1、一、反比例函數真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)!h1.已知一次函數y=kx+b與反比例函數y=工交于A ( - 1, 2) , B (2, n),與y軸交于C 點.(1)求反比例函數和一次函數解析式；(2)如圖1,若將y=kx+b向下平移，使平移后的直線與y軸交于F點，與雙曲線交于D,E 兩點，石 Sa abd=3 >(3)如圖2, P為直線y=2上的一個動點，過點P作PQII y軸交直線AB于Q,交雙曲線【答案】(1)解：點A (2)在反比例函數y二X的圖象上, m= ( - 1) x2= - 2,2，反比例函數的表達式為y=-二， ,點B (2, n)也在反比例函數的度-x圖象上,

2、 n= - 1,即 B (2, - 1)f _ k r 把點A ( -1, 2),點B (2, -1)代入一次函數尸kx+b中，得12k + b 解得：k=-1, b=l,一次函數的表達式為y= - x+1,2答：反比例函數的表達式是丫=-一次函數的表達式是y=-x+l： (2)解：如圖1,DEII AB,Sa abf=Sa abd=3 (同底等高的兩三角形而積相等)， 直線AB的解析式為y= - x+1, C (0, 1),設點 F (0, m),/. AF=1 - m, 111/. Saabf=Saacf+Sabcf= CFx|xa| CFx|xb| = (1 - m) x (1+2) =

3、3, m= - 1, F (0, - 1),直線DE的解析式為y=-x+l,且DEII AB, 直線DE的解析式為y= - x - 1. 反比例函數的表達式為y=-；， 產=-2 c x = 1聯立解得，1 y = 1或，=7 D ( - 2, 1) , E (1, - 2)；(3)解:如圖22由(1)知，直線AB的解析式為y=-x-l,雙曲線的解析式為y=- x,設點 P (p, 2),2Q ( p> -p-l),R(p,一夕)，2PQ=|2+p+l|, QR=| - p - 1+P|,QR=2QP,2 | - p - l+P|=2|2+p+l|,-5 ± y/T? - 7

4、±解得，p= 3 或p= 6,- 5 + 5 - 7 + y73：.P (2,2)或(2,2)或(6,2)或- 7 -叵(6, 2).【解析】【分析】(1)把A的坐標代入反比例函數的解析式可求得m的值，從而可得到 反比例函數的解析式：把點A和點B的坐標代入一次函數的解析式可求得一次函數的解析 式：(2)依據同底等高的兩個三角形的面積相等可得到Saabf=Saabd=3,再利用三角形的而積 公式可求得點F的坐標，即可得出直線DE的解析式，即可求出交點坐標：(3)設點P (p, 2),則Q (p, -p-1) , R (p,-)，然后可表示出PQ與QR的長 度，最后依據QR=2QP,可得

5、到關于p的方程，從而可求得p的值，從而可得到點P的坐 標.2.拋物線v=4 +x+m的頂點在直線y=x+3上，過點F ( - 2, 2)的直線交該拋物線于點(1)NBJ_x軸于點B.(2)(3)先通過配方求拋物線的頂點坐標(坐標可用含m的代數式表示)，再求m的值: 設點N的橫坐標為a,試用含a的代數式表示點N的縱坐標，并說明NF=NB：106若射線NM交x軸于點P,且PAPB= 9 ,求點M的坐標.1 1【答案】(1)解：y=4x2+x+m=4 (x+2) 2+ (m - 1)/.頂點坐標為(-2, m - 1),/頂點在直線y=x+3上，-2+3=m - 19得 m=2；，點N的縱坐標為：4

6、M+a+2, 1即點 N (a, a2+a+2)在 RtA FCN 中，FC=a+2, NC=NB - CB= 4a?+a, 1, NF2=NC2+FC2= ( 4 a2+a) 2+ (a+2)=(4a2+a)2+ (a2+4a) +4, 而 NB2= ( 4 a2+a+2)1=(a2+a) 2+ (a2+4a) +4NF2=NB2 ,NF=NB(3)解:連接 AF、BF,由 NF二NB,得N NFBN NBF,由(2)的思路知，MF=MA, , Z MAF=Z MFA,MAJLx 軸，NBJLx 軸，MAH NB,Z AMF+Z BNF=180°,A MAF和 NFB的內角總和為3

