1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題第五章大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)題5-1據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的。求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率。解：設(shè)第i只壽命為Xi,(1WW16,故E(Xi)=100,D(Xi)=1002(l=1,2,化).依本章定理16P("Xi_1920)二Pi工16XXi-1600w或19201600阿父100-716-x10016£Xi-1600i-<0.840016一：，(0.8)=0.788.116從而PQXi.1920)=1_P("Xi<1920)1

2、-0.78810.2119.習(xí)題5-2設(shè)各零件的重量都是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立且服從相同的分布，其數(shù)學(xué)期望為0.5kg,均方差為0.1kg，問(wèn)5000只零件的總重量超過(guò)2510kg的概率是多少？解設(shè)5000X二.二Xii=1Xi表示第i只零件的重量,則E(Xi)=0.5,D(Xi)=0.01.于,所以由獨(dú)立同分布中心極限定理知是5000只零件的總重量X-25002510-2500-PX2510P1->(.2)=1-0.921=0.079.50000.1:50000.1習(xí)題機(jī)地取出5-3有一批建筑房屋用的木柱，其中100根，問(wèn)其中至少有30根短于3m解設(shè)100根中有X根短于3m,則XB(1

3、00,從而80%的長(zhǎng)度不小于3m,現(xiàn)從這批木柱中隨的概率是多少？0.2不30-100x0.2PX之30=1PX<30定16j31000.2-0.8J-1->(2.5)=1-0.9938=0.0062.習(xí)題5-4(1)一復(fù)雜的系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成.在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率為0.10，為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，至少必須有85個(gè)部件正常工作，求整個(gè)系統(tǒng)起作用的概率注釋：設(shè)這100個(gè)部件中沒(méi)有損壞部件數(shù)為X,則X服從二項(xiàng)分布B(100,0.9)，且有EX=np=100x0.9=90,DX=npq=90m0.1=9由拉普拉斯定理，b-EXa-EXPa<X<

4、b：£()-：>(),DXDX故至少須有85個(gè)部件工作的概率為:,85-90PX,85)：1->(-)=1一：.：，(一1.67)=w(1.67)=0.9525、,9(2)一復(fù)雜的系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成.每個(gè)部件的可靠性為0.90,且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常工作，問(wèn)n至少為多大才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95?解：(2)設(shè)每個(gè)部件為Xi(i=1,2,n)1部件工作X=i一0部件損壞不工作PXi=1=p=0.9,PXi=0=1p=0.1由問(wèn)題知E(Xi)=p=0.9,D(Xi)=0.93=0.09，nphXi>-80nb=0.95求n

5、=?100rnphXi80n100二Xi一npi1",nD(Xi)I出n-np>1?°i1nD(Xi)IJn工Xi-0.9n=py03、n端n-°.9n0.3、.n=1n'、Xi-0.9nP0.3、n80n-0.9n100,0.3-nJ由中心極限定理知0不0.1n1f0.1n'eg=16-K殳0.95曾3而）（0.3訪）查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得0.1n_1.64503n解得n皮4.35取n=25,即n至少為25才能使系統(tǒng)可靠性為0.95.習(xí)題5-5隨機(jī)地選取兩組學(xué)生，每組80人，分別在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室里測(cè)量某種化合物的pH值.各人測(cè)量的結(jié)果是隨機(jī)變量，它

6、們相互獨(dú)立，且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望為5,方差為0.3,以X,Y分別表示第一組和第二組所得結(jié)果的算術(shù)平均：（1）求P4.9<X<5胃；(2)求P-0.1<X-Y<0.1(1)求P4.9<X：5.1(2)P-0.1：X-Y：0.1解：由中心極限定理知80、Xi-805i-4U=,N(0,1).800.380%Yj-805j1V=IN(0,1)800.380XXi-80X5(1)P4.9M:5.1=P4.980-805;t：二580-805.800.3800.3,800.3801ZXi-80X5i=1P-1.63<-<1.63,=26(1.63)-1=2

7、父0.94841=0.89682248080(2)由Xi,Yj的相互獨(dú)立性知ZXi與£Yj獨(dú)立。從而U,V獨(dú)立。i1j1于是UVN(0,2)8080'、XYj而Z三U-V=上一、248080XXiZYj工、T70.1父80iwji0.180P-0.1<XY<0.1=P1,<<.r<80X0.3<80x0.3J80M0.3=P-1.63Z：二1.63-。1.63-：.：，一1.63=2.：，(1.15)122=2X0.8749-1=0.7498習(xí)題5-6某種電子器件的壽命（小時(shí)）具有數(shù)學(xué)期望N（未知），方差仃2=400.為了估計(jì)口，隨機(jī)地取n只這種器件，在時(shí)刻t=0投入測(cè)試（設(shè)測(cè)試是相互獨(dú)立的）直到失敗,測(cè)得其壽命為Xi,X2，Xn1n=£Xi作為N的估計(jì).為了使nyP|X卬<1>0.95,問(wèn)n至少為多少?解：由中心極限定理