1、第二章 誤差分析和數據處理方法2.1測量與誤差1、測量物理實驗不僅要定性觀察各種物理現象，更重要的是找出有關物理量之間的定量關系。為此就需要進行測量。測量指的是將待測的物理量與一個選來作為標準的同類量進行比較的過程。通過比較得出它們的倍數關系，進而認識待測量的一些未知屬性。可以認為測量就是一種研究方法。選作標準的同類量稱為單位。倍數稱為測量數值。由此可見，一個物理量的測量值等于測量值與單位的乘積。一個物理量的大小是客觀存在的，選擇不同的單位，相應的測量數值就有所不同。單位越大，測量數值愈小，反之亦然。測量可分為兩類。一類是直接測量。如用尺量長度，以表計時間，天平稱質量，溫度計量溫度等；另一類是

2、間接測量，是根據直接測量所得的數據，根據一定的公式，通過運算，得出所需要的結果，例如直接測出單擺的長度和周期，應用公式g=42/T2,求出重力加速度g。在物理的測量中，絕大部分是間接測量，但直接測量是一切間接測量的基礎。不論直接測量或間接測量，都需要滿足一定的實驗條件，按照嚴格的方法及正確地使用儀器，才能得出應有的結果。因此，在實驗過程中，一定要明白實驗的目的，正確地使用儀器，細心地進行操作、讀數和記錄，以達到鞏固理論知識和加強實驗技能訓練的目的。2.誤差物理量在客觀上有著確定的數值，稱為真值。然而在實際測量時，由于實驗條件、實驗方法和儀器精度等的限制或者不夠完善，以及實驗人員技術水平和經驗等

3、原因，使得測量值與客觀存在的真值之間有一定的差異。測量值x與真值Tx的差值稱為測量誤差，簡稱誤差。即 = x - Tx 任何測量都不可避免地存在誤差，所以，一個完整的測量結果應該包括測量值和誤差兩個部分。既然測量不能得到真值，那么怎樣才能最大限度地減小測量誤差并估算出這誤差的范圍呢？要回答這些問題，首先要了解誤差產生的原因及其性質。測量誤差按其產生原因與性質可分為系統誤差、隨機誤差和過失誤差三大類。（1）系統誤差系統誤差的特點是有規律的，測量結果都大于真值，或小于真值。或在測量條件改變時，誤差也按一定規律變化。系統誤差的產生有以下幾個方面：1）由于測量儀器的不完善、儀器不夠精密或安裝調整不妥，

4、如刻度不準、零點不對、砝碼未經校準、天平臂不等長、應該水平放置的儀器未放水平等。2）由于實驗理論和實驗方法的不完善，所引用的理論與實驗條件不符，如在空氣中稱質量而沒有考慮空氣浮力的影響，測微小長度時沒有考慮溫度變化使尺長的改變，量熱時沒有考慮熱量的散失，測量電壓時未考慮電壓表內阻對電壓的影響，標準電池的電動勢未作溫度校正等。3）由于實驗者生理或心理特點、缺乏經驗等而產生誤差。例如有些人習慣于側坐斜視讀數，眼睛辨色能力較差等，使測量值偏大或偏小。減小系統誤差是實驗技能問題，應盡可能采取各種措施將它減小到最低程度。例如將儀器進行校正，改變實驗方法或者在計算公式中列入一些修正項以消除某些因素對實驗結

5、果的影響，糾正不良習慣等。能否識別或降低系統誤差與實驗者的經驗和實際知識有密切的關系。學生在實驗過程中要逐步積累這方面的感性知識，結合實驗的具體情況對系統誤差進行分析和討論。因在設計實驗儀器和實驗原理時，系統誤差已被減小到最小程度，所以大學物理實驗課中不要求學生對實驗系統進行修正。（2）隨機誤差（又稱偶然誤差）在相同條件下，對同一物理量進行重復多次測量，即使系統誤差減小到最小程度之后，測量值仍然出現一些難以預料和無法控制的起伏，而且測量值誤差的絕對值和符號在隨機地變化著。這種誤差稱為隨機誤差。隨機誤差主要來源于人們視覺、聽覺和觸角等感覺能力的限制以及實驗環境偶然因素的干擾。例如溫度、濕度、電源