7、60°,/. 2Z MAF+2Z NBF=180% Z MAF+Z NBF=90%Z MAB+Z NBA=180%, Z FBA+Z FAB=90°, 又 Z FAB+Z MAF=90% /. Z FBA=Z MAF=Z MFA,又 Z FPA=Z BPF,:, & PFA a PBF,Pb Pb106：.* Pk, PF2=PAxPB= 9 ,過點F作FG_Lx軸于點G,在RSPFG中, 8PG=個P盧 - F& = 3,1414設直線 PF： y=kx+b> 把點 F ( - 2. 2)、點 P (- 3,0)代入 y=kx+b,37解得k=;,

8、b=2,37直線 PF: y= 4x+ 2 ,13 7解方程 4x2+x+2=4x+£,得x=-3或x=2 （不合題意，舍去），5當 x=-3 時，y="5M （ - 3, 4 ）.【解析】【分析】（1）利用配方法將二次函數化成頂點式，寫出頂點坐標，由頂點再直線 y=x+3上，建立方程求出m的值。（2）過點F作FCXNB于點C,根據已知條件點N在拋物線上，可得出N點坐標，在 R3FCN中，利用勾股定理得出NF（2）解：令 y=x«2, 解得：xVO或xNl.=NC2+FC2 ,用含a的代數式分別表示出進而得出 NF NB2 ,即可得出到NF=NBo（3）要求點M的

9、坐標，需要先求出直線PF的解析式.首先由（2）的思路得出MF=MA, 然后連接AF、FB,再通過證明APFAsA PBF,利用相關的比例線段將PAPB的值轉化為 PF?的值，進而求出點F的坐標和直線PF的解析式，由圖像可知直線PF和拋物線相較于點 M,建立方程求解，即可得點M的坐標。3 .函數學習中，自變量取值范闈及相應的函數值范圍問題是大家關注的重點之一，請解決 下面的問題.（1）分別求出當2<x<4時，三個函數：y=2x+l, y= x , y=2 （x - 1） 2+1的最大值和最小 值：（2）若y=；的值不大于2,求符合條件的x的范圍； k（3）若y=；,當時既無最大值，又

10、無最小值，求a的取值范圍：4 4） y=2 （x - m） 2+m - 2,當2<x<4時有最小值為1,求m的值.【答案】（1）解：y=2x+l中k=2>0,.y隨x的增大而增大， 當x=2時，y最小=5：當x=4時,y «x=9. y=X 中 k=2>0>.,.在2Kx“中，y隨x的增大而減小，/ 當x=2時，y以大=1：當x=4時，y*小=2.y=2 （x-1） 2+1中a=2>0,且拋物線的對稱軸為x=l,/.當X=1時,y最小=1;當x=4時,y .大二19符合條件的X的范圍為x<0或x>l(3)解：當k>0時，如圖得當0

11、<xK2時，y=2無最大值，有最小值2,同理當a<0 kkk時，且ax<0時，日有最大值不，無最小值，當kVO時，如圖得當0Vx2時，y= 2 kkk無最小值，有最大值2,同理當a<0時，且a<x<0時，了不有最小值無最大值，;當kVO, a VO時，此時，y=*既無最大值，又無最小值，綜上所述，a的取值范圍是a VO(4)解：當 mV2 時，有 2 (2-m) 2+m-2=l, 5解得：mi=l, m2= (舍去)：當2Wm“時，有m - 2=1,解得：m3=3：當 m>4 時，有 2 (4 - m)，m - 2=1,整理得:2m2 - 15m+29

