1、作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1 1作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 2 2作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 3 3作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 4 4復雜振動復雜振動廣廣 義義簡諧振動簡諧振動 演示：機械波演示：機械波振動在空間的傳播振動在空間的傳播振動是波振動是波動的基礎動的基礎任一

2、物理量在某一任一物理量在某一數值附近隨時間作數值附近隨時間作周 期 性 的 變 化周 期 性 的 變 化合合成成分分解解機機械械振振動動物體在一定位置附近來回往復運動物體在一定位置附近來回往復運動演示：心跳演示：心跳演示：振動現象演示：振動現象 演示：電磁波演示：電磁波作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 5 55.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述一、一、簡諧振動的特征方程簡諧振動的特征方程二、描述簡諧振動的物理量二、描述簡諧振動的物理量三、振幅和初相的確定三、振幅和初相的確定四、簡諧振動的描述方法四、

3、簡諧振動的描述方法作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 6 6kxF 彈彈簧簧振振子子一、一、簡諧振動簡諧振動的 特 征 方 程的 特 征 方 程平衡位置平衡位置1.1.回復力回復力物體所受合外物體所受合外力為零的位置力為零的位置mkkmoxxmmk0 xTxxo豎豎直直F kx 斜放斜放返回返回9 9演示：彈簧振子演示：彈簧振子gmF kmg )(0 xx 演示：豎直彈簧振子演示：豎直彈簧振子作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 7 7kxF 22d

4、dtx令令2.2.簡簡 諧諧 振振 動動的 微 分 方 程的 微 分 方 程axa2 a22ddtx ( (動力學方程動力學方程) )mFkx返回返回1111xom k mx2 k m x2 0 作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 8 8)cos( tAx3.3.簡諧振動的運動方程簡諧振動的運動方程txvdd )sin( tA22ddtxa )cos(2 tA振振 幅幅加速度加速度A A2 振振 幅幅 速速 度度 ma( (振動方程振動方程) )mv 作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡

5、諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 9 9kxF ) cos( tAx三 條三 條特 征特 征)(0dd2222xaxtx 簡簡諧諧振振動動三三條條判判據據簡簡諧諧振振動動的的定定義義式式簡 諧簡 諧振 動振 動的的 普普遍 定遍 定義 式義 式作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1010二點說明二點說明坐坐 標標 原原 點點 取取在 平 衡 位 置在 平 衡 位 置(2)(2)證明一種振動是簡諧振動的一般步驟證明一種振動是簡諧振動的一般步驟確定研究對象確定研究對象找 平找 平 衡 位 置衡 位 置建建立以立以平衡位

6、平衡位置為原點的坐標置為原點的坐標 進行受力分析進行受力分析 求合力或合力矩求合力或合力矩( (根據牛頓定律或轉根據牛頓定律或轉動定律建立微分方程動定律建立微分方程) )根據判據判斷該振根據判據判斷該振動是否為簡諧振動動是否為簡諧振動 (1)(1)特征方程成立的條件特征方程成立的條件返回返回5 5作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1111二、描述簡諧振動的物理量二、描述簡諧振動的物理量1.1. 振振幅幅2.2.周期周期A表 示 物表 示 物體 離 開體 離 開平 衡 位平 衡 位置 的 最置 的 最大 距 離大 距 離

7、頻率頻率)cos( tAx)cos(TtA 2演示演示:彈簧振子彈簧振子 圓頻率圓頻率T 2 TT1 2 T 2 2 )(cos TtAT 作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1212彈簧彈簧振子振子mk km 2 mk 21 返回返回6 6求一個振動系統固有求一個振動系統固有,T,的方法的方法(1)(1)建立微分方程建立微分方程 2 T0dd22 BxtxB 0dd222 xtx (3)(3)利用公式利用公式 2 (2)(2)與與標 準標 準方 程方 程比 較比 較 2 TT1 作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械