6、電壓的起伏、氣流波動以及振動等因素的影響。從個別測量值來看，它的數值帶有隨機性，似乎雜亂無章。但是，如果測量次數足夠多的話，就會發現隨機誤差遵循一定的統計規律，可以用概率理論估算它。（3）過失誤差在測量中還可能出現錯誤，如讀數錯誤、記錄錯誤、估算錯誤、操作錯誤等因素引起的誤差，稱為過失誤差。過失誤差已不屬于正常的測量工作范疇，應當盡量避免。克服錯誤的方法，除端正工作態度，嚴格工作方法外，可用與另一次測量結果相比較的辦法發現糾正，或者運用異常數據剔除準則來判別因過失而引入的異常數據，并加以剔除。3、正確度、精密度和準確度正確度、精密度和準確度是評價測量結果優劣的三個述語。測量結果的正確度是指測量

7、值與真值的接近程度。正確度高，說明測量值接近真值程度好，即系統誤差小。可見，正確度是反映測量結果系統誤差大小的述語。測量結果的精密度是指重復測量所得結果相互接近的程度。精密度高，說明重復性好，各個測量誤差的分布密集，即隨機誤差小。可見，精密度是反映測量結果隨機誤差大小的術語。測量結果的準確度是指綜合評定測量結果重復性與接近真值的程度。準確度高，說明精密度和正確度都高。可見，準確度反映隨機誤差和系統誤差的綜合效果。在實驗中系統誤差已被減小到最小程度，所以，誤差計算主要是估算隨機誤差，因此往往不再嚴格區分精密度和準確度，而泛稱精度。4、絕對誤差、相對誤差和百分差誤差的表示形式，有絕對誤差和相對誤差

8、之分。絕對誤差±x表示測量結果x與真值之間的差值以一定的可能性（概率）出現的范圍，即真值以一定可能性（概率）出現在至區間內。僅僅根據絕對誤差的大小還難以評價一個測量結果的可靠程度，還需要看測量值本身的大小，為此引入相對誤差的概念。相對誤差 表示絕對誤差在整個物理量中所占的比重，一般用百分比表示。例如，一長度測量值是1000米，而絕對誤差為1米。另一長度測量值為100厘米，而絕對誤差為1厘米。后者的相對誤差為1%，前者的相對誤差為0.1%，所以，前者較后者更可靠。如果待測量有理論值或公認值，也可用百分差表示測量的好壞。即 百分差絕對誤差、相對誤差和百分差通常只取12位數字來表示。2.2

9、 隨機誤差的高斯分布與標準誤差隨機性是隨機誤差的特點。也就是說，在相同條件下，對同一物理量進行多次重復測量，每次測量值的誤差時大時小，對某一次測量值來說，其誤差的大小與正負都無法預先知道，純屬偶然。但是，如果測量次數相當多的話，隨機誤差的出現仍服從一定的統計規律。根據實驗情況的不同，隨機誤差出現的分布規律有高斯分布（即正態分布）、t分布、均勻分布以及反正弦分布等等。按大綱要求，僅介紹隨機誤差的高斯分布。1高斯分布的特征和數學表述遵從高斯分布規律的隨機誤差具有下列四大特征：（1）單峰性 絕對值小的誤差出現的可能性（概率）大，大誤差出現的可能性小。（2）對稱性 大小相等的正誤差和負誤差出現的機會均

10、等，對稱分布于真值的兩側。（3）有界性 非常大的正誤差或負誤差出現的可能性幾乎為零。（4）抵償性 當測量次數非常多時，正誤差和負誤差相互抵消，于是，誤差的代數和趨向于零。高斯分布的特征可以用高斯分布曲線形象地表示出來，見圖2-2-1（a）。橫坐標為誤差，縱坐標為誤差的概率密度分布函數。根據誤差理論可以證明函數的數學表述式為： （2-2-1）測量值的隨機誤差出現在到+d區間內的可能性(概率)為f()d,即圖2-2-1(a)中陰影線所包含的面積元。上式中的是一個與實驗條件有關的常數，稱為標準誤差。其量值為 式中，n為測量次數，各次測量值的隨機誤差為，,2,3,n。可見標準誤差是將各個誤差的平方取平

11、均值，再開方得到，所以，標準誤差又稱為均方根誤差。2標準誤差的物理意義由式（2-2-1）可知，隨機誤差正態分布曲線的形狀取決于值的大小，如圖（2-2-1）b所示。值愈小，分布曲線愈陡峭，峰值愈高，說明絕對值小的誤差占多數，且測量值的重復性好，分散小；反之，值愈大，曲線愈平坦峰值愈低，說明測量值的重復性差，分散性大。標準誤差反映了測量值的離散程度。由于f()d是測量值隨機誤差出現在小區間（，+d）的可能性（概率），那么，測量值誤差出現在區間（-，）內的可能性（概率）就是 這說明對任意一次測量，其測量值誤差出現在到區間內的可能性（概率）為68.3%。也就是說，假如我們對某一物理量在相同條件下進行了

