1、應用多元統計分析第六章部分習題解答第1頁第1頁2 第六章 聚類分析 6-1 證實下列結論: (1) 兩個距離和所構成函數仍是距離; (2) 一個正常數乘上一個距離所構成函數仍是距離; (3)設d為一個距離,c0為常數,則仍是一個距離; (4) 兩個距離乘積所構成函數不一定是距離; 第2頁第2頁3第六章 聚類分析(2) 設d是距離,a 0為正常數.令d*=ad,顯然有第3頁第3頁4第六章 聚類分析故d*=ad是一個距離. (3) 設d為一個距離,c0為常數,顯然有第4頁第4頁5第六章 聚類分析故d*是一個距離.第5頁第5頁6第六章 聚類分析第6頁第6頁7第六章 聚類分析6-2 試證實二值變量相關

2、系數為(6.2.2)式，夾角余弦為(6.2.3)式.證實：設變量Xi和Xj是二值變量，它們n次觀測值記為xti, xtj (t=1,n). xti, xtj 值或為0，或為1.由二值變量列聯表（表6.5）可知：變量Xi取值1觀測次數為a+b,取值0觀測次數為c+d;變量Xi和Xj取值均為1觀測次數為a,取值均為0觀測次數為d 等等。利用兩定量變量相關系數公式：第7頁第7頁8第六章 聚類分析第8頁第8頁9第六章 聚類分析故二值變量相關系數為：(6.2.2)第9頁第9頁10第六章 聚類分析利用兩定量變量夾角余弦公式：其中故有第10頁第10頁11第六章 聚類分析6-3 下面是5個樣品兩兩間距離陣試用

3、最長距離法、類平均法作系統聚類，并畫出譜系聚類圖.解:用最長距離法: 合并X(1),X(4)=CL4,并類距離 D1=1.第11頁第11頁12第六章 聚類分析 合并X(2),X(5)=CL3,并類距離 D2=3. 合并CL3,CL4=CL2,并類距離 D3=8. 所有樣品合并為一類CL1,并類距離 D4=10.第12頁第12頁13第六章 聚類分析最長距離法譜系聚類圖下列:第13頁第13頁14第六章 聚類分析 合并X(1),X(4)=CL4,并類距離 D1=1.用類平均法:第14頁第14頁15第六章 聚類分析 合并X(2),X(5)=CL3,并類距離 D2=3. 合并CL3,CL4=CL2,并類

4、距離 D3=(165/4)1/2. 所有樣品合并為一類CL1,并類距離 D4=(121/2)1/2.第15頁第15頁16第六章 聚類分析類平均法譜系聚類圖下列:第16頁第16頁17第六章 聚類分析6-4 利用距離平方遞推公式來證實當0,p0,q0,p+q+1時,系統聚類中類平均法、可變類平均法、可變法、Ward法單調性. 證實：設第L次合并Gp和Gq為新類Gr后,并類距離DL Dpq,且必有Dpq2Dij2 . 新類Gr與其它類Gk距離平方遞推公式 ,當0,p0,q0, p+q+ 1 時 這表明新距離矩陣中類間距離均 Dpq DL ，故有DL1 DL ，即相應聚類法有單調性.第17頁第17頁1

5、8第六章 聚類分析 對于類平均法，因故類平均法含有單調性。 對于可變類平均法，因故可變類平均法含有單調性。第18頁第18頁19第六章 聚類分析 對于可變法，因故可變法含有單調性。 對于離差平方和法，因故離差平方和法含有單調性。第19頁第19頁20第六章 聚類分析6-5 試從定義直接證實最長和最短距離法單調性. 證實：先考慮最短距離法： 設第L步從類間距離矩陣 出發，假設故合并Gp和Gq為一新類Gr，這時第L步并類距離:且新類Gr與其它類Gk距離由遞推公式可知設第L+1步從類間距離矩陣 出發，第20頁第20頁21第六章 聚類分析故第L1步并類距離:即最短距離法含有單調性. 類似地,能夠證實最長距

6、離法也含有單調性.第21頁第21頁22第六章 聚類分析6-6 設A,B,C為平面上三個點,它們之間距離為將三個點當作三個二維樣品,試用此例闡明中間距離法和重心法不含有單調性. 解:按中間距離法,取=-1/4,將B和C合并為一類后,并類距離D1=1,而A與新類Gr=B,C類間平方距離為第22頁第22頁23第六章 聚類分析故中間距離法不含有單調性。 按重心法,將B和C合并為一類后,并類距離D1=1,而A與新類Gr=B,C類間平方距離為當把A與B，C并為一類時，并類距離第23頁第23頁24第六章 聚類分析故重心法法不含有單調性。并類過程下列： 當把A與B，C并為一類時，并類距離ABC第24頁第24頁

7、25第六章 聚類分析解一: 利用假如樣品間距離定義為歐氏距離,則有6-7 試推導重心法距離遞推公式(6.3.2);第25頁第25頁26第六章 聚類分析第26頁第26頁27第六章 聚類分析第27頁第27頁28第六章 聚類分析解二:因樣品間距離定義為歐氏距離,利用第28頁第28頁29第六章 聚類分析利用第29頁第29頁30第六章 聚類分析故有第30頁第30頁31第六章 聚類分析6-8 試推導Ward法距離遞推公式(6.3.3);解：Ward法把兩類合并后增長離差平方和當作類間平方距離,即把類Gp和Gq平方距離定義為利用Wr定義:第31頁第31頁32第六章 聚類分析第32頁第32頁33第六章 聚類分

8、析第33頁第33頁34第六章 聚類分析(當樣品間距離定義為歐氏距離時）記GrGp,Gq,則新類Gr與其它類Gk平方距離為利用重心法遞推公式(6-7題已證實)可得：第34頁第34頁35第六章 聚類分析第35頁第35頁36第六章 聚類分析6-9 設有5個樣品,對每個樣品考察一個指標得數據為1，2,5,7,10.試用離差平方和法求5個樣品分為k類(k5,4,3，2,1)分類法bk及相應總離差平方和W(k). 解：計算樣品間歐氏平方距離陣 合并 1,2 CL4,并類距離D1=(0.5)1/2 =0.707 ，并利用遞推公式計算新類與其它類平方距離得第36頁第36頁37第六章 聚類分析合并 5,7 CL3,并類距離D2=(2)1/2 =1.414 ，并利用遞推公式計算新類與其它類平方距離得 合并 CL3,10=5,7,10 CL2,并類距離D3=(32/3)1/2 =3.266 ，并利用遞推公式計算新類與其它類平方距離得第37頁第37頁38第六章 聚類分析 合并 CL4,CL2=1,2,5,7,10 CL1,并類距離D4 =(245/6)1/2 = 6.39 ，并利用遞推公式計算新類與其它類平方距離得分類