8、振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 13133.3.位相和初相位相和初相(1)(1)位相位相Ax 2 t( (相位、周相、相相位、周相、相) )0 x(2)(2)初相初相2 00 x0 Ax 0 不同的位相不同的位相表示表示不同的不同的運 動 狀 態運 動 狀 態初相不同初相不同物物體的初始運體的初始運動狀態不同動狀態不同)sin( tAv)cos( tAx0 v0 tAv - 00 vAv -0 t表示物體的運動狀態表示物體的運動狀態演示演示:彈簧振子彈簧振子t=0時的位相時的位相作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的

9、特征及描述簡諧振動的特征及描述 1414幾點說明幾點說明 用 位 相 表 征 物 體 的 振 動 狀 態用 位 相 表 征 物 體 的 振 動 狀 態)(2 t 對同一簡諧運動，對同一簡諧運動，位相位相差差 可以給出兩運動狀態可以給出兩運動狀態間變化所需的時間間變化所需的時間t t)cos( tAx)(1 t演示演示:彈簧振子彈簧振子 t 可 以 反 映 振 動 的 周 期 性可 以 反 映 振 動 的 周 期 性作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1515對于對于兩個兩個同同頻頻率率的簡諧運動，的簡諧運動，位位相相差表

10、示它們差表示它們間間步調步調上的上的差異差異兩振動兩振動步調步調一致一致，同相，同相兩振動兩振動步調步調相反相反，反相，反相)cos(111 tAx)cos(222 tAx k2 ,2,1 ,0 k,2,1 ,0 k2 1 )12( k 作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1616三、振幅和初相的確定三、振幅和初相的確定t = 0) cos( tAx) sin( tAv初始初始條件條件0 xx 0vv cos0Ax sin0Av 20 x cos sin tanA 20v2 0v 0 x -0v A -0 xA 作者作者

11、 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1717四、簡諧振動的描述方法四、簡諧振動的描述方法)cos( tAx)sin( tAv) cos(2 tAaAoavx ,t振動曲線振動曲線 2 3 4 x vA -aA2 1.1.解析法解析法2.2.曲線法曲線法作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1818 3.3.旋轉矢量法旋轉矢量法t 振幅振幅矢量) ( t(1)(1)圓周運動的半徑圓周運動的半徑矢 量矢 量 A 繞繞 O 點點振動的圓頻率振動的圓頻率(2)(2)

12、圓周運動的角速度圓周運動的角速度振 動 的 振 幅振 動 的 振 幅演示：旋轉矢量演示：旋轉矢量演示：輔助圓演示：輔助圓等于等于等于等于參考圓參考圓勻速勻速 xoA0 tt xx Acos端點在端點在x軸上的投影軸上的投影以角速度以角速度 逆時針逆時針勻速旋轉勻速旋轉描述了一個簡諧振動描述了一個簡諧振動作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 1919) cos( tAx(3)(3)圓周運圓周運動的矢徑與動的矢徑與x 軸 夾 角軸 夾 角 初始時刻初始時刻(4)(4)已知質點的已知質點的運動狀態運動狀態 t 勻速勻速 xoA0

13、 tt x振動的初相振動的初相 等于等于任意時刻任意時刻振動的位相振動的位相 等于等于( ( 或 振 動 曲 線或 振 動 曲 線 ) )能畫出振幅矢量能畫出振幅矢量確定該時刻位相確定該時刻位相 作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 20202A 1v23 32 x1t 2t2v時時刻刻1t( (a) )取取ox軸軸( (b) ) 作作 參考圓參考圓( (c) ) 在在x軸上找出與質點運動狀態的對應點軸上找出與質點運動狀態的對應點( (d) )作作振 幅振 幅矢 量矢 量(e)(e)振幅矢量與振幅矢量與x軸正向夾角為該時刻

14、的位相軸正向夾角為該時刻的位相討討論論2/1Ax 01 v時時刻刻2t02 x02 v( (沿振動方向沿振動方向) ) o以以o為圓心，振幅為圓心，振幅A為半徑作一圓周為半徑作一圓周A 過對應點作過對應點作x軸的垂線，與參考圓相軸的垂線，與參考圓相交兩點，從原點交兩點，從原點o向這兩點作向量，向這兩點作向量，根據速度方向確定振幅矢量的位置根據速度方向確定振幅矢量的位置 例題例題5.1-15.1-1作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 2121kxF 彈彈簧簧振振子子一、一、簡諧振動簡諧振動的 特 征 方 程的 特 征 方