12、1000次測量，那么，測量值誤差可能有683次落在到區間內。注意標準誤差的統計意義，它并不表示任一次測量值的誤差就是±，也不表示誤差不會超出±的界限。標準誤差只是一個具有統計性質的特征量，用以表征測量值離散程度的一個特征量。3極限誤差與上述相仿，同樣可以計算，在相同條件下對某一物理學量進行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在-3到3區域之間的可能性（概率）。其值為 也就是說，在1000次測量 中，可能有3次測量值的誤差絕對值會超過3。在通常的有限次測量情況下，測量次數很少超過幾十次，因此測量值的誤差超出±3范圍的情況幾乎不會出現，所以把3稱為極限誤差。在測量次數相

13、當多的情況下，如出現測量值的誤差的絕對值大于3的數據，可以認為這是由于過失而引起的異常數據而加以剔除。但是，對于測量次數較少的情況，這種判別方法就不可靠，而需要采用另外的判別準則。23 近真值算術平均值盡管一個物理量的真值是客觀存在的，然而，即使對測量值已進行了系統誤差的修正，也會由于隨機誤差的存在，企圖得到真值的愿望仍不能實現。那么，是否能夠得到一個測量結果的最佳值，或者說得到一個最接近真值的數值（近真值）呢？這個近真值又如何來求得？根據隨機誤差具有抵償性的特點，誤差理論可以證明，如果對一個物理量測量了相當多次，那么算術平均值就是接近真值的最佳值。設在相同條件下對一個物理量進行了多次測量，測

14、量值分別為，各次測量值的隨機誤差分別為，并用Tx表示該物理量的真值。根據誤差的定義有=-Tx ， =-Tx ，=-Tx ，=-Tx 將以上各式相加，得 或 (2-3-1)用代表算術平均值,即 (2-3-2)式(2-3-1)可改寫為 (2-3-3)根據隨機誤差的抵償性特征,當測量次數n相當多時,由于正、負誤差相互抵消，各個誤差的代數和趨近于零，即 于是有 由此可見，測量次數愈多，算術平均值接近真值的可能性愈大。當測量次數相當多時，算術平均值是真值的最佳值，即近真值。24 標準誤差的估算標準偏差 1任意一次測量值的標準偏差某一次測量值的誤差是測量值與真值Tx的誤差值。由于真值不知道，誤差計算不出。

15、因而，按照式（2-2-2），標準誤差也無從估算。根據算術平均值是近真值的結論，在實際估算時采用算術平均值代替真值，用各次測量值與算術平均值的差值 來估算各次的誤差。差值稱為殘差。誤差理論可以證明，當測量次數n有限，用殘差來估算標準誤差時，其計算式為 稱之為任意一次測量值的標準偏差，它是測量次數有限多時，標準誤差的一個估計值。其代表的物理意義是，如果多次測量的隨機誤差遵從高斯分布，那么，任意一次測量，測量值誤差落在到區域之間的可能性（概率）為68.3%。或者說，它表示這組數據的誤差有68.3%的概率出現在到區間內。2平均值的標準偏差誤差理論證明，平均值的標準偏差為 上式說明,平均值的標準偏差是n

16、次測量中任意一次測量值標準偏差的倍。小于，這個結果的合理性是顯而易見的。因為算術平均值是測量結果的最佳值，它比任意一次測量值更接近真值，誤差要小。的物理意義是，在多次測量的隨機誤差遵從高斯分布的條件下，真值處于區間內的概率為68.3%。值得注意，用和來估算隨機誤差，理論上都要求測量次數相當多。但實際上，往往受到教學時間的限制，重復測量的次數不可能很多，所以，用它們來估算的隨機誤差帶有相當程度的近似性。另外，在測量次數較少時（n<10），隨著測量次數n的增加而明顯地減小，以后，隨著測量次數n的繼續增加，的減小愈來愈不明顯而趨近于恒定值。由此可見，過多地增加測量次數，其價值并不太大。根據實際

