案設計4．（2016?營口）某花店準備購進甲、乙兩種花卉，若購進甲種花卉20盆，乙種花卉50盆，需要720元；若購進甲種花卉40盆，乙種花卉30盆，需要880元．（1）求購進甲、乙兩種花卉，每盆各需多少元？（2）該花店銷售甲種花卉每盆可獲利6元，銷售乙種花卉每盆可獲利1元，現該花店準備拿出800元全部用來購進這兩種花卉，設購進甲種花卉x盆，全部銷售后獲得的利潤為W元，求W與x之間的函數關系式；（3）在（2）的條件下，考慮到顧客需求，要求購進乙種花卉的數量不少于甲種花卉數量的6倍，且不超過甲種花卉數量的8倍，那么該花店共有幾種購進方案？在所有的購進方案中，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【思路點撥】（1）根據題意可以列出相應的二元一次方程組，從而可以求得購進甲、乙兩種花卉，每盆各需多少元；（2）根據題意可以寫出W與x的函數關系式；（3）根據題意可以列出相應的不等式組，從而可以得到有幾種購進方案，哪種方案獲利最大，最大利潤是多少．【答案與解析】解：（1）設購進甲種花卉每盆x元，乙種花卉每盆y元，，解得，，即購進甲種花卉每盆16元，乙種花卉每盆8元；（2）由題意可得，W=6x+，化簡，得W=4x+100，即W與x之間的函數關系式是：W=4x+100；（3），解得，10≤x≤12.5，故有三種購買方案，由W=4x+100可知，W隨x的增大而增大，故當x=12時，，即購買甲種花卉12盆，乙種花卉76盆時，獲得最大利潤，此時W=4×12+100=148，即該花店共有三種購進方案，在所有的購進方案中，購買甲種花卉12盆，乙種花卉76盆時，獲利最大，最大利潤是148元．【總結升華】本題考查一次函數的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是明確題意、列出相應的方程組或不等式組．類型五、利用幾何知識進行方案設計5．某縣社會主義新農村建設辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所飲水站，由供水站直接鋪設管道到另外兩處．如圖所示，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段(村子和公路的寬均不計)，點M表示這所中學．點B在點M的北偏西30°的3km處，點A在點M的正西方向，點D在點M的南偏西60°的km處．為使供水站鋪設到另兩處的管道長度之和最短，現有如下三種方案：方案一：供水站建在點M處，請你求出鋪設到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(線段CD某處)，甲村要求管道鋪設到A處，請你在圖①中，畫出鋪設到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(線段AB某處)，請你在圖②中，畫出鋪設到乙村某處和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值．綜上，你認為把供水站建在何處，所需鋪設的管道最短？【思路點撥】本題以緊密聯系學生生活的“將軍飲馬”問題為原型，情景設計合理，設問層次分明，可以參照“將軍飲馬”問題來解決該題.【答案與解析】解：方案一：由題意可得：MB⊥OB，∴點M到甲村的最短距離為MB．∵點M到乙村的最短距離為MD．∴將供水站建在點M處時，管道沿MD、MB線路鋪設的長度之和最小．即最小值為MB+MD＝．方案二：如答圖①，作點M關于射線OE的對稱點M′，則MM′＝2ME，連接AM′交OE于點P，則PEAM．∵AM＝2BM＝5，∴PE＝3．在Rt△DME中，∵DE＝DM·sin60°＝，．∴PE＝DE．∴P、D兩點重合．即AM′過D點．在線段CD上任取一點P′，連接P′A，P′M，P′M′，則P′M＝P′M′．∵AP′－P′M′＞AM′．∴把供水站建在乙村的D點處，管道沿DA、DM線路鋪設的長度之和最小．即最小值為AD+DM＝AM′＝．方案三：如答圖②，作點M關于射線OF的對稱點M′，連接GM，則GM′＝GM．作M′N⊥OE于點N，交OF于點G，交AM于點H，∴M′N為點M′到OE的最短距離，即M′N＝GM+GN．在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6．∴MH＝3，∴NE＝MH＝3．∵DE＝3，∴N、D兩點重合，即M′N過D點．在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝．在線段AB上任取一點G′，過G′作G′N′⊥OE于點N′，連接G′M′、G′M．顯然G′M+G′N′＝G′M′+G′N′＞M′D．∴把供水站建在甲村的G處，管道沿GM、GD線路鋪設的長度之和最小．即最小值為GM+GD＝M′D＝．綜上，∵，∴供水站建在M處，所需鋪設的管道長度最短．【總結升華】考查了學生的類比思想、操作、猜想論證和嚴密的數學思維能力，體現了對過程性目標的考查．舉一反三：【高清課堂：方案設計與決策型問題例4】【變式】在△ABC中，BC＝a，BC邊上的高h＝2a，沿圖中線段DE、CF將△ABC剪開，分成的三塊圖形恰能拼成正方形CFHG，如圖所示．請你解決如下問題：已知：在銳角△ABC中，BC＝a，BC邊上的高h＝．請你設計兩種不同的分割方法，將△ABC沿分割線剪開后，所得的三塊圖形恰能拼成一個正方形，畫出分割線及拼接后的圖形．【答案】中考沖刺：方案設計與決策型問題—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1.（2016春?內江期末）有甲，乙，丙三種商品，如果購甲3件，乙2件，丙1件共需315元錢，購甲1件，乙2件，丙3件共需285元錢，那么購甲，乙，丙三種商品各一件共需（）A．