1、三角函數一、任意角、弧度制及任意角的三角函數1 .任意角(1)角的概念的推廣按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.正角：按逆時針方向旋轉形成的角任意角(負角：按順時針方向旋轉形成的角、零角：不作任何旋轉形成的角按終邊位置不同分為象限角和軸線角.角口的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,那么稱a為第幾象限角.第一象限角的集合為(ak360cOfk360.十90,kwz第二象限角的集合為Uk360C+90C,k360C+180,kez第三象限角的集合為Qk360C+180Sk360C+270：,k=第四象限角的集合為Qk360C+270C.sincos三一個式壬知二國求二

2、其中的奇、偶是指萬的奇數(正弦變余弦,余弦變正弦)；假設是偶數倍,公式四:三、三角函數的圖像與性質學習目標：1 會求三角函數的定義域、值域2 會求三角函數的周期：定義法,公式法,圖像法(如 y=sinx 與y=|cosx的周期是冗).3 會判斷三角函數奇偶性4 會求三角函數單調區間5 知道三角函數圖像的對稱中央,對稱軸6 知道y=Asin(6x+中),y=Acos(x+邛),y=Atan(cox+平)的簡單性質(一)知識要點梳理1 1、正弦函數和余弦函數的圖象：正弦函數y=sinx和余弦函數y=cosx圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別、,八二3二一-為 0,一,冗,一,2 兀的五點,再用

3、光滑的曲線把這五點連接起來,就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內的圖象.222、正弦函數y=sinx(xwR)、余弦函數y=cosx(xwR)的性質：(1)定義域：都是 R.值域：都是1-1,1,3二對y=sinx,當x=2kn+k=Z時,y取最大值1；當x=2k+k匚Z時,y取最小值一1；22對y=cosx,當x=2kn(kWZ)時,y取最大值 1,當x=2kn+n(kwZ)時,y取最小值一 1.(3)周期性：y=sinx,y=cosx的最小正周期都是2n；(4)奇偶性與對稱性：正弦函數y=sinx(xwR)是奇函數,對稱中央是水冗,0XkwZ),對稱軸是直線x=kn+土(kZ);2(n、余

4、弦函數y=cosx(xwR)是偶函數,對稱中央是.內+,0(kZ),對稱軸是直線x=kn(kwZ);(正(余)2弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線,對稱中央為圖象與x軸的交點).(5)單調性：(3)巧用1的變換：1=sin2升 cos=sin=tan2atan工二bakbmtan.工:nmkn(4)齊次式化切法：tana=k,那么asin工;bcos：msin：,ncos二y=cosxy=cosx在I-n+2k%2kn】(kwZ)上單調遞增,在2kn,2kn十n】(kwZ)上單調遞減.特別提醒,別忘了kwZ!3、正切函數y=tanx的圖象和性質：(1)定義域：x|x工+kn,

5、kwZ.2(2)值域是R,無最大值也無最小值；(3)奇偶性與對稱性：是奇函數,對稱中央是,0keZ),特別提醒：正(余)切型函數的對稱中央有兩類：一2類是圖象與x軸的交點,另一類是漸近線與x軸的交點,但無對稱軸,這是與正弦、余弦函數的不同之處.(4)單調性：正切函數在開區間1+k,+kJi224 4、正弦、余弦、正切函數的圖像和性質二二2數y=sinxy=cosxy=tanx圖象yL/x22JijykjJJ00rAjyJ定義域RR兀、4xx#kn+,kwZ5I2J值域1-1,11-1,1R最值當xymax(Z=2kn+1-(kwZ)時,=1;當x=2k71-2工)時,ymin=-1-當x=2k

6、n(kZ)時,ymax=1；當x=2kn十幾(k)時,ymin“1.既無:最大值也無:最小值周期性2元2n冗奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在卜(k-產(k-n:n-2kn-,2kn+L22J工)上是增函數；在,3_,3n1n+,2內+22J工)上是減函數.在(2kn-n,2kn!(kWZ)上是增函數；在【2kn,2kn+41(k-Z)上是減函數.在.kn一一,kH+一122)(kZ)上是增函數.y=sinx仕一一2k二,_2-2k-k2Z件單調遞增,在j(+2kn,3+2kn(kwZ)單調遞減;1(ksZ)內都是增函數.但要注意在整個定義域上不具有單調性=sin呂如2工+搟的遞增區間,由7T7

7、T7T-+2k五三.2了一了?萬+2枇r,LJZ得7T一五十加+k7T,kZ,所以y的遞減區間是7T%TT一yy+麻(4三Z)四、函數y=Asincex十中的圖像和二角函數模型的簡單應用知識要點1、幾個物理量：振幅：A;周期：T=竺；頻率：f=1=_；相位：ox+9；初相：中.2 丁2二2、函數y=Asincox十邛表達式確實定：A由最值確定；8由周期確定；中由圖象上的特殊點確定.函數y=Asincox+邛+B,當x=x1時,取得最小值為ymin；當x=/時,取得最大值為ymax,那么1一1-ymax-ymin-,一ymaxymin2,2T2=x2-XIXIx23二3、函數y=Asinox+平

8、圖象的回法：五點法設X=0 義+中,令X=0,_,冗,2冗求出相應的22x值,對稱性對稱中央(kn,0Xkwz)對稱軸x=kn+(kw工)對稱中央kn+萬,0(kwZ)對稱軸x=kn(kwZ)對稱中央.0kwZ無對稱軸5、研究函數y=Asinx+中性質的方法：類比于研究y=sinx的性質,只需將y=Asinx+中中的切x+中看成y=sinx中的x.函數y=AsinAsincox+中A0,0A0,0的性質.1定義域：R R2值域：-A,A-A,A3周期性：T=2二I-I2二fx=Asincox+中和fx=Acoscox+中的取小正周期都是T=.IIfx=Atanox+中的最小正周期都是T=工.I