17、情況，如果需要多次重復測量，一般測量次數取510次為宜。25 誤差傳遞公式直接測量值不可避免地存在誤差，顯然由直接測量值根據一定的函數關系，經過運算而得到的間接測量值也必然有誤差存在。怎樣來估算間接測量值的誤差，實質上是要解決一個誤差傳遞的問題，即求得估算間接測量值誤差的公式。這種公式稱之為誤差傳遞公式。1誤差的一般傳遞公式設待測量N是n個獨立的直接測量量A，B，C，H的函數，即 N= f (A,B,C,H) （2-5-1） 若各直接測量值的絕對誤差分別為A，B，C，H，則間接測量值N的絕對誤差為N。下面介紹具體計算方法。將（2-5-1）求全微分，得 （2-5-2）由于A，B，C，H分別相對于

18、A，B，C，H是一個很小的量，將式（2-5-2）中的dA，dB，dC，dH用A，B，C，H代替，則 （2-5-3）由于上式右端各項分誤差的符號正負不定，為謹慎起見，作最不利情況考慮，認為各項分誤差將累加，因此，將上式右端各項分別取絕對值相加，即 （2-5-4）很明顯，這樣做會導致測量結果誤差偏大。但在實際工程設計中常常必須這樣處理。相對誤差為 （2-5-5）式（2-5-4）和式（2-5-5）稱為誤差的一般傳遞公式，或稱為誤差的算術合成。根據以上兩式計算出的常用誤差公式列在表2-5-1中，以供參考。表2-5-1 幾種常用的誤差傳遞公式函數關系誤差的一般傳遞公式標準誤差傳遞公式N=A+B或 N=A

19、-BN=A·B或N=A/BN=K·AN=sinA 2.標準誤差的傳遞公式 若各個獨立的直接測量值的絕對誤差分別為標準偏差，等，則間接測量值N的誤差估算需要用誤差的方和根合成，即絕對誤差為 （2-5-6）和相對誤差為 （2-5-7）以上兩式稱為標準誤差的傳遞公式，或稱為誤差的方和根合成。幾種常用的標準誤差的傳遞公式列于表（2-5-1）中，供需要時查用。從表（2-5-1）中可見：1）對于和或差函數關系，函數N的絕對誤差都是直接測量值標準誤差的“方和根”。所以，應先計算出N的絕對誤差，即，然后再按計算N的相對誤差EN。2）對于乘或除函數關系，函數N的相對誤差EN都是各直接測量值相

20、對誤差的“方和根”。所以，應先計算出N的相對誤差EN，再按計算函數N的絕對誤差，即。誤差傳遞公式除了可以用來估算間接測量值N的誤差之外，還有一個重要的功能，就是用它來分析各直接測量值的誤差對最后結果誤差影響的大小。對于那些影響大的直接測量值，預先考慮措施，以減小它們的影響，為合理選用儀器和實驗方法提供依據。26 不確定度與測量結果表述用標準誤差來評估測量結果的可靠程度，這種做法不盡完善，往往有可能遺漏影響測量結果準確性的因素，例如未定的系統誤差、儀器誤差等。鑒于上述原因，為了更準確地表述測量結果的可靠程度，提出了采用不確定度的概念。1不確定度概念一個完整的測量結果不僅要給出該測量值的大小（即數

21、值和單位），同時還應給出它的不確定度。用不確定度來表征測量結果的可信懶程度。于是測量結果應寫成下列標準形式：（單位）， （2-6-1）式中為測量值，對等精度多次測量而言，為測量的算術平均值；U為不確定度，Ur 為相對不確定度。“不確定度”（Uncertainty）一詞是指可疑、不能肯定、或測不準的意思。不確定度是測量結果所攜帶的一個必要參數，以表征測量值的分散性、準確性和可靠程度。嚴格的測試報告在給出測量結果的同時，應有詳盡的測試參數，并給出相應的不確定度。不確定度越小，表示對測量對象屬性的了解越透徹，測量結果的可信度越高，使用價值也越高。測量結果標準形式示例：普朗克常數 h=(6.62607

22、75±0.0000004)×10-34J·s Ur=±0.60×106 基本電荷 e=(1.60217733±0.00000033)×10-19C Ur=±0.30×10-6 2、大學物理實驗中測量不確定度的表達通常，測量不確定度由幾個分量構成。按數值的估算方法不同可將分量分為兩類：A類：在一系列重復測量中，用統計方法計算的分量，它的表征值用標準誤差表示，即 （2-6-2）需要指出，另外還有一個表征值，稱為自由度，在此簡略。B類：用其它方法計算的分量。在僅考慮儀器誤差的情況下，B類分量的表征值為 u= （