12、=0. / = (- 15) 2 - 4x2x29= - 7,無解.kk.m的值為1或3.當k>0時，如圖得當0<x42時，y=W無最大值，有最小值？，同 kk理當a<0時，且a<x<0時，y«d有最大值日，無最小值，當k<0時，如圖得當OV kkkkx42時，y=2無最小值，有最大值2,同理當aVO時，且ax<0時，門日有最小值不，無 k最大值，當kVO, aVO時，此時，y=x既無最大值，又無最小值，綜上所述，a的取值 范圍是a<0：【解析】【分析】（1）根據k=2>0結合一次函數的性質即可得出：當2<x<4時，y

13、=2x+l的最大值和最小值：根據二次函數的解析式結合二次函數的性質即可得出：當2<x<4時,y=2 （x - 1） 2+1的最大值和最小值；（2）令y= a<2,解之即可得出x的取值范圍；（3） kk當k>0時，如圖得當0<x42時，得到y=W無最大值，有最小值同理當aVO時， kkk且aWxVO時，得到仁小有最大值不，無最小值，當k<0時，如圖得當0<xW2時，y= 2無最小值，有最大值2,同理當a<0時，且aWxVO時，仁不有最小值不，無最大值，于 是得到結論：（4）分mV2、2<m<4和m>4三種情況考慮，根據二次函數的性

14、質結合當 2<x<4時有最小值為1即可得出關于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出 結論.4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數 尸kx+b（30）的圖象與反比例函數-（m WO）x 的圖象交于二四象限內的A、B兩點，與x軸交于C點，點B的坐標為（6 , n ）,線段 OA=5 , E為x軸負半軸上一點，且sinZ AOE=（1）求該反比例函數和一次函數的解析式：（2）求仆AOC的而枳：（3）直接寫出一次函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍.【答案】(1)解：作ADJLx軸于D,AD 4在 RtA OAD 中， sinN AOD= = 5 , AD= - 0A

15、=4,/. od=-AD，=3, /.A ( -3, 4),m把 A ( - 3, 4)代入 y= X 得 m= - 4x3= - 12,12所以反比例函數解析式為y=- x；12把B(6, n)代入y=-冗得6n= - 12,解得n= - 2,-3k+ b = 4 卜一 §把 A ( - 3, 4)、B (6, -2)分別代入丫=1«+6 得回+ 力=-2,解得 | " 二 2 ,2所以一次函數解析式為y=- ；x+221(2)解：當 y=0 時，-3x+2=0,解得 x=3,則 C (3, 0),所以 aoc= ? x4x3=6(3)解：當xV-3或0(xV6

16、時，一次函數的值大于反比例函數的值【解析】【分析】(1)作AD_Lx軸于D,如圖，先利用解直角三角形確定A ( -3, 4),Hi再把A點坐標代入y=；可求得m= - 12,則可得到反比例函數解析式；接著把B (6, n) 代入反比例函數解析式求出n,然后把A和B點坐標分別代入y=kx+b得到關于a、b的方 程組，再解方程組求出a和b的值，從而可確定一次函數解析式：(2)先確定C點坐 標，然后根據三角形而積公式求解：(3)觀察函數圖象，找出一次函數圖象在反比例函數 圖象上方所對應的自變量的范圍即可.5.如圖，已知正比例函數y=2x和反比例函數的圖象交于點A (m, -2).（1）求反比例函數的

17、解析式；（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍：（3）若雙曲線上點C （2, n）沿0A方向平移個單位長度得到點B,判斷四邊形OABC 的形狀并證明你的結論.k【答案】（1）解：設反比例函數的解析式為''一 ；（k>0）A （m, - 2）在 y=2x 上，-2=2m,解得 m= - 3 /. A （ - 1, -2）。 kkv - - 一 2 二又丁點A在 x上，,-1,解得k=2° ,_2，反比例函數的解析式為V - x（2）解：觀察圖象可知正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范用為-lx< 0 或 x>

