1、.專題三 數學建模與實際應用知識概要我們把某種事物系統的主要特征、主要關系抽象出來，用數學語言概括地或近似地表述出來的一種數學結構，稱為數學模型。數學模型是對客觀事物的空間形式和數量關系的一個近似的反映。初中數學常見的數學模型有：依據相等（或不等）關系抽象成方程（或不等式）模型，以解決利息和稅率、百分率、工程及勞力調配等問題；有依據平面幾何性質抽象成的幾何模型，以解決零件加工、殘輪修復、工程選點、道路設計及飛輪、皮帶、拱橋等計算的問題；有關測量、航海、機翼、渠壩坡比、燕尾槽、屋架的計算等應用問題可建立三角函數模型予以解決；還可以建立直角坐標系模型，以解決投物、射擊、噴灌等物體運動的軌跡有某種規

2、律，或者變量的變化具有某種函數關系的實際問題；在市場經濟大潮中，人們更加注重對普遍存在的諸如造價成本最低、產出利潤最大，風險決策、股市、期貨、開源節流、扭虧增盈、最優化等問題的研究，可透過實際問題的背景，抓住本質，挖掘隱含的數量關系，抽象成函數最值模型等。范例解析【例1】在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一同調查了高峰時段北京的二環路、三環路、四環路的車流量，三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：二環路車流量每小時為10000輛；乙同學說：四環路比三環路車流量每小時多2000輛；丙同學說：三環路車流量的3倍與四環路車流量的差是二環路車流量的2倍。請你根據他們所提供的信息，求出高

3、峰時段三環路、四環路的車流量各是多少？ 【解析】 此題已知三個常量之間的關系，通過建立方程模型來解決。在建立方程模型時，應注意尋找問題中的已知量、未知量之間的等量關系來建立方程。解：設高峰時段三環路的車流量為每小時x輛，則高峰時段四環路的車流量為每小時(x+2000)輛。根據題意，得3x-(x+2000)=2×10000。解這個方程，得x=11000。故x+2000=13000。答：高峰時段三環路、四環路的車流量分別為每小時11000輛和13000輛。【例2】 某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元，市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天

4、銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。（2）求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。QM PA O 4.5米 B小敏 燈柱 小麗55°（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 【解析 】（1）y=903（x50） 化簡，得y=3x240（2）w=（x40）（3x240）= 3x2360x9600（3）w=3x2360x9600= 3（x60）21125a=30拋物線開口向下.當x=60時，w有最大值，又x60，w隨x的增大而增大， 當x=55時

5、， w的最大值為1125元，當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得最大利潤1125元的最大利潤【例3】如圖點P表示廣場上的一盞照明燈。QE DFM PC A O 4.5米 B小敏 燈柱 小麗55°（1）請你在圖中畫出小敏在照明燈P照射下的影子（用線段表示）；（2）若小麗到燈柱MO的距離為1.5米，小麗目測照明燈P的仰角為55°，她的目高QB為1.6米，試求照明燈P到地面的距離；結果精確到0.1米；參考數據：tan55 °1.428，sin55°0.819，cos55°0.574。【解析】（1）如圖，線段AC是小敏的影子。（2）過點Q作

6、QEMO于E，過點P作PFAB于F，交EQ于點D， 則PFEQ。 在RtPDQ中， PQD=55°，DQ=EQED=4.51.5=3（米）。tan55°=,PD=3 tan554.3（米）DF=QB=1.6米 .PF=PDDF=4.31.6=5.9（米）。答：照明燈到地面的距離為5.9米。【例4】(2006年東營市中考題)某單位欲從內部招聘管理人員一名，對甲、乙、丙三名候選人進行了筆試和面試兩項測試，三人的測試成績如下表所示：測試項目測試成績/分甲乙丙筆試758090面試937068甲：25%丙：35%乙：40%根據錄用程序，組織200名職工對三人利用投票推薦的方式進行民主

7、評議，三人得票率（沒有棄權票，每位職工只能推薦1人）如扇形統計圖所示，每得一票記作1分 (1) 請算出三人的民主評議得分； (2) 如果根據三項測試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用（精確到0.01分）？ (3) 根據實際需要，單位將筆試、面試、民主評議三項測試得分按433的比例確定個人成績，那么誰將被錄用？【解析】（1）甲的民主評議得分為：200 × 25%=50(分)，乙的民主評議得分為：200 × 40%=80(分)，丙的民主評議得分為：200 × 35%=70(分)。（2）甲的平均成績為：(分)， 乙的平均成績為：(分)，丙的平均成績為：(分).由于7

