1、eq avs4al(第七節(jié)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用)備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.1.高考中很少考查直線的方向向量，而平面法向量則多滲透在解答題中考查2.利用向量法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系，在高考有所體現(xiàn)，如x年xT18，可用向量法證明3.高考對空間向量及應(yīng)用的考查，多以解答題形式考查，并且作為解答題的第二種方法

2、考查，如x年xT16，天津T17等.歸納知識整合1兩個重要向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個(2)平面的法向量直線l平面，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面的法向量顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量探究1.在求平面的法向量時，所列的方程組中有三個變量，但只有兩個方程，如何求法向量？提示：給其中一個變量恰當賦值，求出該方程組的一組非零解，即可作為法向量的坐標2空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2.l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直線l的方向向量為n，平面

3、的法向量為mlnmmn0lnmnm平面、的法向量分別為n，m.nmnmnmnm03.兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |eq f(|ab|,|a|b|)(其中為異面直線a，b所成的角)4直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |eq f(|ne|,|n|e|).5求二面角的大小(1)如圖，AB、CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小n1，n

4、2(或n1，n2)探究2.兩向量的夾角的范圍是什么？兩異面直線所成角呢？直線與平面所成角呢？二面角呢？提示：兩向量的夾角范圍是0，；兩異面直線所成角的范圍是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)；直線與平面所成角的范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)；二面角的范圍是0，注意以上各角取值范圍的區(qū)別6點到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則點B到平面的距離deq f(|n|,|n|).自測牛刀小試1(教材習(xí)題改編)兩條不重合的直線l1和l2的方向向量分別為v1(1，1,2)，v2(0,2,1)，則l1與l2的位置關(guān)系是()A

5、平行B相交C垂直 D不確定解析：選Cv1v210(1)2210，v1v2，從而l1l2.2若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為n(2，0，4)，則()Al BlCl Dl與斜交解析：選Ba(1,0,2)，n(2,0，4)n2a，即an.l.3若平面、的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則()A BC、相交但不垂直 D以上均不正確解析：選Cn1n22(3)(3)15(4)0，n1與n2不垂直，與相交但不垂直4(教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為_解析：cosm，neq f(mn,|m|n|)eq

6、 f(1,1r(2)eq f(r(2),2)，即m，n45，其補角為135.兩平面所成的二面角為45或135.答案：45或1355若平面的一個法向量為n(2,1,2)，直線l的一個方向向量為a(1,1,1)，則l與所成的角的正弦值為_解析：設(shè)直線l與平面所成的角為，則sin |cosn，a|eq f(|na|,|n|a|)eq f(|121112|,r(121212)r(221222)eq f(r(3),9).答案：eq f(r(3),9)用向量法證明平行、垂直例1在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E、F、E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點(1)求證：CE平面C1

7、E1F；(2)求證：平面C1E1F平面CEF.自主解析以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)BC1，則C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，2).(1)設(shè)平面C1E1F的法向量n(x，y，z)eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，0)，(1,0,1)，eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)即eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)y0，,xz0.)取n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，n.又C

8、E平面C1E1F，CE平面C1E1F.(2)設(shè)平面EFC的法向量為m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，eq blcrc (avs4alco1(m0，,m0，)即eq blcrc (avs4alco1(b0，,ac0.)取m(1,0,1)mn1(1)2011110，平面C1E1F平面CEF.保持例題條件不變，求證：CF平面C1EF.證明：由例題可知，E(1,0,1)，F(xiàn)(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，(1,0,1)，(1,0，1)，(0,1,0) 11001(1)0，1001100.，.CFC1F，CFEF.C1FEFF，CF平面C1EF.1.向量法證明空間

9、平行或垂直的關(guān)鍵點利用向量法證明空間中的平行或垂直的問題時，建系是關(guān)鍵的一步，通常借助于幾何圖形中的垂直關(guān)系選擇坐標原點和坐標軸，并讓盡可能多的頂點在坐標軸上.2.向量法證明線面平行的注意點用向量法證線面平行可以證明直線的一個方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線平行向量，也可以證明直線的方向向量與平面的某個法向量垂直，在具體問題中可選擇較簡單的解法.1(xx師大附中模擬)如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE.解：設(shè)ADDE2AB2a，建立如圖所示的坐標系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，