50 B．100 C．150 D．2002．在方格紙中，選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構成中心對稱圖形．該小正方形的序號是（）A．①B．②C．③D．④3.下面的四個圖案中，既可用旋轉來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個圖案的形成過程的圖案有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個二、填空題4．我們知道，只有兩邊和一角對應相等的兩個三角形不一定全等.你如何處理和安排這三個條件，使這兩個三角形全等.請你仿照方案（1），寫出方案（2）、（3）.解：設有兩邊和一角對應相等的兩個三角形.方案（1）：若這角恰好是直角，則這兩個三角形全等.方案（2）：.方案（3）：.5．（重慶校級期中）適逢南開中學建校78周年暨（融僑）中學建校10周年校慶活動，學校準備印刷2000份校慶專刊．甲廠的優惠是先降價20%，再降價10%，乙廠的優惠是前1000份優惠10%，后1000份優惠30%，選擇廠更劃算．6.幾何模型：條件：如下左圖，A、B是直線同旁的兩個定點．問題：在直線上確定一點P，使PA+PB的值最小．方法：作點A關于直線的對稱點，連結交于點，則的值最小（不必證明）．模型應用：（1）如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點．連結，由正方形對稱性可知，與關于直線對稱．連結交于，則的最小值是___________；（2）如圖2，的半徑為2，點在上，，，是上一動點，則的最小值是___________；（3）如圖3，，是內一點，，分別是上的動點，則周長的最小值是___________．AAB′PlOABPRQ圖3OABC圖2ABECPD圖1P三、解答題7.（2016?臨沂）現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高速發展．小明計劃給朋友快遞一部分物品，經了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適．甲公司表示：快遞物品不超過1千克的，按每千克22元收費；超過1千克，超過的部分按每千克15元收費．乙公司表示：按每千克16元收費，另加包裝費3元．設小明快遞物品x千克．（1）請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用y（元）與x（千克）之間的函數關系式；（2）小明選擇哪家快遞公司更省錢？8．（2015?宜昌模擬）今年是“十二五”計劃的開局之年，5月16日國務院討論通過《國家基本公共服務體系“十二五”規劃》．會議決定：本年度安排264億元的財政補貼用于推廣符合節能標準的家用電器（包括空調、平板電視、洗衣機和熱水器），其中洗衣機、平板電視的補貼比熱水器補貼分別多20%、40%，而熱水器的補貼比空調補貼少；同時建議，以后兩年用于推廣符合節能標準家用電器的財政補貼每年遞增a億元，“十二五”的最后兩年用于此項財政補貼每年按照一定比例遞增，從而使“十二五”期間財政補貼總額比規劃第二年補貼的5.31倍還多2.31a億元．（1）若熱水器的財政補貼今年比2011年增長10%，則2011年熱水器的財政補貼為多少億元？（2）求“十二五”的最后兩年用于此項財政補貼的年平均增長率．9.某工廠計劃為某山區學校生產A，B兩種型號的學生桌椅500套，以解決1250名學生的學習問題，一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m，工廠現有庫存木料302m．（1）有多少種生產方案？（2）現要把生產的全部桌椅運往該學校，已知每套型桌椅的生產成本為100元，運費2元；每套B型桌椅的生產成本為120元，運費4元，求總費用y（元）與生產A型桌椅x（套）之間的關系式，并確定總費用最少的方案和最少的總費用．（總費用生產成本運費）（3）按（2）的方案計算，有沒有剩余木料？如果有，請直接寫出用剩余木料再生產以上兩種型號的桌椅，最多還可以為多少名學生提供桌椅；如果沒有，請說明理由.10.如圖1,矩形鐵片ABCD的長為,寬為;為了要讓鐵片能穿過直徑為的圓孔,需對鐵片進行處理(規定鐵片與圓孔有接觸時鐵片不能穿過圓孔)；(1)如圖2,M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點,若將矩形鐵片的四個角去掉,只余下四邊形MNPQ,則此時鐵片的形狀是_______________,給出證明,并通過計算說明此時鐵片都能穿過圓孔；(2)如圖3,過矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點E、F(不與端點重合),沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個全等的直角梯形鐵片；①當BE=DF=時,判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過圓孔,并說明理由；②為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過圓孔,請直接寫出線段BE的長度的取值范圍.【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】設購甲，乙，丙三種商品各一件需要x元、y元、z元．根據題意，得，兩方程相加，得4x+4y+4z=600，x+y+z=150．則購甲，乙，丙三種商品各一件共需150元．2.【答案】B；【解析】如圖，把標有序號②的白色小正方形涂黑，就可以使圖中的黑色部分構成一個中心對稱圖形．

