1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上切線證明法一、若直線l過O上某一點A，證明l是O的切線，只需連OA，證明OAl就行了，簡稱“連半徑，證垂直”，難點在于如何證明兩線垂直.例1 如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點的切線交OD延長線于F.求證：EF與O相切.證明：連結OE，AD. AB是O的直徑， ADBC. 又AB=BC， 3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF與O相切， OBBF. OEF=900. EF與O相切.說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直的 例2 如圖，AD是BAC的平分線，

2、P為BC延長線上一點，且PA=PD.求證：PA與O相切.證明一：作直徑AE，連結EC. AD是BAC的平分線， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直徑， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA.PA與O相切.證明二：延長AD交O于E，連結OA，OE. AD是BAC的平分線， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE, 1+PAD=900 即OAPA. PA與O相切說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意

3、知識的綜合運用.例3 如圖，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于D，DMAC于M求證：DM與O相切.證明一：連結OD. AB=AC， B=C.OB=OD，1=B. 1=C. ODAC.D DMAC，DMOD.DM與O相切證明二：連結OD，AD.AB是O的直徑，ADBC.又AB=AC, 1=2. DMAC，2+4=900COA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.例4 如圖，已知：AB是O的直徑，點C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延長線上.求證：DC是

4、O的切線證明：連結OC、BC. OA=OC， A=1=300. BOC=A+1=600. 又OC=OB， OBC是等邊三角形.D OB=BC. OB=BD， OB=BC=BD. OCCD. DC是O的切線.說明：此題是根據(jù)圓周角定理的推論3證明垂直的，此題解法頗多，但這種方法較好.例5 如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA2=ODOP.求證：PC是O的切線.證明：連結OC OA2=ODOP，OA=OC， OC2=ODOP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的例6 如圖，ABCD是正方形，G是B

5、C延長線上一點，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與CFG的外接圓相切.分析：此題圖上沒有畫出CFG的外接圓，但CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點，為此我們取FG的中點O，連結OC，證明CEOC即可得解.證明：取FG中點O，連結OC. ABCD是正方形， BCCD，CFG是Rt O是FG的中點， O是RtCFG的外心. OC=OG， 3=G， ADBC， G=4. AD=CD，DE=DE， ADE=CDE=450， ADECDE（SAS） 4=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即CEOC. CE與CFG的外接圓相切二、若直線l與O沒有已知的公共點，又要證明l是O的切線

6、，只需作OAl，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”例7 如圖，AB=AC，D為BC中點，D與AB切于E點.求證：AC與D相切.證明一：連結DE，作DFAC，F(xiàn)是垂足. AB是D的切線， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切線證明二：連結DE，AD，作DFAC，F(xiàn)是垂足.AB與D相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，1=2.DEAB，DFAC，DE=DF.F在D上.AC與D相切.說明：證明一是通過證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質

7、證明DF=DE的，這類習題多數(shù)與角平分線有關.例8 已知：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求證：CD是O的切線.證明一：連結OA，OB，作OECD，E為垂足. AC，BD與O相切， ACOA，BDOB. ACBD， 1+2+3+4=1800.O COD=900， 2+3=900，1+4=900. 4+5=900. 1=5. RtAOCRtBDO. . OA=OB， . 又CAO=COD=900， AOCODC， 1=2. 又OAAC，OECD, OE=OA. E點在O上. CD是O的切線.證明二：連結OA，OB，作OECD于E，延長DO交CA延長線于F.AC，BD

8、與O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F(xiàn)=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E點在O上.CD是O的切線.證明三：連結AO并延長，作OECD于E，取CD中點F，連結OF.AC與O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD與O相切于B，AO的延長線必經過點B.AB是O的直徑.ACBD，OA=OB，CF=DF，OFAC，1=COF.COD=900，CF=DF，.2=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E點在O上.CD是O的切線說明：證明一是利用相似三角形證明1=2，證明二是利用等腰三角形三線合一證

9、明1=2.證明三是利用梯形的性質證明1=2，這種方法必需先證明A、O、B三點共線.此題較難，需要同學們利用所學過的知識綜合求解.以上介紹的是證明圓的切線常用的兩種方法供同學們參考.切線的性質定理: 圓的切線垂直于經過切點的半徑切線的性質定理的推論: 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點切線的性質定理的推論: 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心切線的判定定理: 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線長定理: 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。一、要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個點，那么作出過這一點的半徑，證明直

10、線垂直于半徑【例1】如圖1，已知AB為O的直徑，點D在AB的延長線上，BDOB，點C在圓上，CAB30求證：DC是O的切線思路：要想證明DC是O的切線，只要我們連接OC，證明OCD90即可圖1OABCD證明：連接OC，BCAB為O的直徑，ACB90CAB30，BCABOBBDOB，BCODOCD90DC是O的切線【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論，特別要注意“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線OABCD圖22341【例2】如圖2，已知AB為O的直徑，過點B作O的切線BC，連接OC，弦ADOC求證：CD是O的切線思路：本題中既有圓的切線是已知

