1、利用導(dǎo)數(shù)證實(shí)不等式的九大題型題型一：構(gòu)造函數(shù)法把不等式的證實(shí)轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值的問題,從而證實(shí)不等式,而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)證實(shí)不等式的關(guān)鍵.例1.(人教版選修2-2第32頁B組1題)利用函數(shù)的單調(diào)性,證實(shí)以下不等式.(1)sinx<g(0,7c);(2)x-x2>0,xe(0,l);(3) e>l+x,xw0;(4) lnx<x<er,x>0.這四道題比擬簡單,證實(shí)過程略.概括而言,這四道題證實(shí)的過程分三個(gè)步驟：一是構(gòu)造函數(shù)：二是對函數(shù)求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性；三是求此函數(shù)的最值,得出結(jié)論.例2.當(dāng)x>

2、-l時(shí),求證：1一一<ln(x+l)<x.x+1【證實(shí)】令/(x)=ln(x+l)-x,1 Y那么八)二-7一1=一三x+lX+1二當(dāng)1VXV0時(shí),r(x)>0,當(dāng)4>0時(shí),fx)<0,/(X)在(t,+8)上的最大值為/皿=/(o)=o,/./(x)</(0)=0,即ln(x+l)-xVO,Aln(x+l)<x(右面得證).再證左面,令ga)=ln(x+l)+1,那么g'(x)=7+l-(x+l)2=(x+l)2,當(dāng)xw(1,0)時(shí),g'(x)vo,當(dāng)xw(0,+8)時(shí),g'(x)>0,:.函數(shù)g(x)在(-l,+oo)

3、上的最小值2(%)面=g(0)=0,Ag(x)>g(0)=0,即ln(x+l)+!-1>0,x+Aln(x+l)>l一一(左面得證).x+1綜匕當(dāng)x>1時(shí),有1一+.x+l【啟示】證實(shí)分三個(gè)步驟：一是構(gòu)造函數(shù)；二是對函數(shù)求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性：三是求此函數(shù)的最值,得出結(jié)論.題型二：通過對函數(shù)的變形,利用分析法,證實(shí)不等式例3.版工)=lnx+bx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)再,2,(1)求b的取值范圍；(2)求證：牛>1.(1)【解】h(x)=nxbx,其定義域?yàn)?0,+oo).令3)=0,得6=-也,xiCx)=-,那么“二必%,XX7所以(p(x)=-叱在(0,e)單調(diào)遞

4、減,在(e,+00)單調(diào)遞增,x所以當(dāng)時(shí),奴工)=一叱取得最小值一1.xe又8(1)=0,所以當(dāng)xe(0,1)時(shí),(p(x)>0,而當(dāng)xw(l,yo)時(shí),嶺)<0,所以b的取值范圍是(-1,0).e(2)【證實(shí)】由題意得In再十如=0,lnx2+6叫=0,所以如工丫2+嶺|+x2=0,lnx2-Inx,+bx2一%=0,所以1n中2lnx2-In.只需證Inx/z=五土乜(Inx?-lnx)>2,即證加4-1>亞二毛+不設(shè),=卬>1),令F«)=ln£-生心=+'-2,須Z+lZ+1所以尸,=1-了二1>0,t(/+1)2/(/+

5、1),所以函數(shù)尸(.在(1,+8)上單調(diào)遞增,而產(chǎn)=0,所以F(r)>0,即Inr>如二2,/+1所以工A>e2.【啟示】解答第一問用的是別離參數(shù)法,解答第二問用的是分析法、構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)的變形水平要求較高,大家應(yīng)記住下面的變形：lnxx2_x+x2lnx2-lux,x2-x.,2(x2-x)=>lnx2_InX>-+修=Ini>2(匕/十1題型三：求最值解決任意、存在性變量問題解決此類問題,關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,常見的有下面四種形式:由/(x)=(f-2)e*可知,當(dāng)xe(0,2時(shí),g(x)在區(qū)間(0,出)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(血,2上單調(diào)遞

6、增,g(0)=g(2)=0,故g(x)m=0,所以只需證實(shí)/a)m<o即可.對函數(shù)/(X)來說,、八1、2(ax-l)(x-2)J(x)=ax-(2a+1)+=-xx當(dāng)時(shí),即0<,<2時(shí),函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,9)2aa上單調(diào)遞增,在區(qū)間(,2上單調(diào)遞減,a/fd)=-21na；2.a2a當(dāng)a21時(shí),顯然f(x)小于0,滿足題意；當(dāng)1<<1時(shí),令力(口)=-2111.一-2,22a門t、14a貝ijh(a)=2,2a可知該函數(shù)在=va<1時(shí)單調(diào)遞減,2故力<%(；)=2m2-3<0,滿足題意.綜上,原命題得證.VX,VX2,/(X)<g(

