1、專業(yè) 引領(lǐng) 共成長(zhǎng) 高二數(shù)學(xué)暑假班（教師版）教師日期學(xué)生課程編號(hào)課型復(fù)習(xí)課課題向量單元復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)1掌握并靈活運(yùn)用向量的幾何運(yùn)算法則；2掌握并靈活運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則教學(xué)重點(diǎn)1向量的幾何運(yùn)算問(wèn)題；2向量的應(yīng)用教學(xué)安排版塊時(shí)長(zhǎng)1例題解析602鞏固訓(xùn)練303師生總結(jié)304課后練習(xí)30向量單元復(fù)習(xí)知識(shí)梳理1、平面向量的基本概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，一般地，以點(diǎn)A為始點(diǎn)，點(diǎn)B為終點(diǎn)的向量記作，也可以記作，在建立坐標(biāo)系后，向量還可以用坐標(biāo)表示（2）零向量：模為0的向量叫做零向量，記作；它的方向是不確定的（3）向量的大小，即長(zhǎng)度，叫做向量的模，記作（4）單位向量：模為1的向量叫做單位

2、向量對(duì)于任何一個(gè)給定的向量，與同方向的單位向量記作，則（5）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的兩個(gè)非零向量叫做平行向量，可看作與任意向量平行（6）相等向量：規(guī)定所有的零向量都相等；模相等且方向相同的兩個(gè)非零向量叫做相等向量（7）相反向量：模相等且方向相反的兩個(gè)非零向量叫做互為相反向量2、向量的運(yùn)算（1）加法運(yùn)算：三角形法則、平行四邊形法則（2）減法運(yùn)算：三角形法則（3）數(shù)與向量的乘法：實(shí)數(shù)與非零向量的乘積是一個(gè)向量，記作的模和方向規(guī)定如下：；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量.規(guī)定：（4）向量坐標(biāo)：設(shè)、，則（5）向量的數(shù)量積：對(duì)于兩個(gè)非零向量和，如果以為起點(diǎn)，作，那么射

3、線的夾角叫做向量和的夾角，其中，則把叫做與的數(shù)量積，則·=交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：乘法公式成立： ；（6）兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：·0（7）已知、為兩個(gè)非零向量，且，則的充要條件是3、定比分點(diǎn)公式若是直線上一點(diǎn)，坐標(biāo)，且（為任意實(shí)數(shù)且），則稱分有向線段所成比為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足當(dāng)時(shí)，即為中點(diǎn)例題解析1、向量的概念【例1】如圖，EFG依次是正ABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，（1）在以A、B、C、E、F、G為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，找出與向量共線的向量；（2）以A、B、C為起點(diǎn)，以E、F、G為終點(diǎn)的向量中，找出與向量模相等的向量；（3）在以E、F、G為起點(diǎn)，以

4、A、B、C為終點(diǎn)的向量中，找出與向量相等的向量【難度】【答案】（1）、；，；，；（2），；（3）【例2】如圖，已知梯形ABCD中，ADCB，E、F分別是AD、BC邊上的中點(diǎn)，且BC=3AD，設(shè)，試用、表示、【難度】【答案】=，=，=【例3】判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒(méi)有方向 (2)若，則(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同 (6)若，則(7)若，則(8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9) 的充要條件是且【難度】【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）（6）（7）×（8）×

5、;【例4】給出下列命題：若，則；若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；若，則；的充要條件是且；若，則；其中正確的序號(hào)是 【難度】【答案】【鞏固訓(xùn)練】1下列命題正確的是（ ）A.與共線，與共線，則與也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【難度】【答案】C2設(shè)為單位向量，若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；若與平行，則；若與平行且，則上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（ ）ABCD【難度】【答案】D3下列命題中正確的有：( )四邊形是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)；向量與是兩平行向量；向量與是共線向量，則，四點(diǎn)必在同一直

6、線上；單位向量不一定都相等；與共線，與共線，則與也共線；平行向量的方向一定相同【難度】【答案】4在四邊形ABCD中，“”是“四邊形ABCD為梯形”的（）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【難度】【答案】A2、向量的運(yùn)算【例5】若則向量的關(guān)系是（ ） A平行 B重合C垂直 D不確定【難度】【答案】C【例6】在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比是( )A B C D BCAP【難度】【答案】C【例7】如圖，在中，、分別是、上的中線，它們交于點(diǎn)，則下列各等式中不正確的是（ ） A BC D【難度】【答案】C【例8】在直角坐標(biāo)系中，已知，求證：、三點(diǎn)共線【難度】

7、【答案】略【例9】已知，且，（1）求，； （2）求與的夾角，與的夾角【難度】【答案】（1）=，=6；（2）與的夾角為30°，與的夾角為60°【例10】已知向量，為正實(shí)數(shù)，（1）若，求的最大值；（2）是否存在，使？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【難度】【答案】（1）；（2）不存在這樣的正實(shí)數(shù)，【例11】（1）已知，設(shè)與的夾角為，要使為銳角，求的取值范圍；（2）中，已知，判斷的形狀【難度】【答案】（1）且；（2）銳角三角形【例12】已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，點(diǎn)分所成的比為，點(diǎn)E在BC上，且的面積是的一半，求點(diǎn)E的坐標(biāo)【難度】【答案】【例13】若等邊的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿

