1、周期數列一、周期數列的定義：類比周期函數的概念,我們可定義：對于數列an,如果存在一個常數T(TN),使得對任意的正整數nn0恒有烝tan成立,那么稱數列an是從第n0項起的周期為T的周期數列.假設n01,那么稱數列an為純周期數列,假設n02,那么稱數列an為混周期數列,T的最小值稱為最小正周期,簡稱周期.設An是整數,m是某個取定的大于1的正整數,假設Bn是An除以m后的余數,即Bn=An(modm),且Bn在0,1,2,.,m-1,那么稱數列Bn是An關于m的模數列,記作An(modm).假設模數列An(modm)是周期的,那么稱An是關于模m的周期數列.二、周期數列的性質1、周期數列是

2、無窮數列,其值域是有限集；推逃1假設周期數列I.的周期T221那么lia.不存在u推法2假設丘|不是常數列,且】iE片存在,刖人|不是周期效列口2、如果T是數列an的周期,那么對于任意的kN,kT也是數列an的周期.3、假設數列an滿足anan1an2(nN,且n2),那么6是數列的一個周期.4、數列an滿足antan(n,tN,且t為常數),Sn分另11為an的前n項的和,假設nqtr(0rt,rN),那么anar,SnqStSro特別地：數列an的周期為6,(即：an6an)那么S2021335S6S25、假設數列an滿足ananks(nk,nN),那么數列an是周期數列；假設數列an滿足

3、anan1anks(nk,nN),那么數列an是周期數列.假設數列an滿足anan1anks(nk,nN,s0),那么數列an是周期數列.特別地：數列an滿足anan1s(nk,nN),那么數列an周期T=2；數列an滿足anan1an2s(nk,nN),那么數歹Uan周期T=3N),那么數列an周期T=3數列an滿足anan1s(nk,nN),那么數列an周期T=2；數列an滿足ananan2s(nk,n6、假設數列an滿足anaan1bcan,a+d=0,那么數列a是周期T=2；例：數列an滿足3an17,那么數列an是周期T=2；三、周期數列性質的簡單應用1、求數列的通項公式(1)數列1

4、,2,1,2,1,2,的通項公式解析：原數列可構造成:1313131它的通項公式可以寫成:或者寫成：an又或者寫成:an總結：一般的(2)1,0,1,an-sin(22數列解析：該數列周期為3,生聯系.事實上,當這樣所以,22(1)n(nCN),(nCN),1-cosn2a,b,12(aa,b)(nCN),b,a,12(bb,a)cosn0,1,的通項公式我們把它與周期為x分別為兀的函數2它的通項公式可以寫成:tanxN)進行改造,使它們能發時,tanx的值分別為1,0,1,1,0,1,原數列的通項公式為的通項公式可以寫成:1,tan(n2)1bn2tan(n32)(nCN)數列弟：1,2,3

5、,4,1,2,3,4,的通項公式解析：將原數列擴大2倍：2,4,6,8,2,4,6,8,再減去平均數5得到：3,1,1,3,3,1,1,3,分解成兩個數列：(1)1,1,1,1,1,1,1,1,(2)2,2,2,2,2,2,2,2,的通項公式為(1)n易得,(2)的通項只要求出1,1,1,1,1,1,1,1,的通項便可以了,它與(2)相差一個系數2.以上數列的符號與正弦函數在四個象限的符號完全一致,它通項：1 1c1n<2sin(-n-)(nN),2 42, 2,2,2,2,2,2,2,的通項為：11.c2n2&sin(n一)(nCN),243, 1,1,3,3,1,1,3,的通

6、項為：1 1c3n(1)n2拒sln(1n1)(nCN),那么原數列cn的通項為：1n11cn-5(1)n2v2sln(-n)(nCN).2244) )cn：1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,的通項公式乘以(一4)得：5) 4,4,4,8,8,8,8,12,12,12,12,加上(n+4)得：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,它的通項公式為：Cn'1251)n2V2sin(-n2)又Cn'4Cn(n4)化簡整理得:Cn812nn11)n2、,2sin(n22、求數列中的項例3由第十四屆希望杯改編、數列整數,總有anan1an2,那么a

7、2021等于an中,a132).5且對于大于2的正A.-5解析：由性質2知,數列an是以6為周期的周期數列,而再由性質3可得a2021a5a4a3a3a2a35,202163345,應選A.例4上海中學數學雜志2000年的第1期、實數列an滿足aia(a為實解：an3an13an13an1,3aN),求a20001(n1tan(x-)tanx可變形為antan6-十分相似,1tanxtan6的原型.通過運算,發現此題中可取an=tan6周期是6.而200033362,再由性質33、求周期數列的前n項和例5、設數列an中,a1a21,anan1an2an3(ananan2解：由條件,對任何自然數

8、N式中的n換成n、313L3.我們發現an3an133an1V1_313an1因此可把此三角式認為是原遞推關系antann1,顯然止匕數歹U的a200063a1a23aa32,且對n1成立,試求該數列前,有anan1an2an3=an1,得an1an2an3an4=an1an2an3anan1an2an3=100項和400.an1an2an3,把an4.兩式相減得,anian2an3(an(3),得S10025S425(1124)200.an4)anan4,由于an1an2an31,所以an4annN.所以%是以4為周期的周期數列,而100425,再由性質例6(上海08質檢題)、假設數列an滿

9、足an2an1an(nN),Sn為an的前n項和,且S22021,S32021,求S2021.解析：由an2an1an及性質2,可知所以數列an是以6為周期的周期數歹U.由S22021,S32021,知aa22021,aa2a32021,再結合a3a2a1,可求得為1003,a21005,a32;由遞推關系式可進一步求得a41003,a51005,a62.由于202163344,由性質3,得S2oO8334S6S4334010071007.4、求周期數列的極限例7、06北京在數列an中,a1,a2是正整數,且anan1an2,n3,4,5,那么稱an為“絕對差數列.假設“絕對差數列an中,a203,a210,數列bn滿足bnanan1an2,n1,2,3,分別判斷當n時,數列an和bn的極限是否存