1、-裝- - 訂 -線- 班級 11財務管理一班 姓名 丁潔寧 學號 11250202112 - 廣 東 商 學 院 答 題 紙（格式二）課程 管理科學研究方法 20 12 20 13學年第 一 學期成績 評閱人 徐輝 評語：運用線性規劃對風險投資問題研究摘要：本題是一個優化問題，對市場上的多種風險投資和一種無風險資產（存銀行）進行組合投資策略的的設計需要考慮好多因素。投資問題中的投資收益和風險問題，我們總希望利潤獲要盡可能大而總體風險盡可能小，但是，他并不是意隨人愿，在一定意義上是對立的。因此，本文給出組合投資方案設計的一個線性規劃模型。主要思路是通過線性加權綜合兩個設計目標；假設在投資規模相

2、當大的基礎上，將交易費函數近似線性化；通過決策變量的選取化解風險函數的非線性。關鍵詞：線性規劃 風險投資風險最小化利益最大化 WinQSB2.0一、 引言本題是一個優化問題，對市場上的多種風險投資和一種無風險資產（存銀行）進行組合投資策略的的設計需要考慮好多因素。投資問題中的投資收益和風險問題，我們總希望利潤獲要盡可能大而總體風險盡可能小，但是，他并不是意隨人愿，在一定意義上是對立的。因此，本文給出組合投資方案設計的一個線性規劃模型。主要思路是通過線性加權綜合兩個設計目標；假設在投資規模相當大的基礎上，將交易費函數近似線性化；通過決策變量的選取化解風險函數的非線性。最后通過非線性規劃，說明線性

3、規劃的結果對于交易費收取的閾值有一定的容忍度。模型的最大優點是：計算過程穩定性好，速度快。我們對各種加權因子，求得了最優化決策方案，從而得到問題的有效投資曲線。根據有效投資曲線，投資者可以由自己的主觀偏好，直觀地選擇自己的投資方向。風險投資問題可以建立相應的線性規劃模型，即轉化為線性規劃問題通過數學運算進行解決。本文將應用線性規劃的方法，幫助其做出在現有資金條件下的最優投資方案，以期達到利益最大化的目的。通過運用線性規劃的分析方法來解決企業的風險投資問題。二、研究現狀投資，是現代人從事最多的經濟活動。一般的投資項目較之銀行的儲蓄有較高的匯報率，但是相應也有風險。理性的投資者在追求高利潤的同時，

4、往往充分考慮投資的風險。組合投資，即“不把雞蛋放在一個籃子里”的投資策略，可以有效規避風險。在進行多種資產投資時，人們常常想知道一筆資金該向哪一種資產投資，投資比例是多少，才能使我們的收益達到最大，并且不用承擔太大的風險。為了能夠做到這一點，我們在投資之前必須對各種資產進行分析、估價，并且始終堅持多樣化的原則以減小風限。三、相關理論概述3.1、線性規劃的概念線性規劃即應用分析、量化的方法, 對管理系統中的有限資源進行統籌規劃, 為決策者提供最優方案, 以實現科學管理。面對激烈的市場競爭, 降低成本、增加利潤、增強其核心競爭力, 成為了每個企業追求的目標, 而要實現其目標, 就要對人、財、物等現

5、有資源進行優化組合、實現最大效能。因此, 將線性規劃方法用于企業的產、銷、研等過程成為了現代科學管理的重要手段之一。自從單純形法提出以來, 線性規劃得到了廣泛應用, 目前, 線性規劃的計算機求解軟件主要有多種, 規劃問題的專用軟件L INDO , 可以解決一些擁有超過50 000 個約束條件和200 000 個變量的大規模復雜問題。L INDO 的出現使線性規劃的求解問題變得簡單易行, 所以線性規劃的具體運用也越來越受到管理者的重視。3.2、線性規劃的模型（1）一般形式所謂線性規劃, 就是在一系列約束條件之下, 求解某一經濟目標最優(最大或最小) 值的一種數學方法。它的一般形式表示如下: s.