9、,I4單調性：函數y=Asinx+中A0,.0的JJT單調增區間可由2kn二wox+中w2kn十二,kCz解得；3單調減區間可由2kn+wgx+中w2kn+,kCz斛仔.在求y=Asineox+中的單調區間時,要特別注意A和 0 的符號,通過誘導公式先將c化正.如函數y=sin2x+工的遞減區間是3答：一2十期行十時JZy=y=一所以求 y y 的遞減區間即是求計算得出五點的坐標,描點后得出圖象；圖象變換法：這是作函數簡圖常用方法.4、函數 y=sinx 的圖象經變換可得到y=Asin6x+中口0的圖象y=Asinx+甲橫坐棟伸縮倍co5、函數y=Asincox+中+b的圖象與y=sinx圖象

10、間的關系：函數y=sinx的圖象向左中0或向右邛01一.平移|中|個單位得y=sinx+邛的圖象；函數y=sinx+平圖象的縱坐標不變,橫坐標變為原來的一,得到函數y=sinox+中的圖象；函數y=sinsx+中圖象的橫坐標不變,縱坐標變為原來的y=Asincox+邛的圖象；函數y=Asin切x+平圖象向上b0或向下b0平移y=Asincox+中+b的圖象.6、函數 y=Acosox+和 y=Atanox+叼的性質和圖象的變換與 y=Asinsx+中三角色等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：y=sinx*y=sinx橫坐標ry伸縮_1倍埔左右=sinx平移風y=sin(x+4y=sin

11、(cox+91)歲|標,伸(縮)A 倍y=Asinx左右平移但橫標y=sinox+中縱坐標伸縮,倍伸縮A倍0y=Asinx:y=Asinx橫坐標,一中,、伸縮一倍oy=Asinx左右縱坐標.伸縮Ay&Asinx左右A 倍,得到函數|b|個單位,得到要特別注意,假設由y=sinx得到y=sincox+中的圖象,那么向左或向右平移應平移邛,、,、|個單位,0如要得到函數y=sin2x.的圖象,只需將函數 y=sin2x 的圖象3A向左平移3 個單位B向右平移 3 個單位C向左平移 6 個單位向右平移 6 個單位類似.左右伸縮A 倍平移(1)cos(a+C 戶cos久cosPsinasin口

12、；cos(一口產cosxcosP+sinasinP；sin(a+P)=sinacosB+cosasin口；sin(a-B)=sinacos口-cosasin口；tan(口+口)=tanXtan：0(tan2+tanP=tan(+PX1tanatanP)；1-tan二tan-3、二弦歸一二把兩個三角函數的和或差化為一個三角函數:asinH+bcos9=Ja2+b2sin日+牛,其中tan邛=-.a4、三角變換時運算化簡的過程中運用較多的變換,靈活運用三角公式,掌握運算化簡的方法.常用的方法技巧如下：1角的變換：在三角化簡,求值,證實中,表達式中往往出現較多的異角,可根據角與角之間的和差,倍半,互

13、補,互余的關系,尋找條件與結論中角的關系,運用角的變換,使問題獲解,對角的變形如：ototot2a 是 U 的二倍；綱是 2c的二倍；a 是一的二倍；一是一的二倍；2 24JTJI2 15o=45.-30o=60o45；問：sin二=；cos=；12123 a=ct+P_P；+ct-a;2汽=ct+P十ct口=二十a二a；等等.42444.c2n11一.n、3如1tan豆+P=,tan.P-1二一,那么tan|口+J=.答案：一5l44l4j22一 44 兀2右 cosa+=,cosa3=,且 J552答案：25,1,sin二cos：:2-：_3=1,tan一口=,那么tanP-2=1-cos

14、2=32函數名稱變換：三角變形中,常常需要變函數名稱為同名函數.如在三角函數中正余弦是根底,通常化切為弦,變異名為同名二弦歸一如sin50o13tan10o=tan二一tan-1tan二tan!tana-tanP=tana-P/l+tanatanP.如tan20o+tan40+由tan20otan40o=；答案：V32、二倍角的正弦、余弦和正切公式：22、2sin2a=2sinotcoset.=1sin2a=sina+cosa2sinacosa=sinacosa如 Colf+cos212+cosco/的值等于5答案：52222cos2二二cos-sin二二2cos二一1二1一2sin二22二升

15、帚公式1+cos2o=2cosa,1-cos2a=2sina一、21cos2：二降帚公式cosu=,2.21-cos2：sin;二2tan2 二二2tan;221-tanc3兀,ccca3Tt,2Va+32 為那么 cos2a=,cos23=答案:1=sin2:cos2:=sin90o=tan45o4哥的變換：降哥是三角變換時常用方法,對次數較高的三角函數式,一般采用降哥處理的方法.常用降哥公式有：;.有時需要升哥,常用升哥公式有：；.如對無理式 J1+cosot常用升哥化為有理式.(5)公式變形：三角公式是變換的依據,應熟練掌握三角公式的順用,逆用及變形應用.如：cosotcosP-sinasin=；sinotcosP+cosasinP=；tana+tanP=；1-tanatanP=；tana-tanP=;1+tanatanP=;0(0(sin：cos；2sincos222222cosa-sina=52cosa-1=;2sina-1=;1cos：-；1-cos：=；22tan-二；1-tan一二；asin?bcos【-；(其中tan=；)