18、l。（3）解：四邊形OABC是菱形。證明如下：V A （ - 1, -2 ） , /. 0A =" +2?= "行。由題意知：CBIIOA 且 CB= W, /. CB=OAo 四邊形OABC是平行四邊形。22v - - , n - - - /,/ C （2. n）在 x 上，2 o C （2, 1）。/. = J? + 1?=6 0OC=OA。平行四邊形OABC是菱形。k【解析】【分析】（1）設反比例函數的解析式為V （k>0）,然后根據條件求出A點 坐標，再求出k的值，進而求出反比例函數的解析式。（2）直接由圖象得出正比例函數值 大于反比例函數值時自變量x的取值范

19、圍：（3）首先求出0A的長度，結合題意CBII 0A 且CB= Z,判斷出四邊形OABC是平行四邊形，再證明OA=OCV二一爪）勿6.如圖、在矩形OABC中，0A=4, 0C - 2.雙曲線 x與矩形兩邊BC, AB分別交于E, F兩點.（1）如圖一，若E是BC中點，求點F的坐標；（2）如圖二，若將4 BEF沿直線EF對折，點B恰好落在x軸上的點D處，求k的值.【答案】（1）解：矩形OABC中，0A =4, 0C =2, E是BC中點，,:點EO2九k v - ：點E在雙曲線 x上， : k = 2 X 2 = 4.4 : v 二一 X._ 4點F的橫坐標為4,且在雙曲線', 一；上，

20、 ._4 _一2 一 ,，即點C（2）解：過點E做EH 1 x軸于H點,0點少點嶗.退二郎二46，明二工kk : DF =BF = 2 AF = 一 4,4.丁 NEHD = NDAF = 90/EDH 十 NDEH = NEDH + NTDA, ： ZDEH = NFDA,：/EHI）s/DAF. k 4 2 _ 2 EDEHkDA 二少一一“FDDA,4,：DA = /.； DF? =DA? + AF5, k2 ,：（2 _ ? = a +.：k = 5.【解析】【分析】（1）根據E點坐標求出k的值，而后把F點的橫坐標代入反比例函數解 析式求出縱坐標；（2）過點E做EH J x軸于H點，根

21、據4 EHD - £ DAF ,分別用k 表示出DF、AF、AD長度，根據勾股定理構造出關于k的方程.7.在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為夢之點，例如，點 （1. 1） , （ - 2. - 2）,（巾，W），都是夢之點，顯然夢之點有無數個.（1）若點P（2, b）是反比例函數''一 A（n為常數，20）的圖象上的夢之點，求這個反比 例函數解析式：（2）。的半徑是第，求出。0上的所有夢之點的坐標：力已知點M （m, 3）,點Q是（1）中反比例函數一 ；圖象上異于點P的夢之點，過點 Q的直線/與y軸交于點A, Z OAQ=45°.若在0

22、0上存在一點N,使得直線MNII /或 MN_L/ ,求出m的取值范圍.【答案】（1）解：（2, b）是夢之點，J. b=2?. P (2, 2)一將P (2, 2)代入 4中得n=4_ 4，反比例函數解析式是一；(2)解：設。上夢之點坐標是(3，3)+ N =他)2 3=1 或 3=-1.1.。0上所有夢之點坐標是(1, 1)或(-1, -1)由(1)知，異于點P的夢之點Q的坐標為(-2, -2)由已知MNII /盛MN_L/直線 MN 為 y=-x+b 或 y=x+b當 MN 為 y=-x+b 時» m=b-3由圖可知，當直線MN平移至與。0相切時，且切點在第四象限時，b取得最小

23、值，此時MN記為初M ,其中M為切點，A為直線與y軸的交點0 何為等要直角三角形，/. 0跖=M/. O A =2/. b的最小值是-2,. m的最小值是-5當直線MN平移至與。0相切時，且切點在第二象限時, b取得最大值，此時MN記為物物，其中他為切點，心為直線此班與y軸的交點。同理可得，b的最大值為2, m的最大值為-1.m的取值范圍為-54m£l.當直線MN為y=x+b時，同理可得，m的取值范圍為Bm45,綜上所述，m的取值范圍為-54m£l或l<m<5【解析】【分析】（1）由“夢之點的定義可得出b的值，就可得出點P的坐標，再將點 P的坐標代入函數解析式，