6、t （2）線性規劃的標準形式由于目標函數和約束條件內容和形式上的差別, 線性規劃問題可以有多種表達式。為了便于討論和制定統一的算法, 可以把線性規劃的一般形式化為如下的標準形: s.t 把一般形化為標準形的過程, 可以簡而言之為“三化”: 即目標最值化、約束等式化和變量非負化。3.3、 WinQSB2.0應用軟件介紹QSB是Quantitative Systems for Business的縮寫，早期版本的操作系統在DOS下運行，WinQSB2.0是在Windows操作系統下運行的。WinQSB2.0是一種教學軟件，對于非大型的問題一般都能計算，較小的問題還能演示中間的計算過程，特別適合多媒體

7、課堂教學。該軟件可應用于管理科學、決策科學、運籌學及生產運作管理等領域的求解問題，軟件包括的操作程序見下表：序號程 序縮寫、文件名名稱應用范圍1Acceptance Sampling AnalysisASA抽樣分析各種抽樣分析、抽樣方案設計、假設分析2Aggregate PlanningAP綜合計劃編制具有多時期正常、加班、分時、轉包生產量，需求量，儲存費用，生產費用等復雜的整體綜合生產計劃的編制方法。將問題歸結到求解線性規劃模型或運輸模型3decision analysis DA決策分析確定型與風險型決策、貝葉斯決策、決策樹、二人零和對策、蒙特卡羅模擬。4Dynamic Programmin

8、gDP動態規劃最短路問題、背包問題、生產與儲存問題5Facility Location and Layout FLL設備場地布局設備場地設計、功能布局、線路均衡布局6Forecasting and Linear regressionFC預測與線性回歸簡單平均、移動平均、加權移動平均、線性趨勢移動平均、指數平滑、多元線性回歸、Holt-Winters季節迭加與乘積算法7Goal Programming and Integer Linear Goal Programming GPIGP目標規劃與整數線性目標規劃多目標線性規劃、線性目標規劃，變量可以取整、連續、01或無限制8Inventory Th

9、eory and Systems ITS存儲論與存儲控制系統經濟訂貨批量、批量折扣、單時期隨機模型，多時期動態儲存模型，儲存控制系統（各種儲存策略）9Job SchedulingJOB作業調度，編制工作進度表機器加工排序、流水線車間加工排序10Linear programming and integer linear programming LPILP線性規劃與整數線性規劃線性規劃、整數規劃、寫對偶、靈敏度分析、參數分析11MarKov Process MKP馬耳科夫過程轉移概率，穩態概率12Material requirements planning MRP物料需求計劃物料需求計劃的編制，成

10、本核算13Network Modeling Net網絡模型運輸、指派、最大流、最短路、最小支撐樹、貨郎擔等問題，14NonLinear ProgrammingNLP非線性規劃有（無）條件約束、目標函數或約束條件非線性、目標函數與約束條件都非線性等規劃的求解與分析15Project Scheduling PERT-CPM網絡計劃關鍵路徑法、計劃評審技術、網絡的優化、工程完工時間模擬、繪制甘特圖與網絡圖16Quadratic programming QP二次規劃求解線性約束、目標函數是二次型的一種非線性規劃問題，變量可以取整數17Queuing AnalysisQA排隊分析各種排隊模型的求解與性能

11、分析、15種分布模型求解、靈敏度分析、服務能力分析、成本分析18Queuing System SimulationQSS排隊系統模擬未知到達和服務時間分布、一般排隊系統模擬計算19Quality control chartsQCC質量管理控制圖建立各種質量控制圖和質量分析四、問題的提出市場上有n種資產（如股票、債券、）Si ( i=1,n) 供投資者選擇，某公司有數額為M的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務分析人員對這n種資產進行了評估，估算出在這一時期內購買Si的平均收益率為 并預測出購買Si的風險損失率為 。考慮到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產時