23、2-6-3）式中是指計量器具的示值誤差；C是一個大于1的，且與誤差分布特性有關的系數。若儀器誤差的概率密度函數是遵循均勻分布規律的，。本課程所用計量器具和儀表多數屬于這種情況。實際上，B類分量考慮的因素很多，很復雜。如用統計方法無法發現的固有系統誤差。這要通過對測量過程的仔細分析、根據經驗和有關信息來估算。有關信息包括過去測量的數據、對儀器性能的了解、儀表的技術指標、儀器調整不垂直、不水平或不對準等因素引入的附加誤差，檢定書提供的數據以及技術手冊查到的的參考數據的不確定度等。（2-6-3）只是一種簡化處理。A類和B類分量采用方和根合成，得到合成的不確定度為 （2-6-4）若A類分量Si有n個；

24、B類分量uj有m個，那么用方和根合成所得到的合成的不確定度為 （2-6-5）3間接測量的不確定度不確定度的傳遞公式與標準誤差的傳遞公式形式上完全相同,它們同樣是方和根合成,只要將(2-5-6)和(2-5-7)中的標準誤差改寫成不確定度,即可得到間接測量量N不確度的計算式 (2-6-6)和相對不確定度計算式 · (2-6-7)式中N=f（A，B，C，H），N是幾個相互獨立的直接測量量A，B，C，H的函數，它們的不確定度分別為UA，UB，UC，UH等。，稱之為各直接測量量的不確定度傳遞系數。4單次直接測量量的不確定度估計實驗時，常常由于條件不許可，或者某一量的不確定度對整個測量的總不確度

25、影響甚微，因而測量只進行了一次。這時，對于此量的不確定度只能根據儀器誤差、測量方法、實驗條件以及實驗者技術水平等實際情況，進行合理估計，不能一概而論。一般情況下的簡單做法是采用儀器誤差或其倍數的大小作為單次測量量的不確定度的估計值。5計算示例例1、在室溫230C下，用共振干涉法測量超聲波在空氣中傳播時的波長，數據見表2-6-1。下面用列表法計算超聲波波長的平均值和不確定度。表2-6-1（cm）(×10-4cm)(×10-4cm)210.68721010020.6854-86430.6840-2248440.68801832450.6820-42176460.68801832

26、470.6852-1010080.686863690.688018324100.687014196=0.6862=3716解：波長平均值為 =0.6862cm任意一次波長測量值標準偏差為0.0020cm實驗裝置的游標精度值=0.0020cm波長不確定度的A類分量=0.0020cm,B類分量=0.0012cm。于是波長的不確定度為=0.0023cm和相對不確定度為結果：在室溫230C下，用共振干涉法測量超聲波在空氣中傳播時的波長=（0.6862±0.0023）cm， 例2、上題中，如果已測得超聲波頻率為 試計算超聲波在23空氣中的傳播速度及其不確定度。解：超聲波在23空氣中的傳播速度為

27、 根據不確定度傳遞公式（2-6-7）可以得到超聲波傳播速度的相對不確定度 結果：超聲波在23空氣中的傳播速度為v=(348.0±1.2)m/s， Urv=±0.34%說明：（1）不確度只能在數量級上對測量結果的可靠程度作出一個恰當的評價，因此它的數值沒有必要計算得過于精確。通常約定不確度和誤差最多用兩位數字表示，而且，在運算過程中只需取兩位（或最多取三位）數字計算即可滿足要求。（2）不確定度的歷史發展。長期以來，全世界對不確定度的表述，方法頗多，存在分歧與混亂。為尋求統一，有利國際交流，1978年國際計量大會（CIPM）委托國際計量局（BIPM）聯合各國國家計量標準實驗室一

28、起共同研究，并制定一個表述不確度的指導性文件。國際計量局在調查和征求意見的基礎上，1998年召集專家會議，制定出實驗不確定度的規定建議書INC-1（1980），簡單扼要地敘述，實驗不確定度的表述，以此作為各國計算不確定度的共同依據。這建議書1981年被（CIPM）采納，并于1986年再次被肯定與充實。在此基礎上，國際標準化組織（ISO）牽頭，國際法制計量組織（OIML）、國際電工委員會（IEC）和國際計量局等一起參與，制定出一個更詳細、更實用、具有國際指導性的文件測量不確定度表達指南19922。1993年除上述四個組織外，還有國際理論與應用物理聯合會（IUPAP）、國際理論與應用化學聯合會（I