24、求出n的值，即可得出反比例函數的解析式。（2）設O0上夢之點坐標是（a, a ）根據已知圓的半徑，利用勾股定理建立關于a的 方程，求出方程的解，就可得出。上的所有夢之點的坐標：由（1）知，異于點P 的夢之點Q的坐標為（-2, -2）,由已知直線MNII /或MNJJ ,就可得出直線MN的解 析式為y=-x+b或丫中+小分兩種情況討論:當MN為y=-x+b時，m=b-3,當直線MN平移 至與。0相切時，且切點在第四象限時，b取得最小值，當直線MN平移至與。0相切 時，且切點在第二象限時，b的最大值為2, m的最大值為-1,就可得出m的取值范闞， 當直線MN為y=x+b時，同理可得出m的取值范圍。

25、8.如圖，已知A （3, m） , B （-2, -3）是直線AB和某反比例函數的圖象的兩個交 點.（1）求直線AB和反比例函數的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出當x滿足什么范圍時，直線AB在雙曲線的下方：（3）反比例函數的圖象上是否存在點C,使得 OBC的而積等于 OAB的面積？如果不存 在，說明理由；如果存在，求出滿足條件的所有點C的坐標.k【答案】（1）解：設反比例函數解析式為y=；,把 B （ - 2, - 3）代入，可得 k=-2x （ -3）=6,6反比例函數解析式為y=；：6把A （3, m）代入y=牙，可得3m=6,即 m=2,.t.A （3, 2）,設直線AB的解析式為y=a

26、x+b, f 2 = 3b把 A （3, 2） , B （ - 2, - 3）代入，可得-3 = - 2b,c a = 1解得5=7,/.直線AB的解析式為y=x- 1(2)解：由題可得，當x滿足：x<-2或0<xV3時，直線AB在雙曲線的下方 (3)解：存在點C.如圖所示，延長A0交雙曲線于點J,二點A與點J關于原點對稱,/. AO=CiO»/. OBCi的面積等于 OAB的面積，此時，點G的坐標為(-3, -2)：如圖，過點J作B0的平行線，交雙曲線于點Cz ,則 OBCz的面積等于 OBJ的面積, OBCz的面積等于 OAB的面積，由B(-2, -3)可得0B的解析

27、式為y=2x,可設直線C<2的解析式為y=x+b把 J (-3, -2)代入，可得-2=x ( -3) +5,5 解得b2,3 5：.直線CiC2的解析式為y= 2x+ 2 ,6 y 二一/ Xz 354 9y x ¥解方程組22,可得Cz ( 32)；如圖，過A作0B的平行線，交雙曲線于點C3,則AOBCs的面積等于AOBA的面積， 3設直線AC3的解析式為y= W x+。，3把 A (3, 2)代入，可得 2=2x3+。'，5解得/I5 5：.直線AC3的解析式為y= £ x - 2 ,6 y = f xi _3549解方程組一 3" - N,可

28、得C3（ -5 2 ）;4 549綜上所述，點C的坐標為（-3, -2） , （1,（） 9一2）.【解析】【分析】（1）用待定系數法求出反比例函數解析式，一次函數解析式，將已知的點 A,B的坐標代入設的函數解析式列出關于待定系數的方程（組）求出系數，再回代到解析 式（2）結合圖像判斷直線AB在雙曲線的交點坐標為A,B, X取值范圍為雙曲線所在象限交點 的橫坐標，第一象限為為小于橫坐標大于零，第三象限為小于橫坐標（3）結合已知條件根據同底等高、等底同高作出與原三角形而積相等的三角形，再結合已 知條件用待定系數法求出與雙曲線有交點的直線的解析式，得出點的坐標，注意要考慮滿 足條件的所有點C的坐標