12、，總體風險用所投資的Si中最大的一個風險來度量。購買Si要付交易費，費率為 ，并且當購買額不超過給定值 時，交易費按購買 計算。另外，假定同期銀行存款利率是 , 且既無交易費又無風險。（ =5%）已知n = 4時的相關數據如下：Si(%)(%)(%)(元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地購買若干種資產或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風險盡可能小。五、模型的假設與符號說明5.1模型的假設：（1）在短時期內所給出的平均收益率,損失率和交易的費率不變。（2）在短時期內所購買的各

13、種資產（如股票，證券等）不進行買賣交易。即在買入后就不再賣出。（3）每種投資是否收益是相互獨立的。（4）在投資的過程中，無論盈利與否必須先付交易費。5.2符號說明：參數范圍說明Sii=1,2n欲購買的第i種資產的種類M相當大公司現有的投資總額xii=1,2n公司購買Si的金額rii=1,2n公司購買Si的平均收益率qii=1,2n公司購買Si的平均損失率pii=1,2n公司購買Si超過ui時所付的交易費uii=1,2nxiui交易費 = piui xiui 而題目所給定的定值ui(單位:元)相對總投資M很小, piui更小,可以忽略不計,這樣購買Si的凈收益為(ri-pi)xi3要使凈收益盡可

14、能大，總體風險盡可能小,這是一個多目標規劃模型: 目標函數 max minmax qixi 約束條件 =M xi0 i=0,1,n4. 模型簡化a 在實際投資中，投資者承受風險的程度不一樣，若給定風險一個界限a，使最大的一個風險qixi/Ma，可找到相應的投資方案. 這樣把多目標規劃變成一個目標的線性規劃.模型1 固定風險水平，優化收益 目標函數： Q=max 約束條件： a ， xi 0 i=0,1, nb若投資者希望總盈利至少達到水平k以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資組合.模型2 固定盈利水平，極小化風險 目標函數： R= minmax qixi 約束條件： k， ， xi 0 i=

15、0，1，n c投資者在權衡資產風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合.因此對風險、收益賦予權重s（0s1)，s稱為投資偏好系數.模型3 目標函數：min smaxqixi -（1-s） 約束條件 =M， xi0 i= 0,1,2，n七、模型求解7.1模型1的求解 模型1為:minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 0.025x1 a 0.015x2 as.t. 0.055x3 a 0.026x4 a xi

16、 0 (i = 0，1，4)由于a是任意給定的風險度，到底怎樣給定沒有一個準則，不同的投資者有不同的風險度.我們從a=0開始，以步長a=0.001進行循環搜索，編制程序如下：a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vu

17、b); a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)計算結果：a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112a = 0.0100 x = 0 0.4000 0.5843 0

18、 0 Q =0.2190a = 0.0200 x = 0 0.8000 0.1882 0 0 Q =0.2518a = 0.0400 x = 0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q =0.2673結果分析1.風險大，收益也大.2.當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這與題意一致.即: 冒險的投資者會出現集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資.3.曲線上的任一點都表示該風險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風險.對于不同風險的承受能力，選擇該風險水平下的最優投資組合.4.在a=0.006附近有一個轉折點，在這一點左邊，風險增加很少時，利潤增長 很快.在這一點右邊，風險增加很

19、大時，利潤增長很緩慢，所以對于風險和 收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇曲線的拐點作為最優投資組合， 大約是a*=0.6%，Q*=20% ，所對應投資方案為:風險度 收益 x0 x1 x2 x3 x40.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 7.2模型2的求解 令x5= maxqixi則有x5大于或等于qixi中的任意一個，可得模型2為：min f=x5xi 0 (i = 0，1，4)由于k是任意給定的收益，到底怎樣給定沒有一個準則，不同的投資者有不同的收益.我們從k=0開始，以步長k=0.002進行循環搜索，編制程序如下：k=0;while

20、k0.5 c=0 0 0 0 0 1; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0; beq=1; A=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0; 0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1; b=-k;0;0;0;0; vlb=0,0,0,0,0,0; vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); k x=x R=val plot(k,R,.) axis(0 0.25 0 0.015) hold on k=k+0.0