11、條件，又證明另一條直線是圓的切線也就是既要注意運用圓的切線的性質定理，又要運用圓的切線的判定定理欲證明CD是O的切線，只要證明ODC90即可證明：連接ODOCAD，13，24OAOD，1234又OBOD，OCOC，OBCODCOBCODCBC是O的切線，OBC90ODC90DC是O的切線【例3】如圖2，已知AB為O的直徑，C為O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D求證：AC平分DAB圖3OABCD231思路：利用圓的切線的性質與圓的切線垂直于過切點的半徑證明：連接OCCD是O的切線，OCCDADCD，OCAD12OCOA，1323AC平分DAB【評析】已知一條直線是某圓的切線時，切線的

12、位置一般是確定的在解決有關圓的切線問題時，輔助線常常是連接圓心與切點，得到半徑，那么半徑垂直切線【例4】 如圖1，B、C是O上的點，線段AB經過圓心O，連接AC、BC，過點C作CDAB于D，ACD=2BAC是O的切線嗎？為什么？解：AC是O的切線理由：連接OC，OC=OB，OCB=BCOD是BOC的外角，COD=OCB+B=2BACD=2B，ACD=CODCDAB 于D，DCO+COD=90DCO+ACD=90即OCACC為 O上的點，AC是O的切線【例5】 如圖2，已知是ABC的外接圓，AB是的直徑，D是AB的延長線上的一點，AEDC交DC的延長線于點E，且AC平分EAB求證：DE是O的切線

13、證明：連接OC，則OA=OC， CAO=ACO，AC平分EAB，EAC=CAO=AC，AECO，又AEDE，CODE，DE是O的切線二、直線與圓的公共點未知時須通過圓心作已知直線的垂直線段，證明此垂線段的長等于半徑【例6】 如圖3，AB=AC，OB=OC，O與AB邊相切于點D證明:連接OD，作OEAC，垂足為EAB=AC,OB=OCAO為BAC角平分線，DAO=EAOO與AB相切于點D，BDO=CEO=90AO=AOADOAEO，所以OE=ODOD是O的半徑，OE是O的半徑O與AC 邊相切【例7】 如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點的切線交OD延長線

14、于F.求證：EF與O相切.證明：連結OE，AD. AB是O的直徑， ADBC. 又AB=BC， 3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF與O相切， OBBF. OEF=900. EF與O相切.說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直的 【例8】如圖，AD是BAC的平分線，P為BC延長線上一點，且PA=PD.求證：PA與O相切.證明一：作直徑AE，連結EC.AD是BAC的平分線， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直徑， ACEC，E+EAC=900. 1+

15、EAC=900. 即OAPA. PA與O相切.證明二：延長AD交O于E，連結OA，OE. AD是BAC的平分線， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE, 1+PAD=900 即OAPA. PA與O相切說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識的綜合運用.【例9】如圖，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于D，DMAC于M求證：DM與O相切.證明一：連結OD. AB=AC， B=C.OB=OD，1=B. 1=C. ODAC.D DMAC，DMOD.DM與O相切證明二：連結OD，AD.AB是O的直徑

16、，ADBC.又AB=AC, 1=2. DMAC，2+4=900COA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.【例10】 如圖，已知：AB是O的直徑，點C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延長線上.求證：DC是O的切線證明：連結OC、BC. OA=OC， A=1=300.BOC=A+1=600. 又OC=OB，OBC是等邊三角形.DOB=BC.OB=BD， OB=BC=BD. OCCD. DC是O的切線.說明：此題解法頗多，但這種方法較好.【例12】 如圖，A

17、B是O的直徑，CDAB，且OA2=ODOP.求證：PC是O的切線.證明：連結OC OA2=ODOP，OA=OC， OC2=ODOP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的【例13】 如圖，ABCD是正方形，G是BC延長線上一點，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與CFG的外接圓相切.分析：此題圖上沒有畫出CFG的外接圓，但CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點，為此我們取FG的中點O，連結OC，證明CEOC即可得解.證明：取FG中點O，連結OC. ABCD是正方形， BCCD，CFG是Rt

18、O是FG的中點， O是RtCFG的外心. OC=OG， 3=G， ADBC， G=4. AD=CD，DE=DE， ADE=CDE=450， ADECDE（SAS） 4=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即CEOC. CE與CFG的外接圓相切二、若直線l與O沒有已知的公共點，又要證明l是O的切線，只需作OAl，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”【例14】 如圖，AB=AC，D為BC中點，D與AB切于E點.求證：AC與D相切.證明一：連結DE，作DFAC，F(xiàn)是垂足. AB是D的切線， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切線證明二：連結DE，AD，作DFAC，F(xiàn)是垂足.AB與D相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，