29、。9.如圖，已知直線了= - x，值與x、y軸交于M、N,若將N向右平移、萬個單位后（1）求k的值；（2）點P為雙曲線上的一個動點，過點P作直線PA±x軸于A點，交NM延長線于F 點，過P點作PB±y軸于B交MN于點E.設點P的橫坐標為m.用含有m的代數式表示點E、F的坐標找出圖中與 EOM相似的三角形，并說明理由.【答案】（1）解：當工二。時，.P= - x 243 =23,.：N（0, 23）,.：N'他,心.把貝代入一 ；得， k = 6._ 6（2）解：由（1）知X .6 : P（m,一） m.當 x ="時，y = - x += - /a , :

30、 F（m, 23 - io）.6廠 6v = - x + 23 =-當 初時，傷，1 6/. x = 27 3 m ,6 6：.E（2 W 一歷,歷）.642 EM ：, ON=小 in , 0M=拜，NF =由此,6&.0M _ 243 _、仿 EM _ m _ 而一必m ,加，一麗蔡，0M 昂 _ 際一赤，由一次函數解析式得N OME=Z ONF=45° : AEOM AOFA【解析】【分析】（1）當x=0時，求出y=*3 ,得出n（0,26）,由平移的性質得出 kN'（32A ,把（3,2,馬代入 丫=才得 k=6.66（2）由（1）可設 P（m/） ,當 x=

31、m 時，求出 y二-m+2/5,即 F（m/2,-m）:當 丫=耐*,求66 6出x=2應而,即E（2 W 歷，而）.62忠ON=26 , EM=0，OM=26,NF=m ,從而得出OMNF=EMON ,由一次函數解析式得N OME=Z ONF=45°：推出 AEOMMOFN.10.【閱讀理解】我們知道，當a>0且b>0時，（G - 仿）22o,所以a-2 V益+20,從而a+b>2（當a=b時取等號），【獲得結論】設函數y=x+A- (a>0> x>0),由上述結論可知：當x=*即x=皿時，函數 y有最小值為2 7G(1)【直接應用】/若y1=x

32、 (x>0)與丫2=大'(x>0),則當x=時，yi+yz取得最小值為. (2)【變形應用】Y2yi=x+l (x> - 1)與 yz= (x+l) 2+4 (x> - 1),則 R 的最小值是 (3)【探索應用】6在平面直角坐標系中，點A ( - 3, 0),點B (0, - 2),點P是函數y=，在第一象限內 圖象上的一個動點，過P點作PC±x軸于點C, PD±y軸于點D,設點P的橫坐標為X,四 邊形ABCD的而積為S求S與x之間的函數關系式：求S的最小值，判斷取得最小值時的四邊形ABCD的形狀，并說明理由.66(3)解：設 P (x,

33、x),則 c (x, 0) , D (0,大)， 6：.AC=x+3, BD-2,1169, S=2aCBD=2 (x+3) ( a-+2) =6+x+工；當x=x時，即x=3時,x+x有最小值6,9，此時S=6+x+7有最小值12,x=3,/. P (3, 2) , C (3, 0) , D (0, 2),:.A、C關于x軸對稱，D、B關于y軸對稱，即四邊形ABCD的對角線互相垂直平分， 四邊形ABCD為菱形.【解析】【解答】解：(1)Vx>0> /. yi+y2=x+ >2"2,.當x=x時，即x=l時，Y2 (X +* 4yi+y?有最小值 2,故答案為：1：

34、 2： (2) ; x> - 1,. x+l>0,力= x + 1=41-44Y2 (x 1)' -(x+1) + X / >2 Al* ' / =4,，當 x+1= * * / 時，即 X=1 時，力有最小值4,故答案為：4：【分析】(1)直接由結論可求得其取得最小值，及其對應的X的值；(2)可把x+l看成 6一個整體，再利用結論可求得答案：(3)可設P (x, I ),則可表示出C、D的坐 標，從而可表示出AC和BD,再利用面積公式可表示出四邊形ABCD的面積，從而可得到S 與x的函數關系式：再利用結論可求得其最得最小值時對應的x的值，則可得到P、C、 D

