1、進位制知識框架、數(shù)的進制1 .十進制：我們常用的進制為十進制,特點是“逢十進一.在實際生活中,除了十進制計數(shù)法外,還有其他的大于1的自然數(shù)進位制.比方二進制,八進制,十六進制等.2 .二進制：在計算機中,所采用的計數(shù)法是二進制,即“逢二進一.因此,二進制中只用兩個數(shù)字0和1.二進制的計數(shù)單位分別是1、21、22、23、,二進制數(shù)也可以寫做展開式的形式,例如100110在二進制中表示為：(100110)2=1X25+0X24+0X23+1X22+1X21+0X20.二進制的運算法那么：“滿二進一、“借一當二,乘法口訣是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一.注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n0=

2、1o3 .k進制：一般地,對于k進位制,每個數(shù)是由0,1,2,i,(k1)共k個數(shù)碼組成,且“逢k進一.k(k1)進位制計數(shù)單位是k°,k1,k2,如二進位制的計數(shù)單位是20,21,22,八進位制的計數(shù)單位是8°,81,82,.4 .k進位制數(shù)可以寫成不同計數(shù)單位的數(shù)之和的形式(anan111131a0)kanknan1kn1|aka.十進制表示形式：Nan10nan110n1ao100；二進制表示形式：Nan2nan12n1I"a020;為了區(qū)別各進位制中的數(shù),在給出數(shù)的右下方寫上k,表示是k進位制的數(shù)如：(352%,(1010)2,(3145W,分別表示八進位

3、制,二進位制,十二進位制中的數(shù).5 .k進制的四那么混合運算和十進制一樣先乘除,后加減；同級運算,先左后右；有括號時先計算括號內的.、進制間的轉換：一般地,十進制整數(shù)化為k進制數(shù)的方法是：除以k取余數(shù),一直除到被除數(shù)小于k為止,余數(shù)由下到上按從左到右順序排列即為k進制數(shù).反過來,k進制數(shù)化為十進制數(shù)的一般方法是：首先將k進制數(shù)按k的次哥形式展開,然后按十進制數(shù)相加即可得結果.如右圖所示：制進二八進制卜六進制一tt例題精講【例1】把9865轉化成二進制、五進制、八進制,看看誰是最細心的.【考點】十進制化成多進制【難度】3星【題型】解答【解析】一定要強調兩點(1)商到0為止,(2)自下而上的順序寫

4、出來29H652|493212I246602123302lC16-12308_02再«59865需1519730WJ53<；5405H5Z39t0530a0103(9865)10(10011010001001)2(9865)10(303430)58198658|1233L8|15418I1928O-302(9865)10(23211)8【答案】(9865)10(10011010001001)2,(9865)1.(303430)5,(9865)10(23211)8【穩(wěn)固】567()8()5()2；【考點】十進制化成多進制【難度】3星【題型】解答【解析】此題是進制的直接轉化：567

5、(1067)8(4232)5(1000110111)2;【答案】567(1067)8(4232)5(1000110111)2【例2】將二進制數(shù)(11010.11)2化為十進制數(shù)為多少？【考點】多進制轉化成十進制【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)二進制與十進制之間的轉化方法,(11010.(11) =1X24+1X23+0X22+1X21+0X20+1X2-1+1X2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75【答案】26.75【穩(wěn)固】同學們請將(11010101)2,(4203)5,(7236)8化為十進制數(shù),看誰算的又快又準.【考點】多進制轉化成十進制【難度】3星【題型】解答【

6、7L木斤1/ddAdAdOdA7o7do6no5do4no3ao2no1a00L用牛優(yōu),(11010101)2I2I202I202I202I2128641641213_3_2_1_0_(4203)5453252051350500503553_3_2_1_0_(7236)878328238168035841282463742【答案】213,553,3742【例3】二進制數(shù)10101011110011010101101轉化為8進制數(shù)是多少?【考點】多進制轉化成多進制【難度】4星【題型】解答【解析】根據(jù)二進制與八進制之間的轉化方法推導出二八對照表：八進制數(shù)01234567二進制數(shù)0000010100

7、11100101110111從后往前取三合一進行求解,可以得知1010101111001101010110122536325525363255R8【穩(wěn)固】將二進制數(shù)11101001.1011轉換為十六進制數(shù).【考點】多進制轉化成多進制【難度】4星【題型】解答【解析】在轉換為高于9進制的數(shù)時,遇到大于9的數(shù)用字母代替,如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表136根據(jù)取四合一法,二進制11101001.1011轉換為十六進制為E9.B.【答案】E9.B【例4】例4(101)2(1011)2(11011)2;(11000111)2(10101)2(11)2()2；(63121)8(1247)

