1、專題8.3簡單幾何體的表面積與體積知識儲備1.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側2S底VS底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側S底VS底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側S上S下V(S上S下)h球S4R2VR32.正方體與球的切、接常用結論正方體的棱長為a，球的半徑為R，(1)若球為正方體的外接球，則2Ra；(2)若球為正方體的內切球，則2Ra；(3)若球與正方體的各棱相切，則2Ra.3.長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R.4.正四面體的外接球與內切球的半徑之比為31.能力檢測注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘

2、，試題共16題答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置 一、單選題1（2020合肥市第十一中學高二期中（文）如圖，已知正方體的棱長為1，則四棱錐的體積為（ ）ABCD【答案】A【解析】由正方體性質得平面，所以四棱錐的體積為，故選：B.2（2019西安交通大學附屬中學雁塔校區高一月考）直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ， ， ，D 是線段 的中點棱柱 被平面 分成的兩部分的體積比為（ ）A1:3B1:4C2:3D1:5【答案】D【解析】在中，為中點直三棱柱中，平面是三棱錐的高，也是直三棱柱的高,.棱柱 被平面 分成的兩部分的體積比為1:5.故選：D3（

3、2020山西呂梁市高二期中）已知為球的球面上的四個點，圓為的外接圓若圓的面積為，則球的體積為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意可得為等邊三角形，設外接圓半徑為，解得，由，可知三棱錐為正四面體，將正四面體放在正方體，如圖：設正方體的棱長為，則，解得，設正方體的外接球半徑為，則，所以，所以球的體積為.故選：B4（2020山西呂梁市高二期中）已知是某一棱長為2的正方體展開圖中的兩條線段，則原正方體中幾何體的表面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】由所給正方體的展開圖得到直觀圖，如圖：則此三棱錐的表面積為：.故選：A5（2020湖南高三月考）如圖，戰國商鞅銅方升是公元前344年商鞅督造的標準量器.

4、秦始皇統一中國后，仍以商鞅所規定的制度和標準統一全國的度量衡.經測量，該銅方升內口（長方體）深1寸，內口長是寬的1.8倍，內口的表面積（不含上底面）為33平方寸，則該銅方升內口的容積為（ ）A5.4立方寸B8立方寸C16立方寸D16.2立方寸【答案】D【解析】設內口寬為寸，則長為寸，由整理得，解得（舍去）故所求的容積為立方寸.故選：D6（2020寧夏長慶高級中學高三月考（理）一個圓錐的表面積為，它的側面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的高長為（ ）AB2CD【答案】D【解析】設圓錐底面半徑是，母線長，即根據圓心角公式得：，即由解得：，高.故選：D.7（2020河北高二學業考試）若圓錐的底面半徑

5、和高都等于球的半徑，則圓錐的體積與球的體積之比是（ ）ABCD【答案】D【解析】設球的半徑為，則該球的體積為；又圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，所以該圓錐的體積為，因此圓錐的體積與球的體積之比是.故選：D.8（2020昔陽縣中學校高二期中）已知三棱錐的各頂點都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，則此球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】作出三棱錐，如圖：因為平面，則，又因為，所以，由，所以平面，所以,所以為直角三角形，又為直角三角形，所以三棱錐的外接球球心在的中點上，解得，所以,故三棱錐的外接球半徑，所以外接球表面積為.故選：B二、多選題9（2020全國高三專題練習）已知正方體的各

6、棱長均為2，下列結論正確的是（ ）A該正方體外接球的直徑為B該正方體內切球的表面積為C若球O與正方體的各棱相切，則該球的半徑為D該正方體外接球的體積為【答案】ABC【解析】若正方體的棱長為2，則：若球為正方體的外接球，則外接球直徑等于正方體體對角線，即，故A正確，外接球體積為，故D錯誤；若球為正方體的內切球，則內切球半徑為棱長的一半，故，球的表面積為，故B正確；若球與正方體的各棱相切，則球的直徑等于正方形對角線長，即，球的半徑為，故C正確故本題選：ABC.10（2020江蘇連云港市高一期末）正方體的外接球與內切球上各有一個動點M，N，若線段MN的最小值為，則（ ）A正方體的外接球的表面積為12

7、B正方體的內切球的體積為C正方體的棱長為1D線段MN的最大值為【答案】AD【解析】設正方體的棱長為，則其外接球的半徑為，內切球的半徑為，正方體的外接球與內切球上各有一個動點M，N，由于兩球球心相同，可得MN的最小值為，解得，故C錯誤；所以外接球的半徑為，表面積為，故A正確；內切球的半徑為1，體積為，故B錯誤；MN的最大值為，故D正確；故選：AD.11（2020濰坊市濰城區教育局高三月考）沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時問稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的

8、底面直徑和高均為8cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的(細管長度忽略不計).假設該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結論正確的是（ ）A沙漏中的細沙體積為B沙漏的體積是C細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD該沙漏的一個沙時大約是1565秒【答案】AC【解析】A.根據圓錐的截面圖可知：細沙在上部時，細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細沙的高與圓錐的高之比，所以細沙的底面半徑，所以體積B.沙漏的體積；C.設細沙流入下部后的高度為，根據細沙體積不變可知：，所以；D.因為細沙的體積為，沙漏每秒鐘漏下的沙，所以一個沙

9、時為：秒.故選：AC12（2020武安市第三中學高三期中）已知三棱錐ABCD中，BCCD，ABAD，BC1，CD，則（ ）A三棱錐的外接球的體積為B三棱錐的外接球的體積為C三棱錐的體積的最大值為D三棱錐的體積的最大值為【答案】AC【解析】如圖，BCCD，BC1，CD，BD2，ABAD，ABAD，BD的中點O為外接球球心，故半徑為1，體積為 ，當面ABD與面CBD相互垂直時，點A到面BCD的距離最大，故此時三棱錐的體積最大，此時高為AOBD1；其最大值為：1BCCD1故選：AC三、填空題13（2019西安交通大學附屬中學雁塔校區高一月考）已知 S， A， B， C是球O 表面上的點， 面ABC，

10、則球O的表面積為 _【答案】12【解析】SA平面ABC，ABBC，四面體SABC的外接球半徑等于以AB為邊長的正方體的體對角線的一半，則正方體外接球的半徑，則球體的表面積為：.故答案為:12.14（2020江蘇南通市高三期中）在我國古代數學名著九章算術中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個“塹堵”，其中，則這個“塹堵”的外接球的表面積為_.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以可將三棱柱補成一個長方體，如圖：則該長方體的對角線長等于這個“塹堵”的外接球的直徑，所以，所以.所以外接球的表面積為.故答案為：15（2020山東日照市日照一中高三月考）張衡是中國東漢時期偉大的天文學家、數學家，他曾經得出圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，底面，且，利用張衡的結論可得球的表面積為_.【答案】【解析】如圖所示：因為，所以，的外接圓的圓心為BD的中點，又底面，由截面圓的性質得：球的球心為側棱的中點，從而球的直徑為，利用張衡的結論可得