1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法若題設(shè)中已知數(shù)列的類(lèi)型，我們可用其性質(zhì)及有關(guān)公式來(lái)求解。例 1 ：若等差數(shù)列an 滿(mǎn)足bn=(1 )an，且b1+b2+b3=21 ,b 1b2b3= 1，求通頂公式an. TOC o 1-5 h z 288121解析： 由b1b2b3=a1+a2+a3=3a2=1， 根據(jù)題設(shè)可設(shè)等差數(shù)列a n的公差為d， 則由b1+b2+b3=，88() 1-d +() 1+() 1+d=d=2 或 d=-2 ，an=a2+(n-2)d=2n-1或 an=5-2n 。22281. （ 20XX 年 高 考 （ 廣 東 理 ） ）（ 數(shù) 列 ） 已 知 遞 增 的 等

2、差 數(shù) 列an 滿(mǎn) 足a11 , a3a22 4 , 則a 7 1,且 a4,a5 1,a6 成等差數(shù)列.求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式;Sn 為數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和已知an .已知實(shí)數(shù)列an是 等比數(shù)列,其中.設(shè) an 是公比大于1 的等比數(shù)列，S3 7 ，且a1 3， 3a2， a3 4構(gòu)成等差數(shù)列（ 1 ）求數(shù)列an 的等差數(shù)列a1b11a3 b521 ， a5 b313.設(shè) an 是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且（）求an ， bn的通項(xiàng)公式；2.解： （）設(shè)等比數(shù)列an 的公比為q（q R） ，a7a1q61 ，得 a1 q 6，從而a4a1q3 q 3，42a5a1qq51

3、a6a1qq因?yàn)閍4， a5 1， a6 成等差數(shù)列，所以a4 a6 2(a5 1)，即 q 3 q 1 2(q 2 1)， q 1(q 2 1) 2(q 2 1)a1 a2 a3 7，解得a22 所解： ( 1)由已知得: (a1 3) (a3 4)133a2.223. 設(shè)數(shù)列an 的公比為q ，由 a2 2 ，可得a12， a3 q2q 又S3 7 ，可知 2 2 2q 7 ，即qa1 1 故數(shù)列an 的通項(xiàng)為22q2 5q 2 0，解得q1 2，1q2由題意得q1，q 2 2n1an 2 1 2d q4.解： （）設(shè)an 的公差為d ，bn 的公比為q ，則依題意有q 0且1 4d q2

4、 13，解得 d 2， q 2所以 an 1 (n 1)d 2n 1， bn qn 1 2n 11n1q 2 故ana1qq 6 qn 1 64 1 n 1 Sn與an的關(guān)系S1,(n 1)n=1 時(shí)，S1=a1，當(dāng)n 2 時(shí)， anSn Sn 1,(n 2)例 1 ：已知數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和Sn=10n+1，求通項(xiàng)公式an.解析：當(dāng)n 2 時(shí)，an=Sn-Sn-1 =10n+1-(10 n-1+1)=9 10n-1 ，又當(dāng) n=1 時(shí)，a1=S1=11 不適合上式，通項(xiàng)公11(n 1)式 an=。9 10n 1(n 2)例2：正項(xiàng)數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和為Sn，若2 Sn =an+1(n

5、 N*) ，求通項(xiàng)公式an解析：根據(jù)題設(shè)2 Sn =an+1 得4Sn=an2+2an+1，當(dāng)n 2 時(shí)，有4Sn-1 =an-12+2an-1 +1 ，二式相減，得4an=an -a n-1 +2(a n-a n-1 ) ，即 an -a n-1 -2(a n+an-1 )=0 ，由an0 知 an-a n-1 =2，所以a n 是2 為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n=1 時(shí)，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， Sn 2n 3 ;求 an.已知數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：log2(Sn 1) n 1 ，求通項(xiàng)an ；2S2設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足首項(xiàng)

6、a11 ，前 n 項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an滿(mǎn)足：an2Sn(n 2)，求通項(xiàng)an.2Sn 1已知數(shù)列an 滿(mǎn)足： a1 2a2 3a3nan n(n 1)(n 2) ，求通項(xiàng)an .n1已知數(shù)列2n-1an 的前n 項(xiàng)和Sn 9 6n 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè) b n 3 log | an | ，求數(shù)列1 的前 n 項(xiàng)和n2 3bn設(shè)an的前n 項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足sn=n2+2n-1, 求an的通項(xiàng)公式答案： 5.1) an6n1(2)nn1三、累加法和累乘法若已知數(shù)列的遞推公式為an+1=an+f(n) 可采用累加法，數(shù)列的遞推公式為an+1=an f(n) 則采用累乘法。累加法 遞 推式為：an