35、的坐標，可判斷A、C關于x軸對稱，B、D關于y軸對稱，可判斷四邊形ABCD為菱 形.歷n11.在平面直角坐標系xOy中，對于雙曲線y=A- (m>0)和雙曲線y= (n>0),如果/»naMMMMMBm=2n,則稱雙曲線y=A (m>0)和雙曲線y= (n>0)為“倍半雙曲線"，雙曲線y= 不nna(m>0)是雙曲線y- (n>0)的“倍雙曲線”，雙曲線y=x (n>0)是雙曲線/牙(m> 0)的半雙曲線，38(1)請你寫出雙曲線y二大的“倍雙曲線是：雙曲線y=x的“半雙曲線是4(2)如圖1,在平面直角坐標系xOy中，已知點A

36、是雙曲線y=；在第一象限內任意一點,4過點A與y軸平行的直線交雙曲線 3 的半雙曲線于點B,AOB的面積：2k(3)如圖2,已知點M是雙曲線y=7 (k>0)在第一象限內任意一點，過點M與y軸 2k2k平行的直線交雙曲線y=；的“半雙曲線”于點N,過點M與x軸平行的直線交雙曲線y=； 的半雙曲線于點P,若 MNP的面枳記為 MNP ,且IWSamnpC,求k的取值范圍.6【答案】(1)丫=/4；y= x(2)解：如圖1,J;Add j圖i42,雙曲線y= x的"半雙曲線”是y= a ,/. AOD的而枳為2, BOD的面積為1,/. AOB的面積為1（3）解：解法一：如圖2,k

37、v = - (k > 0)的伴雙曲線”為x設點M的橫坐標為m,則點M坐標為（m,加），點N坐標為（m,而），2k2kJ CM=勿,CN=功.2k k k ：.MN=勿-m = m/» 歷同理PM=m - 2 = 2.Sa pmn=MNPM= 4：.1< 442/. 4<k<8,解法二：如圖3,k=-(k > 0) x2k設點M的橫坐標為m,則點M坐標為（m,加），點N坐標為（m,小）, /.點N為MC的中點，同理點P為MD的中點.連接0M,PM MN _ 1五一正一，/. PMNs OCM.S 4 承v _ /: S OCM 4 .Sa ocm二k, k

38、Sa pmn=4.1<Sa pmn42, ki< 4a.：.4<k<8.【解析】【解答】解：（1）由“倍雙曲線的定義36雙曲線y=x,的倍雙曲線”是y=x；84雙曲線y= X的“半雙曲線”是y=雙64故答案為y=x, y=x：【分析】（1）直接利用“倍雙曲線''的定義即可：（2）利用雙曲線的性質即可：（3）先利 用雙曲線上的點設出M的橫坐標，進而表示出M, N的坐標：方法一、用三角形的面積公式建立不等式即可得出結論；方法二、利用相似三角形的性質得出aPh/IN的面積，進而建 立不等式即可得出結論.12.如圖，在平而直角坐標系中，點A (5, 0),以OA

39、為半徑作半圓，點C是第一象 限內圓周上一動點，連結AC、BC,并延長BC至點D,使CD = BC,過點D作x軸垂線，分 別交x軸、直線AC于點E、F,點E為垂足，連結OE(1)當N BAC=30&時，求4 ABC的面積：(2)當DE = 8時，求線段EF的長：(3)在點C運動過程中，是否存在以點E、0、F為頂點的三角形與 ABC相似，若存 在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：AB是。的直徑，. Z ACB=90°,在 RS ABC 中,AB= 10, Z BAC=30°,1：.BC=2aB=5,. AC=。小 - Ad 二排,1253：.S

