1、冪零變換的注記莆田學院 復數域上n維空間：一個線性變換可以看成是一個可逆變換與一個冪零變換的和。 Jordan-chevalley (約旦-謝瓦萊定理） 比如林老師：高等代數 229頁 在高等代數與線性代數的很多教材中都有看到關于冪零變換的相關試題。 比如林老師：高等代數 132頁習題6 設f是n維線性空間V上的線性變換，若存在正整數k,滿足fk=0,fk-10, f稱為k-冪零變換。 在高等代數如132頁習題6 設f是m維線性空間V上的線性變換，滿足fm=0,fm-10,則存在V的一個基，使得f在這個基下的矩陣是01(0,)10m mJm J(0,m)的秩=m-112(,)mAdiag J

2、JJ0110jjjnnJ 121,mjm nnn1mjjnn1nk 其中 ；且n維空間上k-冪零變換：若存在正整數k,滿足fk=0,fk-10,則存在V的一個基，使得f在這個基下的矩陣是A稱為Jordan規范型矩陣冪零變換在相似等價的情形下，我們來查看冪零變換類別(0, )Jk(0,2)J(0,1)J(0, )Jk，拼成的首個為且可重復排列的Jordan規范型矩陣由kx2x00101x表示的個數，表示的個數，表示0的個數01(0, )10k kJk k-冪零變換在相似等價的情形下： xk , xk-1 , , x1不同，看成不同的k-冪零變換1kx 120kxx1xnkmin1rk當，時，秩r

3、最小，即n維線性空間V上，不同的k-冪零變換所對應的象的維數，即k-冪零變換下矩陣A的秩(mod )ntk0,1,1tk001110tnkAkttk 秩( ) ()00110tnkAntk 秩( )，其中秩的取值范圍為： 或 knxkr當時，秩可取到最大 0(mod )nkmax(1) nnrknkkJordan若，最大秩且秩最大的規范型只有一個 knxkr時，秩可取到最大 7n 3723x ( (0,3), (0,3),0)Jdiag JJ( (0,3), (0,2), (0,2)Jdiag JJJ當，3-冪零變換時，此時：秩為4。但是，秩也為4。(mod )ntk0t Jordan當，時，

4、秩最大的規范型并不唯一. 2-冪零變換：12nA 秩( )對任意的秩，2-冪零變換的Jordan規范型矩陣都是唯一的。3-冪零變換12(,)mdiag J JJ0110jjjnnJ 1mjjnn 其中 ， ，3-冪零變換：若存在正整數3,滿足f3=0,f20,則存在V的一個基，使得f在這個基下的矩陣是121,3mjmnnn(0,3)J(0,2)J(0,1)J(0,3)J、，拼成的首個為且可重復排列的Jordan規范型矩陣由3x0001000102x00101x表示的個數，表示的個數，表示0的個數2r32nn 23nn2r31x 20 x 13xnmin2r當時，秩的范圍： 在象的維數給定的情況

5、下，冪零變換在相似等價的前提下，有多少種可能呢？12nC2C當秩為C的所有n階3-冪零變換的Jordan規范型的個數為時，令C為A的秩，3-冪零變換：A為一個基下的Jordan規范型。12nC112CnC1312CCnC為偶數為奇數11322CCnC為偶數為奇數當時， 或或34n22r5n 23r當時，當時，而且不同的秩的Jordan規范型的個數為1。6n12n0(mod3)n 2(mod3)n maxr1(mod3)n maxr當時，時，的Jordan規范型的個數為1。時，的Jordan規范型的個數為2。當當max32nnr 在相似等價的情形下，關于2-冪零變換與3-冪零變換我們有一定的了解， 那么不考慮相似等價，冪零變換？平面二維空間1、f是2維平面到2維平面的線性變換，即為可逆變換2、g是2維平面到平面上直線的線性變換，2-冪零變換：在x軸單位向量和y軸單