8、8(16034)8(26531)8(1744)8；【考點】多進制混合計算【難度】4星【題型】填空【解析】對于這種進位制計算,一般先將其轉化成我們熟悉的十進制,再將結果轉化成相應的進制：(101)2(1011)2(11011)2(5)10(11)10(27)10(28)10(11100)10；可轉化成十進制來計算：(11000111)2(10101)2(11)2(199)10(21)10(3)10(192)10(1100000.2；如果對進制的知識較熟悉,可直接在二進制下對(10101)2(11)2進行除法計算,只是每次借位都是2,可得(11000111)2(10101)2(11)2(11000

9、1112(111)2(11000000)2；十進制中,兩個數(shù)的和是整十整百整千的話,我們稱為互補數(shù),湊出互補數(shù)的這種方法叫湊整法,在n進制中也有湊整法,要湊的就是整n.原式(63121)8(1247)8(26531)8(16034)8(1744)8(63121)8(30000)8(20000)8(13121)8；【答案】(1)、(11100)10,(2)、(11000000)2,(3)、(13121)8在八進制中,1234456322在九進制中,1443831237120117705766.【考點】多進制混合計算【難度】4星【題型】填空【解析】原式1234(456322)12341000234

10、;原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438.【答案】(1)、234,(2)、4438【例5】例5假設(1030)n140,那么n.【考點】多進制的判斷【難度】5星【題型】填空【解析】假設(1030)n140,那么n33n140,經(jīng)試驗可得n5.5【穩(wěn)固】在幾進制中有413100?【考點】多進制的判斷【難度】5星【題型】解答【解析】利用尾數(shù)分析來解決這個問題：由于(4)10(3)10(12)10,由于式中為100,尾數(shù)為0,也就是說已經(jīng)將12全部進到上一位.所以說進位制n為12的約數(shù),也就是12,6,4,3,2中的一個.但是式子中出現(xiàn)了4,所

11、以n要比4大,不可能是4,3,2進制.另外,由于(4)10(13)10(52)10,由于52100,也就是說不到10就已經(jīng)進位,才能是100,于是知道n10,那么n不能是12.所以,n只能是6.6【例6】例6有個吝嗇的老財主,總是不想付錢給長工.這一次,拖了一個月的工錢,還是不想付.可是不付又說不過去,便故作大方地拿出一條金鏈,共有7環(huán).對長工說：我不是要拖欠工資,只是想連這一個月加上再做半年的工資,都以這根金鏈來付.他望向吃驚的長工,心中很是得意,茶人說話,從不食言,可以請大老爺作證.大老爺可是說一不二的人,誰請他作證,他當作一種榮耀,總是分文不取,并會以命相拼也要兌現(xiàn)的.這越發(fā)讓長工不敢相

12、信,要知道,這在以往,這樣的金鏈中的一環(huán)三個月的工錢也不止.老財主越發(fā)得意,終于拿出殺手銅：不過,我請大老爺作證的時候,提到一項附加條件,就是這樣的金鏈實在不能都把它斷開,請你只能翻開一環(huán),以后按月來取才行！當長工明白了老財主的要求后,不僅不為難,反倒爽快地容許了,而且,從第一個月到第七個月,順利地拿到了這條金鏈,你知道怎么斷開這條金鏈嗎？【考點】進制在生活中的運用【難度】2星【題型】解答【解析】斷開第三環(huán),從而得到1,2,4環(huán)的三段,第一個月拿走一環(huán),第二個月以一換二,第三個月取一環(huán),第四個月以三換四,第五個月再取一環(huán),第六個月以一換二,第七個月再取一環(huán).【答案】1,2,4【穩(wěn)固】現(xiàn)有1克,

13、2克,4克,8克,16克的祛碼各1枚,在天平上能稱多少種不同重量的物體？【考點】進制在生活中的運用【難度】2星【題型】解答【解析】由于祛碼的克數(shù)恰好是1,2,4,8,16,而二進位制數(shù)從右往左數(shù)各位數(shù)字分別表示：1,2,22=4,23=8,24=16,在祛碼盤上放1克祛碼認為是二進位制數(shù)第一位從右數(shù)是1,放2克祛碼認為是二進位制數(shù)第二位是1,；放16克祛碼認為是二進位制數(shù)第五位是1,不放祛碼就認為相應位數(shù)是零,這樣所表示的數(shù)中最小的是1,最大的是111112=24+23+22+21+20=3110,這就是說1至31的每個整數(shù)克均能稱出.所以共可以稱出31種不同重量的物體.【答案】31【例7】例