15、程平平衡衡位位置置1.1.回復力回復力物 體 所物 體 所受受 合 外合 外力 為 零力 為 零的 位 置的 位 置mkkmoxxmk0 xoF內內容容小小結結mgkx 0作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 2222彈簧的串并聯彈簧的串并聯等效勁度系數等效勁度系數21111kkk 串串聯聯21kkk 并并聯聯1k2kk1k2kk分分割割勁度系數為勁度系數為k的輕的輕彈 簧 截 成彈 簧 截 成 等 份等 份nkk 1nk1k作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的

16、特征及描述 23230dd222 xtx 2.2.簡簡 諧諧 振振 動動的 微 分 方 程的 微 分 方 程xa2 mk 2 ( (動力學方程動力學方程) )mFkxxo作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 2424)cos( tAx3.3.簡諧振動的運動方程簡諧振動的運動方程txvdd )sin( tA22ddtxa )cos(2 tA振振 幅幅加速度加速度A A2 振振 幅幅 速速 度度 mv ma( (振動方程振動方程) )作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振

17、動的特征及描述 2525證證明明簡簡諧諧振振動動的的步步驟驟確定研究對象找平確定研究對象找平衡位置衡位置建建立以立以平衡位置為原點的坐標平衡位置為原點的坐標 進行受力分析進行受力分析 根根 據據 判判 據據 判判 斷斷 該該 振振 動動是否為簡諧振動是否為簡諧振動 求合力或合力矩求合力或合力矩( (根據牛頓定根據牛頓定律或轉動定律建立微分方程律或轉動定律建立微分方程) )作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 2626二、描述簡諧振動的物理量二、描述簡諧振動的物理量t = 0)cos( tAx) sin( tAv初始初始條件

18、條件0 xx 0vv cos0Ax sin0Av 22020 vxA 1.1.振幅振幅( (A) )物體離開平衡位物體離開平衡位置 的 最 大 距 離置 的 最 大 距 離振幅由振幅由初始條初始條件確定件確定作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 27272.2.周期周期頻率頻率)( 圓頻率圓頻率)(T)( 2 TT1 2 2 彈簧彈簧振子振子單單擺擺lg mk km 2 mk 21 2 TT1 gl 2 2 Tlg 21 T1 作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動

19、的特征及描述 2828求一個振動系統固有求一個振動系統固有,T,的方法的方法(1)(1)建立振動系建立振動系統的微分方程統的微分方程0dd22 BxtxB (2)(2)利用公式利用公式(3)(3)利用速度利用速度和加速度幅值和加速度幅值Avm Aam2 T 22 動動系系統統的的固固有有圓圓頻頻率率前前的的系系數數的的開開方方就就是是振振x作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 29293.3.位相和初相位相和初相(1)(1)位相位相( (相位、周相、相相位、周相、相) ) sin( tAv)cos( tAx t表示物體運動

20、表示物體運動狀態的物理量狀態的物理量已知狀態已知狀態求位相求位相已知位相已知位相求狀態求狀態 已已 知知 位位 相相 差差求時間差求時間差 t作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 3030t = 0)cos( tAx)sin( tAv初 始 條 件初 始 條 件0 xx 0vv cos0Ax sin0Av (2)(2)初相初相 表示物體初始運表示物體初始運動狀態的物理量動狀態的物理量 cos sin tan0v 0 x -0v A -0 xA 作者作者 楊楊 鑫鑫第第5 5章章 機械振動機械振動5.1 5.1 簡諧振動的特征及描述簡諧振動的特征及描述 3131三、簡諧振動的描述方法三、簡諧振動的描述方法)cos( tAx)sin( tAv) cos(2 tAaAoavx ,t振動曲線振動曲線 2 3 4 x vA -aA2 1