10、C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，eq r(3)a,0)，E(a，eq r(3)a,2a)F為CD的中點，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a，f(r(3),2)a，0).(1)證明：eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a，f(r(3),2)a，0)，(a，eq r(3)a，a)，(2a,0，a)，eq f(1,2)()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)證明：eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a，f(r(3),2)a，0)，(a，eq r(3)a,0)，(0,0，2a)，0，0，.又CDDED，平面CDE，即AF平面

11、CDE.又AF平面BCE，平面BCD平面CDE.利用空間向量求空間角例2如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分別是線段AB、BC上的點，且EBFB1.(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直線EC1與FD1所成角的余弦值自主解析(1)以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是(3，3,0)，EC1(1,3,2)，F(xiàn)D1(4,2,2)設(shè)n(x，y,2)為平面C1DE的法向量，則有eq blc rc(avs4alco1(n,n)eq

12、blc rc(avs4alco1(3x3y0,x3y220)xy1，n(1，1,2)，向量(0,0,2)與平面CDE垂直，n與AA1所成的角為二面角CDEC1的平面角或其補角cos eq f(n,|n|)eq f(101022,r(114)r(004)eq f(r(6),3)，由圖知二面角CDEC1的平面角為銳角，tan eq f(r(2),2).(2)設(shè)EC1與FD1所成的角為，則cos eq blc|rc|(avs4alco1(f(,|)eq blc|rc|(avs4alco1(f(143222,r(123222)r(422222)eq f(r(21),14).求平面的法向量的步驟(1)設(shè)

13、出法向量的坐標，一般設(shè)為n(x，y，z)；(2)建立方程組，即利用平面的法向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直，建立關(guān)于x，y，z的方程組(3)消元，通過加減消元，用一個未知數(shù)表示另兩個未知數(shù)(4)賦值確定平面的一個法向量2(x新課標全國卷)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCeq f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點，DC1BD.(1)證明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小解：(1)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點，故DCDC1.又ACeq f(1,2)AA1，可得DCeq oal(2,1)DC2CCeq oal(2,1)，所以DC1DC.

14、而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.BC平面BCD，故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，則BC平面ACC1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直以C為坐標原點，的方向為x軸的正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)則(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)設(shè)n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)即eq blcrc (avs4alco1(xyz0，,z0，)可取n(1,1,0)同理，設(shè)m是平面C1B

15、D的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(m0，,m0，)可取m(1,2,1)從而cosn，meq f(nm,|n|m|)eq f(r(3),2).故二面角A1BDC1的大小為30.利用向量法求空間距離例3在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2eq r(3)，M、N分別為AB、SB的中點，如圖所示，求點B到平面CMN的距離自主解答取AC的中點O，連接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz，則B(0,2

16、eq r(3)，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2eq r(2)，M(1，eq r(3)，0)，N(0，eq r(3)，eq r(2)(3，eq r(3)，0)，(1,0，eq r(2)，(1，eq r(3)，0)設(shè)n(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則eq blcrc (avs4alco1(n3xr(3)y0，,nxr(2)z0，)取z1，則xeq r(2)，yeq r(6)，n(eq r(2)，eq r(6)，1)點B到平面CMN的距離deq f(|n|,|n|)eq f(4r(2),3).求平面外一點P到平面的距離的步驟(1)求平面的法向量n；(2)在平面內(nèi)取一點A，確定向量的

17、坐標；(3)代入公式deq f(|n|,|n|)求解3已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，GC平面ABCD，且GC2.求點B到平面EFG的距離解：如圖所示，以C為原點，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系Oxyz.由題意知B(4,0,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(0,0,2)，(0,2,0)，(4,2，2)，(2,2,0)設(shè)平面GEF的法向量為n(x，y，z)，則有eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)即eq blcrc (avs4alco1(2xyz0，,xy0，)令x1，則y1，z3，n(1,1,3)點B到平

18、面GEF的距離為deq blc|rc|(avs4alco1(|cos，n)eq f(|n|,|n|)eq blc|rc|(avs4alco1(f(0，2，01，1，3,r(11)eq f(2r(11),11).2種方法用向量證平行與垂直的方法(1)用向量證平行的方法線線平行：證明兩直線的方向向量共線線面平行：a.證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；b證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行：a.證明兩平面的法向量為共線向量；b轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題(2)用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直：證明直線的方向向量與

19、平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?種角利用向量法求三種角的問題在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角(1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|.(2)求直線l與平面所成的角可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.(3)求二面角l的大小，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n21個易錯點利用平面法向量求二面角的易錯點利用平面的法向