7、+1=an+f(n ) (f(n)可求和)可能要用到的一些公式：1222 32n2 n(n 1)(2n 1)613 23 33 n3 n(n 1)222 3 n n(n 1)2例 1、已知數(shù)列a中 ,a1=1,an+1=an+ 2n ,求 an解： 令 n=1,2, ,n-1 可得a2-a1=22a3-a2=23a4-a3=2將這個(gè)式子累加起來(lái)可得an-an-1=2n-1an-a1=f(1)+f(2)+ +f(n-1) f(n)可求和 an=a 1+f(1)+f(2)+ +f-(1n)當(dāng) n=1 時(shí),a1 適合上式故an=2 n-1累乘法遞推式為：an+1 =f(n)a n( f(n)要可求積

8、)例 1 、 在數(shù)列an中,a1=2,a n+1=(n+1)a n/n,求an解： 令 n=1,2, ,n-1 可得a2/a1 =f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)將這個(gè)式子相乘后可得an/a1=2/1 3/24 /3 n/(n-1) 即an=2n當(dāng) n=1 時(shí)，an也適合上式an=2n*anan 1 n (n N ，且 n 2) ；數(shù)列 an 滿(mǎn)足首項(xiàng)a13， nan(n 1)an 1，求通項(xiàng)an TOC o 1-5 h z 已知數(shù)列an 滿(mǎn)足 a1 1 ，Sn(n 1)an (n 1)，求an 的通項(xiàng)公式.nn2n4、設(shè)數(shù)列an 滿(mǎn)足首項(xiàng)a11 ，

9、a1a2a3ann2an，求通項(xiàng)an .n2n設(shè) a n 是首項(xiàng)為1 的正項(xiàng)數(shù)列且(n+1) an+12-na n2+an+1 an=0(n=1,2,3) ，求它的通項(xiàng)公式an.1在數(shù)列 an 中， a1 3 , an 1 an，求通項(xiàng)公式ann(n 1)22設(shè)數(shù)列 an是首項(xiàng)為1 的正項(xiàng)數(shù)列，且(n 1)an 1 nan an 1an0( n=1,2,3 ) ，則它的通項(xiàng)公.式是an =(答案 5. 解析：由(n+1) an+1 -na n +an+1 an=0 得 (a n+1+an)(n+1)a n+1-na n=0, 又an,a n+10, an+1=an，則n1 TOC o 1-5

10、h z a2=a1,a3=a2an=nan-1，把 n 個(gè)式子累乘得:an=() () ( n ) a1，又 a1=1 故得an=。23n23nn四、待定系數(shù)法( 1)對(duì)于形如an+1=pan+q(p,q 為常數(shù) )的遞推公式都可以采用此法，即可設(shè)an+1-t=p(a n-t) 再設(shè)法求出參數(shù)t.例 1 在數(shù)列 an中a1=1，當(dāng)n 2 時(shí)，有an=3an-1+2，求其通項(xiàng)an.解析：由題設(shè)知an+1=3an+2，可化為an+1-t=3(a n-t) ，即an+1=3an-2t ，比較系數(shù)得-2t=2 ，即 t1，于是an+1+1=3(an+1) ，故數(shù)列a n+1是公比為3 的等比數(shù)列，首項(xiàng)

11、為a1+1=2，則an+1=2 3n-1，即an=2 3n-1-1 。a1 1 ， an 1 8an 1 . 3.ana11 ，an 11；2.n2、遞推式為an+1=pan+qn (p,q 為常數(shù) )思路： 1)當(dāng) p=q 時(shí)，在an+1 =pa n+q n 兩邊同時(shí)除以qn+1 得 an+1 /qn+1=p/qa n/qn+i/q構(gòu)造數(shù)列bn,bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q 故可利用上類(lèi)型的解法得到bn=f(n)再將代入上式即可得an2)當(dāng)p q 時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列an+1-t qn =p(a n-t qn-1)，在求數(shù)列an例2、數(shù)列an中 ,a1=5/6,a n+1=(

12、1/3)a n+(1/2) n,求an解： 在an+1=(1/3)a n+(1/2) n兩邊同時(shí)除以(1/2) n+1 得2n+1an+1=(2/3) 2nan+1構(gòu)造數(shù)列bn,bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上類(lèi)型解法解得bn=3-2 (2/3)n2nan=3-2 (2/3)nan=3 (1/2)n-2 (1/3)n1. a111n4 ， an 2an 1 2 (n 2)數(shù)列an中 ,a1=1,a n+1=3an+3n,求an、遞推式為：an+2=pan+1+qan ( p,q為常數(shù))思路：設(shè)an+2 =pa n+1 +qa n 變形為an+2 -xan+1 =y(a

13、n+1 -xan)也就是an+2=(x+y)a n+1-(xy)an，則可得到x+y=p,xy= -q解得x,y， 于是 bn 就是公比為y的等比數(shù)列(其中bn=an+1-xan)這樣就轉(zhuǎn)化為前面講過(guò)的類(lèi)型了例 3、已知數(shù)列an中 ,a1 =1,a 2=2,a n+2 =(2/3) an+1 +(1/3) an,求an解：設(shè) an+2=(2/3)a n+1+(1/3)a n可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2 =(x+y)a n+1 -(xy)an， 則可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取 x=1,y= -1/3構(gòu)造數(shù)列 bn ， bn=an+1-an故數(shù)