40、A abc=AC- BC= 2DEJLAB, ,AE=-.=6, BE=AB-AE=4,/. DE=2BE,: Z AFE+Z FAE=90% Z DBE+Z FAE=90",/. Z AFE=Z DBE, / Z AEF=Z DEB=90% . AEF- DEB,AE _ DE：.EF BE =2, 1 1：.EF=2AE=2x6=3(3)解：連接 EC,設 E(x, 0),E當死的度數為60。時，點E恰好與原點O重合；0。%的度數60。時，點E在0、B之間，Z EOFZ BAC=Z D,文:Z OEF=Z ACB=90% 由相似知N EOF=Z EBD,此時有 EOF- EBD,

41、0E ObEC是RtA BDE斜邊的中線, , CE=CB,Z CEB=Z CBE, . Z EOF=Z CEB, , OF II CE, . AOF- AECAO OF _ OFA£CEAO _ 20E5 2x .AE - BE ,即 5 / x - 5 - x,- 15 土人/萬解得X= 4,因為x0,-15 + 5。1；：.x= 4；E60。灰的度數90。時，點E在。點的左側,若N EOF=Z B,則 OFII BD, 1 1：.0F=2BC= 4BD,OF _0E _1_ x 15：.BDBE ；即 5 - x - 7解得*3,5若N EOF=Z BAC,則 x=- 2 ,-

42、 15 + 5jl；55綜上點E的坐標為(4,0)； (3, 0) ； (-2, 0).【解析】【分析】(1)根據圓周角定理求得NACB=90。，根據30。的直角三角形的性質求 得BC,進而根據勾股定理求得AC,然后根據三角形面積公式即可求得：(2)連接AD, 由垂直平分線的性質得AD=AB=10,又DE=8,在RS ODE中，由勾股定理求AE,依題意證 明 AEF- & DEB,利用相似比求EF； (3)當以點E、0、F為頂點的三角形與 ABC相似 時，分為兩種情況：當交點E在0, B之間時：當點E在0點的左側時：分別求E點 坐標.13.已知拋物線y=ax2+bx+c (qNO)過點

43、人(1, 0) , B (3, 0)兩點，與y軸交于點C ,(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；(2)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當APBC面積最大時，求點P的坐 標：1(3)若點Q為線段OC上的一動點，問：4Q+?aC是否存在最小值？若存在，求出這個最 小值：若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：函數的表達式為：y=a (x- 1) (x-3) =。(x2-4x+3),即：3a= 3,解得：a=l,故拋物線的表達式為：y=x2-4x+3,則頂點。(2, - 1)：(2)解：將點8、C的坐標代入一次函數表達式：v=mx+c并解得： 直線8c的表達式為：y=-x+3,過點P作V

44、軸的平行線交8c于點”， 設點 P (x , x2 - 4x+3),則點 H (x , -X+3),255則 Sapbc= 3pHxOB= 2 ( - x+3 - xMx -3)=2(- W+3x),555s,- 2<0,故有最大值，此時x=2，故點P(2，- 4)；(3)解：存在，理由：如上圖，過點C作與y軸夾角為30。的直線CH ,過點A作AHLCH ,垂足為H , 1 1則 HQ=£CQ , Q+ZQC 最小值=AQ+HQ=46，直線HC所在表達式中的k值為萬，直線HC的表達式為：y=/x+3立則直線AH所在表達式中的k值為一萬，立則直線的表達式為：y= -,將點A的坐標代入上式并解得：y3 y3則直線AH的表達式為：y=-i"x+W.，1-3聯立并解得：x= 一4 一,1 3 3 + a/33 + a/31故點 H (4,4),而點 A (1, 0),則 AH= 2,即：AQ+ QC 的最3 +不小值為 2.【解析】【分析】(1)將坐標(1, 0) , B (3, 0)代入計算即可得出拋物線的解析式， 即可計算出D的坐標.(2)將點8、C的坐標代入一次函數表達式計算，設點P (x , V-4X+3),則點H (x , -x+3),求出x