20、量求二面角的大小時，當求出兩半平面、的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(兩個法向量同時指向二面角的內(nèi)部或外部)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點. 答題模板空間向量在立體幾何中的應(yīng)用典例(xx高考滿分x分)平面圖形ABB1A1C1C如圖所示，其中BB1C1C是矩形，BC2，BB14，ABACeq r(2)，A1B1A1C1eq r(5)，現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使ABC與A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接

21、A1A，A1B，A1C，得到如圖所示的空間圖形對此空間圖形解答下列問題(1)證明：AA1BC；(2)求AA1的長；(3)求二面角ABCA1的余弦值快速規(guī)范審題1審條件，挖解題信息觀察條件：四邊形BB1C1C是矩形，面ABC面BB1C1C，面A1B1C1面BB1C1Ceq o(,sup7(取BC，B1C1的中點D，D1),sdo5(連接DD1)DD1，B1D1，A1D1兩兩垂直2審結(jié)論，明確解題方向觀察結(jié)論：(1)證明：AA1BC，(2)求AA1的長，(3)求二面角ABCA1的余弦值eq o(,sup7(需建立空間直角坐標系),sdo5(正確寫出相關(guān)點的坐標)轉(zhuǎn)化為向量運算解決3建聯(lián)系，找解題突

22、破口D1D，D1B1，D1A1兩兩垂直，BC2，BB14，ABACeq r(2)，A1B1A1C1eq r(5)eq o(,sup7(以D1D，D1B1，D1A1所在直線),sdo5(分別為z軸，x軸，y軸)建立空間直角坐標系eq o(,sup7(及相關(guān)向量),sdo5()(1)證明0，(2)計算AA1|，(3)求平面法向量的夾角得相應(yīng)結(jié)論準確規(guī)范答題坐標系建立不當，不能準確地推證ADA1D1，導(dǎo)致點A的坐標求錯. (1)證明：取BC，B1C1的中點分別為D和D1，連接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C為矩形知，DD1B1C1.因為平面BB1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C

23、1.(1分)又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.(2分)故以D1為坐標原點，可建立如圖所示的空間直角坐標系D1xyz.(3分)由題設(shè)， 可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.(4分)所以A(0，1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(1,0,4)，D(0,0，4)，故(0,3，4)，(2,0,0)，0，(5分)因此，即AA1BC.(6分)求出cosn1，n2eq f(r(5),5)后，不判斷二面角大小直接得出結(jié)論從而失誤.(2)因為(0,3，4)，所以|5，即AA15.(8分)(3)設(shè)平面A1BC的法向量為n1(x

24、1，y1，z1)，又因為(1，2,4)，(1，2,4)，(9分)所以eq blcrc (avs4alco1(n10，, n10，)(10分)即eq blcrc (avs4alco1(x12y14z10，,x12y14z10)eq blcrc (avs4alco1(x10，,y12z1.)令z11，則n1(0,2,1)又因為平面ABCz軸，所以取平面ABC的法向量為n2(0,0,1)，不注意條件“z軸平面ABC”的應(yīng)用，增大運算量.則cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，(11分)所以二面角ABCA1的余弦值為eq f(r(5),5)

25、.(12分)答題模板速成利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟：第一步理清題意利用條件分析問題，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系第二步確定相關(guān)點的坐標結(jié)合建系過程與圖形，準確地寫出相關(guān)點的坐標第三步確立平面的法向量利用點的坐標求出相關(guān)直線的方向向量和平面的法向量，若已知某直線垂直某平面，可直接取直線的一個方向向量為該平面的法向量第四步轉(zhuǎn)化為向量運算將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，空間角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題去論證，求解第五步問題還原結(jié)合條件與圖形，作出結(jié)論(注意角的范圍)第六步反思回顧回顧檢查建系過程、坐標是否有錯及是否忽視了所求角的范圍而寫錯結(jié)論一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1如圖，

26、在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)設(shè)E為BC的中點，求與夾角的余弦值解：(1)證明：折起前AD是BC邊上的高，當ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|1，以D為坐標原點，以，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，eq r(3)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)

27、，f(3,2)，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，r(3)，(1,0,0)，與夾角的余弦值為cos，eq f(,| |)eq f(f(1,2),r(1f(22,4)eq f(r(22),22).2(2013孝感模擬)如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點(1)求證：PAEF；(2)求二面角DFGE的余弦值解：(1)證明：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0，1)，F(xiàn)(0,