29、UPAC）等一些國際組織批準實行此指南，作為制定檢定規程和技術標準必須遵循的文件。測量不確定度表達指南1992對一些基本概念和不確定度表達給予了新的、具有發展性的定義與計算方法，是國際和國內各行各業表述不確定度最具權威的依據。1986年我國計量科學院發出了采用不確定度作為誤差數字指標名稱的通知。1992年10月1日我國開始執行國家計量技術規范JJG1027-91測量誤差及數據處理（試行），規定測量結果的最終表示形式用總不確定度或相對不確定度表達。需要指出的是，有關不確定度的概念、理論和應用規范還在不斷地發展和完善。因此，在本課程教學中要準確地用不確定度來評定測量結果目前尚有困難，但是，為了執行

30、國家技術規范又易于初學者接受，我們在保證科學性的前提下，對不確定度的計算方法作了適當的簡化處理，把教學重點放在建立必要的概念上，使學生對不確定度概念有一個初步的基礎。以后工作需要時，可以參考有關文獻3，繼續深入與提高。參考文獻2 International Organization for Standardization. GUIDE OF UNCERTAINTY IN MEASUREMENT. First edition 1992國際標準化組織 . 測量不確定度表達指南. 肖明耀等譯 . 北京：中國計量出版社，19943 劉智敏等編著· 測量不確定度手冊 . 北京：中國計量出版社，

31、199727 有效數字實驗所處理的數值有兩種。一種是不確定度為零的準確值（如測量的次數，公式中的純數等）；另一種是測量值。測量值總有不確定度，因此它的數字就不應無止境地寫下去。例如，測量值=1.19423g·cm-3，其不確定度。可見測量值小數點后第三位數字已是可疑，我們認為這位數字“4”是不可靠的，在它后面的數字就沒有再表示出來的必要。上面的結果 應寫成，我們把這個測量值中前面的三位數字“1”、“1”和“9”稱為可靠數字，而最后一位與不確定度對齊的數字“4”稱為可疑數字。又例如在直接測量中，如圖2-7-1所示，用最小刻度為1mm的米尺去測量一塊鋁板的厚度，其值為26.3mm。這三位

32、數字中，前兩位“26”是準確讀出來的，是“可靠數字”，最后一位“3”是估讀出來的，換一個人也可能估讀為“2”或“4”，這類估讀出來的數字就稱為“可疑數字”。通常規定數值中的可靠數字與所保留的一位可疑數字，統稱為有效數字。上述的第一個例子中，測量值為四位有效數字，第二個例子為三位有效數字。如果用游標尺（游標精度值為0.02mm）去測量上述鋁板的寬度，得到的測量值為26.30mm。從數學的觀點看，26.30和26.3是相等的數值，似乎前者小數點最后的“0”沒有保留的必要。然而從測量誤差的觀點看，它表示測量可以進行到×10-2mm級，只不過它的讀數剛好是零而已。同樣一個測量對象，用米尺測量

33、其寬度為26.3mm，為三位有效數字；而用游標尺測量，其寬度為26.30mm，為四位有效數字。所以，決不能把測量值26.30mm和26.3mm等同，前者比后者準確。由此可見，在直接測量中，測量儀器的最小刻度（或儀器精度）與測量值的有效數字位數有著密切的關系。對同一測量對象而言，儀器精度越高，測量值的有效數字越多。切記，在記錄實驗數據的時候，小數點后面的零是有效數字，不能任意刪除或添加。必需注意，十進制單位變換只涉及小數點位置改變，而不允許改變有效數字的位數。例如，1.3m為兩位有效數字，在換算成km或mm時，應采用科學計數法（用10的不同次冪表示）寫成為1.3m=1.3×10-3km

34、=1.3×103mm如把1.3m寫成0.0013km，它仍然是兩位有效數字，所以，表示小數點位置的“0”不是有效數字。但是，1.3m決不能寫成1300mm，因為后者是四位有效數字。由于不確定度是根據概率理論估算得到的，它只是在數量級上對實驗結果恰當的評價。因此，把它們的結果計算得十分精確是沒有意義的。基于這一點，我們規定不確定度和誤差只用一位（最多兩位）數字表示。當不確定度算出來以后，根據測量值的最后一位（或兩位）數字應與不確定度對齊的原則，決定測量值的有效數字，寫出測量結果。示例見上節。28 簡算方法和數字取舍規則1、簡算方法在數據運算中，首先應保證結果的準確程度，在此前提下，盡可