14、7如果只考慮100克以內的重量,至少需要多少包？【考點】進制在生活中的運用【難度】3星【題型】解答【解析】至少需要1,2,4,8,16,32,647包【答案】至少需要1,2,4,8,16,32,647包【穩(wěn)固】如果只許在天平的一邊放祛碼,要稱量100g以內的各種整數(shù)克數(shù),至少需要多少個祛碼?【考點】進制在生活中的運用【難度】3星【題型】解答【解析】至少需要：1,2,4,8,16,32,64這七種重量的祛碼即可.【答案】至少需要：1,2,4,8,16,32,64這七種重量的祛碼即可【例8】例8有10箱鋼珠,每個鋼珠重10克,每箱600個.如果這10箱鋼珠中有1箱次品,次品鋼珠【難度】3星【題型】

15、解答每個重9克,那么,要找出這箱次品最少要稱幾次【考點】進制在生活中的運用【解析】略【答案】解決這個問題有一個巧妙的方法.將10箱鋼珠分別編為110號,然后從1號箱中取1個鋼珠,從2號箱中取2個鋼珠；這樣共取了12345678910=55個鋼珠,重量是:5510=550克,如果輕了n1毛w1威,那么第幾號箱就是次品.在這個方法中,第10號箱也可不取,這樣共取出45個鋼珠,如果重450克,那么10號箱是次品；否那么,輕幾克幾號箱就是次品.總結：不同的進制數(shù)與十進制數(shù)的對應關系,即：每個十進制數(shù)都能表示成一個相應的二進制數(shù),反之,也是.【穩(wěn)固】小馬虎將一些零件裝箱,每個零件10g,裝了10箱,結果

16、發(fā)現(xiàn),混進了幾箱次品進去,每個次品零件9克,但從外觀上看不出來,聰明的你能只稱量一次就能把所有的次品零件都找出來么？【考點】進制在生活中的運用【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】解決這個問題有一個巧妙的方法.將10箱鋼珠分別編為110號,然后從1號箱中取1個鋼珠,從2號箱中取2個鋼珠,從3號箱中取4個鋼珠,從4號箱中取8個鋼珠從10號箱中取512個鋼珠,共取出1+2+4+8+-+512=1023個鋼珠,將這些鋼珠放到天平上稱,本來應重10230克,如果輕了n(1嘀W1陰,就看n是由1,2,4,8,16,512中的那些數(shù)字組成,那么數(shù)字對應的那些號箱就是次品.在這個方法中,第10號箱也可不

17、取,這樣共取出511個鋼珠,如果重500克,那么1,2,4號箱是次品.【例9】例9正整數(shù)N的八進制表示為N(12345654321)8,那么在十進制下,N除以7的余數(shù)與N除以9的余數(shù)之和是多少？【考點】巧求余數(shù)問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】2021年,清華附中,入學測試題【解析】與十進制相類似,有：(12345654321)8(111111)82.根據(jù)8進制白棄7法,(111111)8被7除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和,為6,而6236除以7的余數(shù)為1,所以(111111)8的平方被7除余1,即(12345654321)8除以7的余數(shù)為1;另外,9(11)8,顯然(111111)8能被(1

18、1)8整除,所以其平方也能被(11)8整除,即(12345654321)8除以9的余數(shù)為0.因此兩個余數(shù)之和為101.1【穩(wěn)固】在8進制中,一個多位數(shù)的數(shù)字和為十進制中的68,求除以7的余數(shù)為多少？【考點】巧求余數(shù)問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】2001年,人大附中,分班測試【解析】類似于十進制中的絳九法,8進制中也有棄7法,也就是說8進制中一個數(shù)除以7的余數(shù)等于這個數(shù)的各位數(shù)字之和除以7的余數(shù).此題中,這個數(shù)的各位數(shù)字之和在十進制中為68,而68除以7的余數(shù)為5,所以這個數(shù)除以7的余數(shù)也為5.【答案】5【例10】在美洲的一個小鎮(zhèn)中,對于200以下的數(shù)字讀法都是采取20進制的.如果十進制

19、中的147在20進制中的讀音是seythhaseythugens",而十進制中的49在20進制中的讀音是nawhadewugens,那么20進制中讀音是dewhanawugens的數(shù)指的是十進制中的數(shù)【考點】【難度】星【題型】填空【關鍵詞】2021年,學而思杯,6年級,1試,第12題【解析】(147%0(77)20,(49)10(29)20,所以ha代表十位,ugens代表個位,dew代表9,naw代表2.(92)20=(182,0,所以答案是182.【答案】182【穩(wěn)固】一個自然數(shù),在3進制中的數(shù)字和是2007,它在9進制中的數(shù)字和最小是,最大是【考點】進制與位值的綜合運用【難度】