28、0,1)，G(2,1,0)(1)(0,2，2)，(1,0,0)，0，PAEF.(2)易知(0,0,1)，(2,1，1)設(shè)平面DFG的法向量為m(x1，y1，z1)，則eq blcrc (avs4alco1(m0，,m0，)即eq blcrc (avs4alco1(z10，,2x1y1z10.)令x11，得m(1,2,0)是平面DFG的一個法向量同理可得n(0,1,1)是平面EFG的一個法向量，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(2,r(5)r(2)eq f(r(10),5)，由圖可知二面角DFGE為鈍角，二面角DFGE的余弦值為eq f(r(10),5).3.如圖，在正三棱柱AB

29、CA1B1C1中，ABeq r(2)AA1，點D是A1B1的中點，點E在A1C1上且DEAE.(1)證明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值解：(1)證明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性質(zhì)知AA1平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE，AA1AEA，所以DE平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1.(2)如圖所示，設(shè)O是AC的中點，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系不妨設(shè)AA1eq r(2)，則AB2，相關(guān)各點的坐標分別是A(0，1,0)，B(eq r(3)，0,0)，C1(0,1，eq r(2)，Deq

30、blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，r(2).易知(eq r(3)，1,0)，(0,2，eq r(2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，r(2).設(shè)平面ABC1的一個法向量為n(x，y，z)，則有eq blcrc (avs4alco1(nr(3)xy0，,n2yr(2)z0.)解得xeq f(r(3),3)y，zeq r(2)y.故可取n(1，eq r(3)，eq r(6)所以，cosn，eq f(n,|n|)eq f(2r(3),r(10)r(3)eq f(r(10),5).由此即知，直線AD和平面ABC1所成角的

31、正弦值為eq f(r(10),5).4(2012江西高考)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1eq r(5)，BC4，點A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O.(1)證明在側(cè)棱AA1上存在一點E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的長；(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值解：(1)證明：連接AO，在AOA1中，作OEAA1于點E，因為AA1BB1，所以O(shè)EBB1.因為A1O平面ABC，所以A1OBC.因為ABAC，OBOC，得AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以O(shè)E平面BB1C1C，又AOeq r(AB2BO2)1，AA1eq r(5)，

32、得AEeq f(AO2,AA1)eq f(r(5),5).(2)如圖，分別以O(shè)A，OB，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，2,0)，A1(0,0,2)，由eq f(1,5)得點E的坐標是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0，f(2,5)，由(1)得平面BB1C1C的法向量是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0，f(2,5)，設(shè)平面A1B1C的法向量n(x，y，z)，由eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)得eq blcrc (avs4alco1(x2y0，,yz0.)令y

33、1，得x2，z1，即n(2,1，1)，所以cos，neq f(n,| |n|)eq f(r(30),10)，即平面BB1C1C與平面A1B1C的夾角的余弦值是eq f(r(30),10).5如圖所示，在多面體ABCDA1B1C1D1中，上，下兩個底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中點，求證：FB1平面BCC1B1；(3)在(2)的條件下，求二面角FCC1B的余弦值解：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

34、則A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，|cos，|eq blc|rc|(avs4alco1(f(,| | )eq f(r(3),3)，所以異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為eq f(r(3),3).(2)(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，eq blcrc (avs4alco1(0，, 0，)FB1BB1，F(xiàn)B1BC.BB1BCB，F(xiàn)B1平面BCC1B.(3)由(2)知，為平面BCC1B1的一個法向量設(shè)n(x1，y1，z1)為平面FCC1

35、的法向量，(0，a，a)，(a,2a,0)，eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)得eq blcrc (avs4alco1(ay1az10，,ax12ay10.)令y11，則x12，z11，n(2,1,1)，cos，neq f(n,| |n|)eq f(r(3),3)，即二面角FCC1B的余弦值為eq f(r(3),3).6(2013聊城模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點(1)若PAPD，求證：平面PQB平面PAD；(2)設(shè)點M在線段PC上，eq f(PM,MC)eq f(1,2)，求證：PA平面MQB；(3)在(2)的條件下，若