8、6.67>76>72.67, 所以候選人乙將被錄用 （3）如果將理論考試、面試、民主評議三項測試得分按433的比例確定個人成績，那么甲的個人成績為：(分)，乙的個人成績為：(分)，丙的個人成績為：(分).由于丙的個人成績最高, 所以候選人丙將被錄用【例5】（2006年菏澤市中考題）將編號依次為，的四個同樣的小球放進一個不透明的袋子中，搖勻后甲、乙二人做如下游戲：每人從袋子中各摸出一個球，然后將這兩個球上的數字相乘，若積為奇數，則甲獲勝；若積為偶數，則乙獲勝請問：這樣的游戲規則對甲、乙雙方公平嗎？請用概率的知識說明理由【解析】這種游戲規則對甲、乙雙方不公平理由：不妨設甲先摸，則甲、乙

9、所摸得球的情況如下，開始23412 3 41 3 41 2 41 2 3甲：乙：（2）（3）（4）（2）（6）（8）（3）（6）（12） （4）（8）（12）積：總共有種情況，每種情況發生的可能性相同，其中積為奇數的情況有種，積為偶數的情況有種，所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為因，所以這樣的游戲規則對甲、乙雙方不公平單元目標訓練1. 如圖，三條公路兩兩相交，交點分別為A、B、C，現計劃修一個油庫，要求到三條公路的距離相等，可供選擇的地址有（ ）A、一處 B、二處 C、三處 D、四處2.采石場工人爆破時，為了確保安全，點燃炸藥導火線后要在炸藥爆破前轉移到400米以外的安全區域；導火線燃燒速度是

10、1厘米/秒，人離開的速度是5米/秒，至少需要導火線的長度是( )A . 70厘米 B. 75厘米 C. 79厘米 D. 80厘米  3.某商店如將進貨價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件，現在采用提高售價，減少進貨量的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其銷售量就減少10件，問應將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出最大利潤4.某工廠生產的產品每件單價是80元，直接生產成本是60元，該工廠每月其它總開支是50000元如果該工廠計劃每月至少要獲得200000元利潤，假定生產的全部產品都能賣出，問每月的生產量應是多少？5.將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每

11、一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形 (1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少? (2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由6.在一次數學活動課上，老師帶領學生去測一條南北流向的河寬，如圖所示，某學生在河東岸點A處觀測到河對岸水邊有一點 C，測得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到達B處，測得C在B北偏西45°的方向上，請你根據以上數據，幫助該同學計算出這條河的寬度（參考數值：tan31°，sin31°）7.國家教育部規定“中小學生每天在校體育活

12、動時間不低于1小時”.為此,我州今年初中畢業生學業考試體育學科分值提高到40分,成績記入考試總分.某中學為了了解學生體育活動情況,隨機調查了720名畢業班學生,調查內容是:“每天鍛煉是否超過1小時及未超過1小時的原因”,所得的數據制成了如圖9的扇形統計圖和頻數分布直方圖.根據圖示,解答下列問題:(1)若在被調查的學生中隨機選出一名學生測試其體育成績,選出的恰好是“每天鍛煉超過1小時”的學生的概率是多少？(2)“沒時間”的人數是多少？并補全頻數分布直方圖；(3)2008年恩施州初中畢業生約為4.3萬人,按此調查,可以估計2008年全州初中畢業生中每天鍛煉未超過1小時的學生約有多少萬人？(4)請根

13、據以上結論談談你的看法.鍛煉未超過1小時人數頻數分布直方圖原因人數不喜歡沒時間其它答案與提示1. D 2. D 3. 簡析設每件售價提高x元，則每件得利潤(2x)元，每天銷售量變為(20020x)件，所獲利潤y(2x)(20020x)20(x4)2720故當x4時，即售價定為14元時，每天可獲最大利潤720元4.設每月生產x件產品，則總收入為80x，直接生產成本為60x，每月利潤為80x60x5000020x50000問題轉化為求不等式20x50000200000的解解得x12500(件)。5. (1) 這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm 。（2）不能。6. 過點C作CDAB，垂足為D，設CDx米，在RtBCD中，CBD45°，BDCDx米在RtACD中，DAC31°，ADAB