7、X2)O/(X,4g(乙濡；Vx,Hr2,f(x1)<g(x2)<=>f(x1Kg(X2)g；期,依JO)<g(x2)=/(再)1nm<g(x2)mm；3x1,3x2,/(x1)<g(x2)<=>/(x1)mm<g(x2)max.只要分別求左右兩邊函數(shù)的最值就可以了.例4.函數(shù)/(x)=-ax2-(2a+l)x4-2hx(agR).2(1)當(dāng).=,時(shí),求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí),設(shè)或九)=(/-2乃",求證：對任2意玉e(0,2,均存在x2e(0,2,使得/(匹)<g(x2)成立.33(1)【解】增區(qū)間為(0,；)

8、,(2,+oo),減區(qū)間為(；,2).(2)【證實(shí)】假設(shè)要命題成立,只需當(dāng)xe(0,2時(shí),<g(x)皿故力(a)<力(；)=211123<0,滿足題意.綜上,原命題得證.題型四：分拆成兩個(gè)函數(shù)研究要證實(shí)/(x)>g(x),如果能證實(shí)f(x)ma>g(x)w,便可證/(x)Ng(x),大家可以看到此處不等號(hào)左右兩邊都是相同的x,而上一種題型中不等號(hào)兩邊分別為玉/2由/COnin之gWnax=>f)>g(X),但由f(x)>g(x)推不出/(x)mn>g(x)皿；比方ex>l+x,推不出©:U之(X+1)皿,由于無+1沒有最大值

9、,所以/(%),»g(x)皿比/«»g(x)更嚴(yán)格EX1例5.(2021新課標(biāo)1理)設(shè)函數(shù)/(%)=畫Inx+,x曲線y=/")在點(diǎn)(1,/(I)處的切線方程為y=e(x-l)+2,(1)求a,b；(2)證實(shí)：/(x)>1.(1)【解】a=,b=2.(2)如果按題型一的方法構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),會(huì)發(fā)現(xiàn)做不下去,只好半途而廢,所以我們在做題時(shí)需要及時(shí)調(diào)整思路,改變思考方向.2(2)【證實(shí)】/(幻>1等價(jià)于田11%>定-'一±,e設(shè)g(x)=xlnx,貝ijg'a)=l+lnx,當(dāng)xe(02)時(shí),gx)<0,e當(dāng)XE

10、(l,+8)時(shí),gx)>0,e故g(x)在(o,l)單調(diào)遞減,在(l,g)單調(diào)遞增,ee從而g(x)在(0,小)的最小值為g(l)=ee2設(shè)a)=xe',那么力口)=,7(1-幻.e當(dāng)xe(0,1)時(shí),hx)>0,當(dāng)X£(h+oo)時(shí),hx)<0,從而入(X)在(0,欣)上的最大值為版1)=e由于g.)與(%)極值點(diǎn)不相同,所以恒有g(shù)(x)>/(x).綜上,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),B|J/(x)>1.【啟示】掌握以下八個(gè)函數(shù)的圖像和性質(zhì),對我們解決不等式的證實(shí)問題很有幫助,這八個(gè)函數(shù)分別為Wy=xext(2)y=xlnx,(3

11、)7=,(4)y=,Xx(7)y=,(8)y=In要求會(huì)畫它們的圖像,以后見到這種類型的函數(shù),就能想到它們的性質(zhì).題型五：設(shè)而不求當(dāng)函數(shù)的極值點(diǎn)(最值點(diǎn))不確定時(shí),可以先設(shè)出來,只設(shè)不解,把極值點(diǎn)代入,求出最值的表達(dá)式而證實(shí).例6.(2021新課標(biāo)I卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-ainx.(1)討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；2(2)證實(shí)：當(dāng)a>0時(shí),f(x)>2a+aln-.a(1)【解】/(%)的定義域?yàn)?0,38),Ax)=2e2x-(x>0).X當(dāng).40時(shí),/'(幻>0,故尸(X)沒有零點(diǎn)；當(dāng)4>0時(shí),由于y單調(diào)遞增,丁=一色單

12、調(diào)遞增,X所以廣.)在(0,+8)單調(diào)遞增.又fa)>0,當(dāng)b滿足0<6<3且時(shí),442eZh-<2e故當(dāng)a>0時(shí),/x>2a+aln-.【啟示】設(shè)而不求,整體代換是一種常用的方法,在解析幾何中表達(dá)很多.在本例第2問中,只設(shè)出了零點(diǎn)而沒有求出零點(diǎn),這是一種非常好的方法,同學(xué)們一定要認(rèn)真體會(huì),靈活應(yīng)用.-=2e2-2<0,ba4所以rs<o.故當(dāng)a>0時(shí),1x存在唯一零點(diǎn).解此問的關(guān)鍵是利用放縮技巧,對x范圍的限制2【證實(shí)】由1知,可設(shè)/%在0,+oo的唯-零點(diǎn)為升,當(dāng)X£0,Xo時(shí),fx<0,當(dāng)X£Xo<H&

13、#187;時(shí),frx>0,故/X在0,%單調(diào)遞減,在今,田單調(diào)遞增,所以當(dāng)=%時(shí),/X取得最小值,最小值為/%.由于2e?&-色=0,得92"=_£_,.24所以2%=lna-ln2x0,2ax0=aInaaIn2x0=a2aInaInx0=-aInaIn,2a2-ahixQ=2axQ+aIn,no所以/、o=+2tzx0+ah>2a+“In,2x0aa112又由于Xo£(5,h2)(或者為9(/)>夕(In2)=hi2+-2«0.13>,即(%)：.J(x)>g(x)十,題型七：利用圖象的特點(diǎn),證實(shí)不等式X1例8.