36、平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，求二面角MBQC的大小解：(1)連接BD，四邊形ABCD菱形，BAD60，ABD為正三角形，又Q為AD中點，ADBQ.PAPD，Q為AD的中點，ADPQ，又BQPQQ，AD平面PQB，AD平面PAD.平面PQB平面PAD. (2)連接AC交BQ于點N，如圖(1)：由AQBC可得，ANQCNB，eq f(AQ,BC)eq f(AN,NC)eq f(1,2).又eq f(PM,MC)eq f(1,2)，eq f(PM,MC)eq f(AN,NC)eq f(1,2).PAMN.MN平面MQB，PA平面MQB， 圖(1)PA平面MQB.(3)由PAPDAD2，

37、Q為AD的中點，則PQAD.又平面PAD平面ABCD，PQ平面ABCD.以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖(2)所示的坐標系，則各點坐標為A(1,0,0)，B(0，eq r(3)，0)，Q(0,0,0)，P(0,0，eq r(3)設(shè)平面MQB的法向量n(x，y,1)，可得 圖(2)eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0.)PAMN，eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0.)解得n(eq r(3)，0,1)取平面ABCD的法向量m(0,0,1)cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(1,2).故二面角MBQC的大小為60

38、.7(2012福建高考)如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長解：(1)證明：以A為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，0)，B1(a，0,1)，故(0,1,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，1)，(

39、a,0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，0).eq f(a,2)011(1)10，B1EAD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此時(0，1，z0)又設(shè)平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得eq blcrc (avs4alco1(axz0，,f(ax,2)y0.)取x1，則yeq f(a,2)，za，得平面B1AE的一個法向量neq blc(rc)(avs4alco1(1，f(a,2)，a).要使DP平面B1AE，只要n，有eq f(a,2)az00，解得z0eq f(1,2).又DP平面B1AE

40、，存在點P，滿足DP平面B1AE，此時APeq f(1,2).(3)連接A1D，B1C，由長方體ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一個法向量，此時(0,1,1)設(shè)與n所成的角為，則cos eq f(n,|n|)eq f(f(a,2)a,r(2) r(1f(a2,4)a2) .二面角AB1EA1的大小為30，|cos |cos 30，即eq f(f(3a,2),r(2) r(1f(5a2,4)eq f(r(3),2)，解得a2，即AB的長為2.1直三棱柱ABC

41、ABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分別為AB、BB的中點(1)求證：CEAD；(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值解：(1)設(shè)a，b，c，根據(jù)題意，|a|b|c|且abbcca0，beq f(1,2)c，ceq f(1,2)beq f(1,2)a.eq f(1,2)c2eq f(1,2)b20.，即CEAD.(2)ac，beq f(1,2)c，|eq r(2)|a|，|eq f(r(5),2)|a|.(ac)(beq f(1,2)c)eq f(1,2)c2eq f(1,2)|a|2，cos，eq f(f(1,2)|a|2,r(2)f(r(5),2)|a|2)eq f(r(10),1

42、0).即異面直線CE與AC所成角的余弦值為eq f(r(10),10).2如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)設(shè)PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)證明：因為DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDeq r(3)AD.從而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz，則A(1,0,0)，B(0，eq r(3)，0)，C(1，eq r(3)，0)，P(0,0

43、,1)(1，eq r(3)，0)，(0，eq r(3)，1)，(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，) 即eq blcrc (avs4alco1(xr(3)y0，,r(3)yz0，)因此可取n(eq r(3)，1，eq r(3)設(shè)平面PBC的法向量為m(x1，y1，z1)，則eq blcrc (avs4alco1(m0，,m0，)eq blcrc (avs4alco1(r(3)y1z10，,x10，)可取m(0，1，eq r(3)，cosm，neq f(4,2r(7)eq f(2r(7),7).故二面角APBC的余弦值為e

44、q f(2r(7),7).3(2013武漢模擬)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC90.(1)若異面直線A1B與B1C1所成的角為60，求棱柱的高；(2)設(shè)D是BB1的中點，DC1與平面A1BC1所成的角為，當棱柱的高變化時，求sin 的最大值解：建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，設(shè)AA1h(h0)，則有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，C1(0,1，h)，A1(0,0，h)，(1,1,0)，(0,1,0)，(1,0，h)(1)因為異面直線A1B與B1C1所成的角為60，所以cos 60eq f(|,|)，即eq f(1,r(2)r(h21)eq f(1,2)，得eq