20、5星【題型】解答【關鍵詞】2007年,第五屆,走美杯,初賽,六年級,第9題【解析】最大為2007X3=6021,最小為2007.【答案】最小2007,最大6021課堂檢測【隨練1】某數(shù)在三進制中為12120210210110121121,那么將其改寫為九進制,其從左向右數(shù)第1位數(shù)字是幾？【考點】多進制轉化成多進制【難度】4星【題型】解答【解析】由于32=9,所以由三進制化為9進制需要取二合一.從后兩個兩個的取,取至最前邊為12,用位值原理將其化為1X31+2X30=5所以化為9進制數(shù)后第一位為5.【答案】5【隨練2】算幾進制數(shù)的乘法？【考點】多進制的判斷【難度】5星【

21、題型】解答【解析】注意到尾數(shù),在足夠大的進位制中有乘積的個位數(shù)字為4520,但是現(xiàn)在為4,說明進走20416,所以進位制為16的約數(shù),可能為16、8、4或2.由于原式中有數(shù)字5,所以不可能為4、2進位,而在十進制中有1534253835043214,所以在原式中不到10就有進位,即進位制小于10,于是原式為8進制.【答案】8【隨練3】茶葉店老板要求員工提升效勞質量,開展零等待活動,當顧客要買茶葉的時候,看誰最快滿足顧客的需要那么為優(yōu)秀.結果有一個員工總是第一名,而且顧客到他那兒不需要等待.原來他把茶葉先稱出假設干包來,放在柜臺上,顧客告訴他重量,他就拿出相應重量的茶葉.別的伙計看在眼里,立即學

22、習,可是柜臺上卻放不下許多包.奇怪的是,最正確員工的柜臺上的茶葉包裹卻不1,2,4,8,16,32,64,128,是很多.于是有員工去取經(jīng),發(fā)現(xiàn)最正確員工準備的茶葉數(shù)量是:256.你能解釋一下其中的道理么？這些重量可以應付的顧客需要的最高重量是多少？【考點】進制在生活中的運用【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】由于1(1)2,2(10)2,4(100)28(1000)2,16(10000)2,32(100000)2口口觀察一下你會發(fā)現(xiàn)最正確員工：所取的數(shù)字與二進制中的(1)2,(10)2,(100)2,(1000)2,(10000)2,(100000)2Mil對應,而我們所要的3,5,6

23、,7,9,等等數(shù)字都可以用這些二進制相加得來,老師可以在黑板上給學生列豎式演示此道理,說明取1,2,4,8,16,32,64,128,256的道理.【隨練4】古代英國的一位商人有一個15磅的祛碼,由于跌落在地碎成4塊,后來,稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù),而且可以用這4塊來稱從1至15磅之間的任意整數(shù)磅的重物(祛碼只能放在天平的一邊).那么這4塊祛碼碎片各重,【考點】【難度】星【題型】填空【關鍵詞】2021年,第7屆,走美杯,3年級,初賽,第15題【解析】由于二進制數(shù)可以表達所有的自然數(shù),而且表達形式是唯一的,例如：9=1+8,31=1+2+4+8+16所以只要準備質量為1,2,4,8的二進制數(shù)

24、祛碼即可.【答案】1,2,4,8家庭作業(yè)【作業(yè)1】計算(3021)4(605)7()10；【解析】此題涉及到3個不同的進位制,應統(tǒng)一到一個進制下.統(tǒng)一到十進制比擬適宜:32(3021)4(605)7(34241)10(675)10(500)1.【答案】(500)10【作業(yè)2】在幾進制中有12512516324?【考點】多進制的判斷【難度】5星【題型】解答【解析】注意(125)10(125)10(15625)10,由于1562516324,所以一定是不到10就已經(jīng)進位,才能得到16324,所以n10.再注意尾數(shù)分析,(5)10(5)10(25)10,而16324的末位為4,于是25421進到上一位.所以說進位制n為21的約數(shù),又小于10,也就是可能為7或3.由于出現(xiàn)了6,所以n只能是7.【答案】7【作業(yè)3】向電腦輸入漢字,每個頁面最多可輸入1677個五號字.現(xiàn)在頁面中有1個五號字,將它復制后粘貼到該頁面,就得到2個字；再將這2個字復制后粘貼到該頁面,就得到4個字.每次復制和粘貼為1次操作,要使整個頁面都排滿五號字,至少需要操作次.【考點】進制在生活中的運用【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】20