故選B．3.【答案】A【解析】根據旋轉、軸對稱的定義來分析．

圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動；

軸對稱是指如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩側的圖形能夠互相重合，就是軸對稱．圖形1可以旋轉90°得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形2可以旋轉180°得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形3可以旋轉180°得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形4可以旋轉90°得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合．

故既可用旋轉來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個圖案的形成過程的圖案有4個．

故選A．二、填空題4.【答案】方案（2）：該角恰為兩邊的夾角時；方案（3）：該角為鈍角時.5.【答案】甲.【解析】設每一份校慶專刊的單價為a元．甲廠的花費：2000a（1﹣20%）（1﹣10%）=1440a；乙廠的花費：1000a（1﹣10%）+1000a（1﹣30%）=1600a；1440a＜1600a所以選擇甲廠更劃算．故答案為：甲．6.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解：（1）的最小值是DE，.（2）延長AO交⊙o于點D，連接CD交OB于P則PA=PD，PA+PC=PC+PD=CD連接AC，∵AD為直徑，∴∠ACD＝90°，AD＝４∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝30°在Rt△ACD中，CD＝cos30°?AD=，即PA+PC的最小值為（3）解：分別作點P關于OA，OB的對稱點E，F，連接EF交OA，OB于R，Q，則△PRQ的周長為：EF，∵OP=OE=OF=10,∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,∵∠AOB=45°,∴∠EOF=90°在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=10，即△PRQ的周長最小值為10三、解答題7．【答案與解析】解：（1）由題意知：當0＜x≤1時，y甲=22x；當1＜x時，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3．（2）①當0＜x≤