35、能節省運算時間，免得浪費精力。運算時應使結果具有足夠的有效數字，不要少算，也不要多算。少算會帶來附加誤差，降低結果的準確程度；多算是沒有必要的，算得位數很多，但決不可能減少誤差。有效數字運算取舍的原則是，運算結果保留一位（最多兩位）可疑數字。（1）加減運算 幾個數相加減時，最后結果的可疑數字與各數值中最先出現的可疑數字對齊。下面示例中數字下加下劃線的是可疑數字。例1、 已知Y=A+BC，式中A=（103.3±0.5）cm，B=（13.561±0.012）cm，C=（1.652±0.005）cm。 試問計算結果Y值應保留幾位有效數字？解： 先觀察具體的運算過程。 1

36、03.3 103.3 + 13.561 可簡化為 + 13.561 116.861 116.9可見各數相加，和的有效數字與最先出現的可疑數字0.3對齊 116.9 116.9 1.652 可簡化為 1.652 115.248 115.2可見，一個數字與一個數字相加減，其結果 必然是可疑數字。本例各數值中最先出現可疑數字的位置在小數點后第一位（即103.3）。按照運算結果只保留一位可疑數字的原則，上例的簡算方法為 Y=103.3+13.61.7=115.2cm結果表示為Y=(115.2±0.5)cm， UY/Y=0.4%(2)乘除運算 幾個數相乘除，計算結果的有效數字位數與各數值中有效

37、數字位數最少的一個相同（或最多再多保留一位）。例2、1.1111×1.11=? 試問計算結果應保留幾位有效數字？解：用計算器計算可得，1.1111×1.11=1.233321。但是此結果究竟應取幾位有效數字才合理。看一下具體運算過程便一目了然。見下式：1.1111× 1.111 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 2 3 3 3 2 1因為一個數字與一個可疑數字相乘，其結果必然是可疑數字。所以，由上面的運算過程可見，小數點后面第二位的“3”及其以后的數字都是可疑數字。按照保留一位有效數字的原則，計算結果應寫成1.23，三位有效數字。這與上述的乘除

38、簡算法則是一致的。即在此例中，五位有效數字與三位有效數字相乘，計算結果為三位有效數字。除法是乘法逆運算，因此不再專門說明。對于一個間接測量量，如果它是由幾個直接測量值相乘除而計算得到的，那么，在進行測量時應考慮各個直接測量值的有效數字位數要基本相仿，或者說它們的相對不確定度要比較接近。如果相差懸殊，那么，精度過高的測量就失去意義。例3、在長度測量中，用米尺、游標卡尺和螺旋測微計分別測量得一個長方體的三個邊長為A =（13.79±0.02）cm，B =（3.635±0.005）cm，C =（0.4915±0.0005）cm。試計算長方體的體積V。解：根據簡算方法，長

39、方體體積為 V=A·B·C=13.79×3.635×0.4915=24.64cm3 由誤差傳遞公式算得相對不確定度為 和 UV=25×0.22%=0.0550.06cm2結果用標準形式表示，長方體積 V=(24.64 ±0.06)cm3 , 從上例可見，用簡算方法與利用不確定度傳遞公式計算得到的測量結果表示是一致的。實驗中測量三個邊長分別采用不同精度的量具，其目的是為了使三個邊長測量值有相同的有效數字位數，相對不確定度很接近。（3）乘方運算乘方運算的有效數字位數與其底數相同。（4）對數、三角函數和n次方運算上面所述的簡算方法已不適用。

40、它們的計算結果必須按照不確定度傳遞公式計算出函數值的不確定度，然后，根據測量結果最后一位有效數字與不確定度對齊的原則來決定有效數字。例4、A=3000±2計算： ，由計算器計算得 按照傳遞公式， Uy=UA/A=2/3000=0.0007結果：=8.0064±0.0007, Uy/y=0.009%計算： ，由計算器得 結果：Z=14.422±0.003 ， UZ/Z=0.021%例5、計算： ，由計算器計算得 按照傳遞公式，結果：x=(0.86603±0.00026) ，Ux/x=0.03%值得指出，上述的簡算方法不是絕對的。一般說來，為了避免在運算過程

41、中數字的取舍而引入計算誤差，在運算過程中應多保留一位為妥，但最后結果仍應刪去，以間接測量值最后一位數字與不確定度對齊的原則為準。2、數字取舍規則數字的取舍采用“四舍六入五湊偶”規則，即：（1）被舍去數字的最高位為“4”或“4”以下的數字，則“舍”；若為“6”或“6”以上的數字，則“入”。（2）欲舍去數字的最高位為“5”時，前一位為奇數，則“入”；為偶數，則“舍”。即通過這種取舍，總是把前一位數湊成偶數。故又稱之為“單進雙不進”規則。這樣可以使“入”和“舍”的機會均等，可避免用“四舍五入”規則處理較多數據時，因入多舍少而引入計算誤差。舉例說明如下，將下列數據取舍到小數后第二位： 5.0661 5