45、r(1h2)eq r(2)，解得h1.(2)由D是BB1的中點，得Deq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(h,2)，于是eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(h,2).設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，于是由n，n可得eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)即eq blcrc (avs4alco1(xhz0，,y0，)可取n(h,0,1)，故sin |cos，n|，而|cos，n|eq f(|n|,|n|)eq f(|hf(h,2)|,r(f(1,4)h22)r(h21)eq f(h,r(h49h28).令f(h)eq f(h,r(h4

46、9h28)eq f(1,r(h2f(8,h2)9)，因為h2eq f(8,h2)92eq r(8)9，當且僅當h2eq f(8,h2)，即heq r(4,8)時，等號成立所以f(h)eq f(1,r(92r(8)eq f(1,r(8)1)eq f(2r(2)1,7)，故當heq r(4,8)時，sin 的最大值為eq f(2r(2)1,7).4如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于2，ABC60，平面AA1C1C面ABCD，A1AC60.(1)證明：BDAA1；(2)求二面角DA1AC的平面角的余弦值；(3)在直線CC1上是否存在點P，使BP平面DA1G？若存在，求出P的位置，若不

47、存在，說明理由解：連接BD交AC于O，則BDAC，連接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAeq oal(2,1)AO22A1AAOcos 603.AO2A1O2A1A2，AOA1O，由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD.以O(shè)B，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則A(0，1,0)，B(eq r(3)，0,0)，C(0,1,0)，D(eq r(3)，0,0)，A1(0,0，eq r(3)(1)由(2eq r(3)，0,0)，(0,1，eq r(3)，則0(2eq r(3)10eq r(3)00，BDAA1，(2)由OB面

48、AA1C1C，平面AA1C1C的法向量n1(1,0,0)，設(shè)n2面AA1D，則eq blcrc (avs4alco1(n2，,n2，)設(shè)n2(x，y，z)，得到eq blcrc (avs4alco1(yr(3)z0，,r(3)xy0，)取n2(1，eq r(3)，1)，cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(r(5),5).二面角DA1AC的平面角的余弦值是eq f(r(5),5).(3)假設(shè)在直線CC1上存在點P，使BP面DA1C1，設(shè)，P(x，y，z)，則(x，y1，z)(0,1，eq r(3)得P(0,1，eq r(3)，(eq r(3)，1，eq r(3)設(shè)n3面

49、DA1C1，則eq blcrc (avs4alco1(n3，,n3，)設(shè)n3(x3，y3，z3)，得到eq blcrc (avs4alco1(2y30，,r(3)x3r(3)z30，)不妨取n3(1,0，1)又面DA1C1，n30，eq r(3)eq r(3)0，1.點P在C1C的延長線上且使C1CCP. eq avs4al(第六節(jié)空間向量的運算及空間位置關(guān)系)備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置2.會推導(dǎo)空間兩點間的距離公式3.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示4.掌握空間向量的線性運算及其

50、坐標表示5.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.1.高考對于空間直角坐標系的考查，一般是點的坐標的求解、距離的計算等，且多滲透到解答題中，難度不大，如2012年新課標全國T19、江西T19等都滲透對空間直角坐標系的考查2.數(shù)量積的運算及應(yīng)用是高考對本節(jié)考查的熱點，主要利用向量法證明共線、共面、平行、垂直等，一般體現(xiàn)在解答題中，如2012年天津T17，新課標全國T19等.歸納知識整合1空間直角坐標系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標系名稱內(nèi)容空間直角坐標系以空間一點O為原點，具有相同的單位長度，給定正方向，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時建立了一個空

51、間直角坐標系Oxyz.坐標原點點O坐標軸x軸、y軸、z軸坐標平面通過每兩個坐標軸的平面(2)右手直角坐標系的含義：當右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向時，中指指向z軸的正方向(3)空間中點M的坐標：空間中點M的坐標常用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標建立了空間直角坐標系后，空間中的點M和有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)可建立一一對應(yīng)的關(guān)系探究1.空間直角坐標系中的坐標平面把空間分成幾部分？坐標軸上的點的坐標有什么特點？提示：空間直角坐標系中的坐標平面將空間分成8部分坐標軸上點的坐標的特點是另外兩個坐標均為零