8、足，則 【難度】【答案】【鞏固訓(xùn)練】1若非零向量，滿足，則（ ）AB C D【難度】【答案】A2設(shè)，分別是的三邊、上的點(diǎn)，且則與( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【難度】【答案】A3已知兩個(gè)向量，若，則的值等于（ ）AB C D【難度】【答案】B4已知，求；當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，與平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？【難度】【答案】時(shí)，反向平行5已知，與的夾角為，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，（1）；（2）（1）；（2）【難度】【答案】（1）；（2）6一條由西向東的河流，它的水流速度為1千米/小時(shí)，一艘小船在靜水中的速度為5千米/小時(shí)如果小船的實(shí)際航向?yàn)榇怪睂?duì)岸，那么駕駛員應(yīng)保持怎樣的航向？

9、船的實(shí)際航速是多少？ 【難度】【答案】駕駛員應(yīng)保持的航向是北偏西，船的實(shí)際航速大小是千米/小時(shí)3、向量的應(yīng)用【例14】機(jī)器人站在原點(diǎn)，面向軸正方向，接到的指令是：先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，再朝它面對(duì)的方向直線行走米到達(dá)P點(diǎn)，然后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，繼續(xù)向前直線行走到軸上的Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)【難度】【答案】【例15】點(diǎn)O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，判斷的形狀【難度】【答案】等腰三角形【例16】給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上變動(dòng)，若，其中，則的最大值是 【難度】【答案】2【例17】已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n，使，

10、且m+n=1【難度】【答案】略【例18】已知五邊形，、分別是邊、的中點(diǎn)，、分別是和的中點(diǎn)，求證：平行且等于. 【難度】【答案】略【例19】給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上變動(dòng)，若，其中，則的最大值是 【難度】【答案】2【例20】如圖所示，在中，與交于M點(diǎn)，設(shè)，（1）用，表示；（2）在已知線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過(guò)點(diǎn)M，設(shè)，求證：【難度】【答案】（1）；（2）提示：將，用向量，表示并利用共線性質(zhì)即可得【鞏固訓(xùn)練】1點(diǎn)O在所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4）則點(diǎn)O依次為的 （ ）A內(nèi)心、外心、重心、垂心 B重心、外心、內(nèi)

11、心、垂心C重心、垂心、內(nèi)心、外心 D外心、內(nèi)心、垂心、重心【難度】【答案】C2已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若時(shí)，的最大值為2，求的值并指出的單調(diào)區(qū)間 【難度】【答案】（1）（2），單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是3如圖，已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的正三角形的中心，線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊、于點(diǎn)、；設(shè)， 其中，求證：【難度】【答案】略NMDCBA4在平行四邊形中，邊、的長(zhǎng)分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是 【難度】【答案】2,5PADCMB5如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn). 若， ，且，則 【難度】【答案】(-25/16)6如圖，、分別是

12、平行四邊形的邊、的中點(diǎn)，、與對(duì)角線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)求證 【難度】【答案】略反思總結(jié)1、1、向量的幾何運(yùn)算需要運(yùn)用初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)與方法，需要特別的回顧熟悉這部分內(nèi)容。2、向量分為坐標(biāo)運(yùn)算的代數(shù)方法和幾何運(yùn)算的幾何方法，這兩種方法代數(shù)方法較簡(jiǎn)單，一般首先選用，如果不能使用再選擇幾何方法。課后練習(xí)1已知：，則的單位向量是_【難度】【答案】2已知如果與的夾角是鈍角，則的取值范圍是_【難度】【答案】3若向量的夾角為，,則向量的模為 【難度】【答案】64給出下列四個(gè)命題：若，則；與不垂直；在ABC中，三邊長(zhǎng)BC=5，AC=8，AB=7，則；設(shè)A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC為平行

13、四邊形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則AOC=其中真命題的序號(hào)是 （請(qǐng)將你認(rèn)為真命題的序號(hào)都填上）【難度】【答案】，5已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是 【難度】【答案】6設(shè)，則的最大值是 【難度】【答案】77已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，重心，則的值分別是 ( )A B C  D【難度】【答案】D8在ABC中，有命題=；=；若()×()=0，則是等腰三角形；若×>0，則ABC為銳角三角形上述命題正確的是 (）A B C D【難度】【答案】C9已知：向量，分別求出當(dāng)和平行和垂直時(shí)，實(shí)數(shù)的值【難度】【答案】見(jiàn)解析【解析】，若和平行時(shí)， 若和垂直時(shí)，10已知，與的夾角

14、為，求【難度】【答案】11平面向量已知，求、及與夾角【難度】【答案】見(jiàn)解析【解析】由題意得  ，所以與的夾角為12設(shè)其中(1)求的最大值和最小值；(2)當(dāng) ，求的值【難度】【答案】見(jiàn)解析【解析】= -2sinxcosx+cos2x=0x ， 2x+當(dāng)2x+=，即x=0時(shí)，f(x)max=1； 當(dāng)2x+=，即x=時(shí)，f(x)min= -即f(x)=0，2x+=，x=13已知向量(sin，1)，(1，cos)，（1）求的最大值；（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，以O(shè)、P、Q、A四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，求【難度】【答案】見(jiàn)解析【解析】（1），所以當(dāng)時(shí)最大值為 （2）14已知平面上三個(gè)向量的模均為，它們相互之間的夾角為（1）求證：；（2）若，求的取值范圍【難度】【答案】見(jiàn)解析【解析】（1），同理， 于是，即；（2） ，即，所以，或15平面內(nèi)有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），點(diǎn)X為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）當(dāng)·取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)X滿足（1）的條件和結(jié)論時(shí)，求cosAXB的值【難度】【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)，點(diǎn)X在直線OP上向量與共線，即，故=（2y，y），又，故，同理，于是，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)=（4，2）；（2）當(dāng)=（4，2），即時(shí)，有=（3，5），=（1，1），|=，|=，cosAXB=16四邊形中,，,(1)若，求與間的關(guān)系式；(2)滿足(1