14、函數(shù)/(x)=F(xeR).e(1)函數(shù)y=g(x)對任意x滿足g(x)=/(4-x),證實(shí)：當(dāng)x>2時(shí),/(x)>g(x)；如果玉,旦/(Xl)=fCX2),證實(shí)：X1+工2>4,【證實(shí)】由于g(x)=/(4x),所以g(x)=R.e令/x)=/(%)g(x),即歹(%)=一娑,ee那么戶口)=2r2rex"1c"x(2-x-e2)當(dāng)x>2時(shí),2-x<0,2x-l>3,從而/'T<0,那么函數(shù)F(x)>0,F(x)在(2,+2是增函數(shù).所以尸Q)>尸(2)=l_,=0,故當(dāng)x2時(shí),/xgx成立.2由于/x在-8

15、,2內(nèi)是增函數(shù),在2,4-00內(nèi)是減函數(shù),XI且/%=/工2,所以不,4不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè)不2工2,由可知/工28工2,又8工2=/4-2,所以/電/4一電,由于/再=/工2,所以/不/4一,由于122,4-22,再2,/x在區(qū)間一8,2內(nèi)為增函數(shù),故玉4一%,即玉+4.【啟示】第2問的證實(shí)也是一種常規(guī)方法,由于函數(shù)在兩個(gè)單調(diào)區(qū)間上增減的速度不一樣,導(dǎo)致出現(xiàn)了玉+W4,如果是二次函數(shù)/%=工-22+1,/再=/吃,那么可得到玉+W=4,玉+Z正好是對稱軸的2倍.此題的證實(shí)思路是要證玉+W4,需證玉4一%,需證/不/4一%2題型八：證實(shí)數(shù)列不等式證實(shí)數(shù)列不等式時(shí),常利用以下不等式：（

16、1） 1-Inxx-lx0；（2） x-ln(x+l)<-x2(x>0)；22一1所以下二>:h2-12上式中=1,2,個(gè)不等式相加,->-ln(2n+l)+2n-22/1+1例9.根據(jù)不等式Inxs/a-L),證實(shí)：2x,1111,八一n1十一十一十+>-/«f2n+lJ+-352丁122十1【證實(shí)】由InxW(工一,),可得不一1221nx.2xx入2w+1,令x=>1,neN*,2m-1/口2+12«-1個(gè)t2n+1得>21n,2-12/z+l2n-l2、2n+l)>21n,2/7+12-12n+1z11、1().2-1

17、22入12n+Y3,n.題型九：利用放縮法證實(shí)不等式例10.設(shè)函數(shù)/(x)=£(常數(shù)awK),在x=0處取x+a得極小值,gQ)="1+竽(.為自然對數(shù)的底數(shù)).Mx2(1)求/(功在Q/(D)處的切線方程；(2)對任意X(l,欣),求證:/(X)>g(x).(1)【解】易得.=1,/(X)在(1,/)處的切線方程為y=：(x+i).4【江】在解決第(2)問時(shí),用構(gòu)造函數(shù)法證不出來,又試著分開兩個(gè)函數(shù)仍然不行,正當(dāng)我一籌莫展時(shí),突然想到與第一問題的切線聯(lián)系,如果左邊的函數(shù)的圖像在切線的上方,右邊函數(shù)的圖像在切線的下方,這樣問題不就得證了嗎？心里非常快樂,馬上付諸行動(dòng).

18、(2)【證實(shí)】令A(yù)(x)=(x+1),x6(1,+<»)x+14,xe*e(x那么m(x)=2ebx-4(=XXX"令w(x)=2exlnx-4x+4,xg(15+qo)那么n(x)=2e(lnx+l)-4=2elnx+2e-4>0,那么n(x)遞增,n(x)>n(l)=0,mx)>0,那么m(x)遞增,m(x)>m(l)=0./.I'M>0,那么«x)遞增,.(1)不存在,由洛比達(dá)法那么,得lim7=limyT=lini7=1,x>1xx->i(mx),x>i2.X/.r(l)->0,.,(%)>r(l),.=t(x)>0,eze-2二+1)2TZ-Inx2+1>an(x+1)4(x+1)所以l(x)遞增,Y(x)>Q)=O,所以力(x)遞增,力(幻(1)=0,故一之£(工+1).x+14x-1e-2Inx2lnx+-le(lnx)2-4(lnx+'-1)x%Onx)24(ln工工2erlnx-4x+4令m(x)=e(tax)2一4(lnx+-1),xg(