52、2空間兩點間的距離(1)設(shè)點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|eq r(x1x22y1y22z1z22).特別地，點P(x，y，z)與坐標原點O的距離為|OP|eq r(x2y2z2).(2)設(shè)點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空間中兩點，則線段AB的中點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)，f(y1y2,2)，f(z1z2,2).3空間向量的概念及運算空間向量的概念及運算同平面向量基本相同加減運算遵循三角形或平行四邊形法則；數(shù)乘運算和數(shù)量積運算與平面向量的數(shù)乘運算和數(shù)量積運算相同；坐標運算與平面向量的坐標運算類似，僅多出了

53、一個豎坐標4空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空間的一個基底5兩個向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間中任取一點O，作a，b，則角AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b通常規(guī)定0a，b.若a，beq f(,

54、2)，則稱向量a，b互相垂直，記作ab.(2)兩向量的數(shù)量積：兩個非零向量a，b的數(shù)量積ab|a|b|cosa，b(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：ae|a|cosa，e；abab0；|a|2aaa2；|ab|a|b|.(4)向量的數(shù)量積滿足如下運算律：(a)b(ab)；abba(交換律)；a(bc)abac(分配律)探究2.對于實數(shù)a，b，若ab0，則一定有a0或b0，而對于向量a，b，若ab0，則一定有a0或b0嗎？提示：不一定因為當a0且b0時，若ab，也有ab0.3對于非零向量b，由abbcac，這一運算是否成立？提示：不成立根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，abbc說明a在b方向上的射影與c在b方向

55、上的射影相等，而不是ac.6空間向量的坐標運算(1)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.aba1b2a2b2a3b30；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(a1b1a2b2a3b3,r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3)r(boal(2,1)boal(2,2)boal(2,3) .(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)自測牛刀小試

56、1點(2,0,3)在空間直角坐標系中的位置是()Ay軸上BxOy平面上CxOz平面上 Dx軸上解析：選C由于點的縱坐標為0，故這樣的點在xOz平面上2如圖所示，正方體的棱長為1，M是所在棱上的中點，N是所在棱上的四分之一分點，則M、N之間的距離為_解析：由條件知，Meq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1，0)，故| eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)2012blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0)2)eq f(r(29),4).答案：eq f(r(29),4)3(教材習(xí)題

57、改編)已知a(3,2,5)，b(1，1)若ab，則_.解析：ab，(3)125(1)0，4.答案：44(教材習(xí)題改編)在空間四邊形ABCD中，G為CD的中點，則eq f(1,2)()_.解析：依題意有eq f(1,2)()eq f(1,2)2.答案： 5已知四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，則點D的坐標為_解析：設(shè)D(x，y，z)，(2，6，2)，(cx，7y，5z)，由，得x2,7y6，5z2，即x2，y13，z3，故點D的坐標為(2,13，3)答案：(2,13，3)空間中兩點間的距離公式及應(yīng)用例1已知點M(3,2,1)，N(1,0,5)，求

58、：(1)線段MN的長度；(2)到M，N兩點的距離相等的點P(x，y，z)的坐標滿足的條件自主解答(1)根據(jù)空間兩點間的距離公式得線段MN的長度MNeq r(312202152)2eq r(6)，所以線段MN的長度為2eq r(6).(2)因為點P(x，y，z)到M，N的距離相等，所以有eq r(x32y22z12)eq r(x12y02z52)，化簡得xy2z30，因此，到M，N兩點的距離相等的點P(x，y，z)的坐標滿足的條件是xy2z30.求解空間距離的關(guān)鍵點解決空間中的距離問題就是把點的坐標代入距離公式計算，其中確定點的坐標或合理設(shè)出點的坐標是解題的關(guān)鍵若求滿足某一條件的點，要先設(shè)出點的

59、坐標，再建立方程或方程組求解1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA12，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，求|MN|.解：如圖，以A為原點，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，N(1,0,2)，M(1,1,1)，|MN|eq r(112012212)eq r(2).空間向量的線性運算例2(1)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點化簡eq f(1,2)eq f(1,2)_；用，表示，則_.(2)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)計算2a3b

60、,3a2b的值自主解答(1)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)().eq f(1,2)eq f(1,2)()，eq f(1,2)()eq f(1,2)eq f(1,2).(2)解：2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(13,17,4)答案(1)eq f(1,2)eq f(1,2)本例中(1)條件不變，結(jié)論改為：設(shè)E是棱DD1上的點，且eq f(2,3)，若xyz，試求x，y，z的值解：eq f(2,3)eq f(1,2)()eq f(2,3)eq