14、列 bn 是公比為-1/3 的等比數(shù)列即bn=b 1(-1/3)b1=a2-a1=2-1=1n-1bn=(-1/3) n-1n-1an+1 -an=(-1/3)故我們可以利用上一類(lèi)型的解法求得an=1+3/4 1-(-1/3) n-1(n ? N*)a11 ， a22 ， an 3an 1 2an 2 (n 3)；a11 ， a22 ， 3anan 12an 2 (n 3)；( 4)遞推式為：an+1=pan+qn+k (p,q為常數(shù) )已知數(shù)列an 中，a13，滿(mǎn)足an2an 1 2n 1(n2)；猜證法 （ 觀(guān)察法+數(shù)學(xué)歸納法）根據(jù)給出的公式，先求出數(shù)列的前n 項(xiàng)，從中觀(guān)察出規(guī)律，猜出通項(xiàng)

15、公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。即歸納推理，一般用于解決選擇、填空題。過(guò)程：觀(guān)察概括、推廣猜出一般性結(jié)論。例 1 、數(shù)列an 的前四項(xiàng)為：11、 102、 1003、 10004、，則an 。分析： 11 10 1,102 102 2,1003 103 3,10004 104 4即 an 10n nn1例 2：已知數(shù)列a n 滿(mǎn)足a1=1， Sn=an，求通項(xiàng)an.2n3解析：由a1=1，當(dāng) n=2 時(shí)，a1+a2= a2a2=2a1=2，當(dāng)n=3 時(shí)，a1+a2+a3=2a32a3=3，同理可得a4=4，猜想得an=n，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。k21當(dāng)n=1，2，3 時(shí)，已驗(yàn)算成立，2假設(shè)n=k 時(shí)

16、，猜想成立，即ak=k，當(dāng)n=k+1 時(shí)，Sk+1=ak+1，2又Sk= k 1 ak= k k ，二式相減，得22aK+1=k 2ak+1- k2 k kak+1=k(k 1)ak+1=k+1，即n=k+1時(shí) TOC o 1-5 h z 2222猜想也成立，由1 2知對(duì)于一切自然數(shù)n 都有an=n.六、 不動(dòng)點(diǎn)法（ 對(duì)于分式不等式） 形如 an 1pan的遞推式qanpa例 1 ： 已知數(shù)列 an 中，其中a1 1, ，且當(dāng)n 2 時(shí)，ann 1 ，求通項(xiàng)公式an。n1n 2an 11n11，a1a111解： 將 anan 1 兩邊取倒數(shù)得：112，這說(shuō)明 1 是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是2an

17、1 1an an 1an11公差為 2，所以 11 （n 1） 2 2n 1，即an1.an2n 1若a1=1，-=2，求通項(xiàng)an.anan 1若a1=1， an-1-a n=2an-1an，求通項(xiàng)an.若a1=1， an= an 1 ，求通項(xiàng)an .2an 11七、取對(duì)數(shù)法2例11：若數(shù)列 an 中，a1=3 且an 1 an （ n 是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是an =（20XX年上海高考題） .解 由題意知an0，將an1an 2兩邊取對(duì)數(shù)得lgan12lg an，即 g an 12， 所以數(shù)列l(wèi)g an 是以lganlga1=lg3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，lganlga1 2n 1

18、lg 32n 1 ，即an32n 1.八、 恒等變形法將給出式恒等變形，使之轉(zhuǎn)化為與an或 Sn有關(guān)的等差和等比數(shù)列，此法有一定的技巧性。2S2例 1：在數(shù)列a n中，已知a1=1， an=n (n 2)，求通項(xiàng)an.2Sn 12S2解析：當(dāng)n2 時(shí)，an=Sn-Sn-1 =, 則2 SnSn-1=-Sn+Sn-1, 兩邊同除以2Sn 12) ， 又 a1=S1=1， 則=1， 數(shù)列 是以S11Sn=，當(dāng) n 2 時(shí)，2n 11(n 1)Snan=Sn-Sn-1 =2n 111 =1 為首項(xiàng)， 2 為公差的等差數(shù)列，S112n 3(2n 1)(2n 3)式，an=(2n 1)(2n 3)(n 2)SnSn-1 得 1 -1=2 (nSnSn 11=1+(n-1) 2=2n-1 ，Snn=1 時(shí)，a1=S1=1 不適合上例 2：已知通項(xiàng)數(shù)列解 析：由11Sn=(a n+) ，當(dāng) n=12an時(shí)，S1 =a1=(a 1 +)a1 =1, 當(dāng)n 2 時(shí)，an=Sn-Sn-1 ， 則2Sn=Sn-Sn-1 +11, Sn+Sn-1 =SnSn 1SnSn 1Sn2-Sn-12=