21、02;endxlabel(k),ylabel(R);計算結果：kRx0x1x2x3x40.20000.00590.01070.23500.3917 0.10680.22600.20200.00600.00000.2408 0.40130.10940.21890.20400.00640.0000 0.25780.42970.11720.16800.02060.00690.00000.27480.45810.12490.1171 0.02080.00730.00000.29190.48640.13270.0662 結果分析：有實驗結果和圖可得以下結論：1 收益越大，風險也越大。2當投資越分散時，投

22、資者承擔的風險越小3曲線上任意一點都表示該投資下的最小風險，選擇該投資下的最優組合。4在k=0.206附近有一個轉折點，在它的右邊，風險隨投資的變化明顯比左邊的快得多，所以對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇曲線的拐點作為最優投資組合，大約是R*=0.6%，k*=20% ，所對應投資方案為:收益風險度x0x1x2x3x40.20600.00690.0000 0.27480.45810.12490.11717.3模型3的求解令x5= maxqixi則有x5大于或等于qixi中的任意一個，可得模型為：Min f=0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-

23、1) 0.26(s-1) s（x0 x1 x2 x3 x4 x5）各個投資者的投資偏好不一，所以s沒有一個定值，就從s=0開始，以步長k=0.001進行循環搜索，編制程序如下：i=1;for s=0.1:0.1:1;f=-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s; A=0 0.025 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1;b=0 0 0;aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0;beq=1;lb=zeros(6,1

24、);x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb);xy(i)=-fval;i=i+1;endk=0.1:0.1:1;figure(1);plot(k,y,g-);xlabel(s 權因子) ;ylabel(y收益);title(凈收益和風險關于權因子的函數)計算結果：使用線性加權法分別求解當s=0.11.0時的最優決策及風險和收益如下表：Sis=0.1.0.7s=0.8s=0.9s=1.0S10.99010.36900.23760.0000S20.00000.61500.39600.0000S30.00000.00000.10

25、800.0000S40.00000.00000.22840.0000存銀行0.00000.00000.00001.0000凈收益0.26730.21650.20140.0500風險0.02480.00920.00590.0000結果分析1 凈收益和風險是s(權因子)的單調下降函數，即謹慎程度越強，風險越小，但是收益也越小，具有明確的實際意義。八、 模型評價8.1模型優點（1）本文通過將風險函數轉化為不等式約束，建立了線性規劃模型，直接采用程序進行計算，得出優化決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據投資者的主觀偏好，選擇投資方向。（2）模型一采用線性規劃模型，將多目標規劃轉化為單目標規劃，選取了

26、風險上限值來決定收益，根據收益風險圖，投資者可根據自己的喜好來選擇投資方向。（3）模型三采用線性加權模型求解時，計算過程穩定性好，速度快，對不同的權因子進行比較，得出最優決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據投資者的主觀偏好，選擇投資方向。8.2模型缺點 當投資金額小于固定值時，建立的線性規劃模型得到的結果可能不是最優解，要根據公司的資金M決策模型的優良。對于不同的金額，得到的結果不具有代表性，我們建立的模型中采用的只是M的一個特列，具有單一性 參考文獻1趙靜，但琦數學建模與數學實驗M北京:高等教育出版社，20082李志林 歐宜貴 數學建模及典型案例分析 北京，化學工業出版社 2006九、模型的評價本模型的建立，是為了解決現實生活中的投資問題。公司以盈利為目的，希望將一定的資金用來投資，來得到較高的回報。這就涉及到投資項目的選擇問題。 一方面，投資的利潤越高越好，一方面，又希望投資的風險不能太大，來保證投資的成果。然而由于市場的成熟和完善，實際的投資項目往往并不是利潤又高，而風險又小的，高收益往往伴隨著高風險，若要追求低風險，那么投資的回報必不會很高。為了表示這種風險與收益之間的矛盾關系，我們在建立數學模型時，引入了多目標規劃，通過兩個目標函數，客觀的反映了現實中的需求情況。同時，在實際投資過程中，往往并不