42、.07 5.0645 5.06 5.0650 5.06 5.0554 5.06數據運算是實驗數據處理的一個中間過程。簡算方法和數字取舍規則的采用，目的是保證測量結果的準確度不致因數字取舍不當而受影響。當今人們已普遍使用計算器計算數據，計算結果可以給出8到10位數字，但是，實驗者必須會正確地判別實驗結果是幾位有效數字，怎樣用標準形式來表示實驗結果。29 數據處理方法實驗必然要采集大量數據，實驗者需要對實驗數據進行記錄、整理、計算與分析，從而尋找出測量對象的內在規律，正確地給出實驗結果。所以說，數據處理是實驗工作不可缺少的一部份。下面介紹處理實驗數據常用的四種方法。1、列表法對一個物理量進行多次測

43、量，或者測量幾個量之間的函數關系，往往借助于列表法把實驗數據列成表格。它的好處是，使大量數據表達清晰醒目，條理化，易于檢查數據和發現問題，避免差錯，同時有助于反映出物理量之間的關系。列表格沒有統一的格式，但在設計表格時要求能充分反映上述優點，實驗者要注意以下各點：(1) 表頭必須注明表格名稱和相應物理量的單位。（2）表內各欄目的順序充分注意數據間的聯系和計算順序，力求簡明、齊全、有條理。（3）反映測量值函數關系的數據表格，應按自變量由小到大或由大到小的順序排列。2、圖解法圖線能夠明顯地表示出實驗數據的關系，并且通過它可以找出兩個量之間的數學關系式。所以圖解法是處理實驗數據的重要方法之一，它在科

44、學技術上很有用處。用圖解法處理數據，首先要求畫出合乎規范的圖線。為此要注意下列幾點：1）作圖紙的選擇 作圖紙有直角坐標紙（即毫米方格紙），對數坐標紙，半對數坐標紙和極坐標紙等幾種，根據作圖需要進行選擇。在物理實驗中比較常用的毫米方格紙（每厘米為一大格，其中又分成十小格）。由于圖線中直線最易繪畫，而且直線方程的兩個參數斜率和截距也較易算得。所以，對于兩變量之間的函數關系是非線性的情況，如它們之間的函數關系是已知的或者準備用某種關系式去擬合曲線時，盡可能通過變量變換將非線性的函數曲線轉變線性函數的直線。下面是幾種常見的變換方法。1）PV=C（C為常數），令u=1/V，則 P=Cu。可見P與u為線性

45、關系。2）T=。令y=T2 ,則y=。 y與為線性關系，斜率為。3）y=axb，式中a和b為常數。等式兩邊取對數得，log y=log a+blog x。于是log y與log x為線性關系，b為斜率，log a為截距。（2）坐標比例的選取與標度 作圖時通常以自變量作橫坐標（X軸），以因變量作縱坐標（y軸），并標明坐標軸所標明的物理量（或相應的符號）和單位。坐標比例的選取，原則上要做到數據中的可靠數字在圖上應是可靠的。坐標比例選得不適當時，若過小會損害數據的準確度；若過大會夸大數據的準確度。并且使點子過于分散對確定圖線的位置造成困難。對于直線，其傾斜率最好在40o60o之間，以免圖線偏于一方。

46、坐標比例的選取應以便于讀數為原則，常用比例為1：1，1：2，1：5等系列（包括1：0.1，1：10），切勿采用復雜的比例關系，如1：3，1：7，1：9，1：11，1：13等。這樣不但繪制不便，而且讀數困難和易出差錯。縱橫坐標的比例可以不同，并且標度也不一定從零開始。可以用小于實驗數據最小值的某一數作為坐標軸的起始點，用大于實驗數據最高值的某一數據作為終點，這樣圖紙就能被充分利用。坐標軸上每隔一定間距（如25cm）應均勻地標出分度值，標記所用的有效數字位數應與實驗數據的有效數字位數相同。（3）標出數據點 實驗數據點用“+”符號標出，符號的交點正是數據點的位置。同一張圖上如有幾條實驗曲線，各條實驗

47、曲線的數據點可用不同的符號（如×，8等）標出，以示區別。（4）描繪曲線 由實驗數據點描繪出平滑的實驗曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等連接，要盡可能使所描繪的曲線通過較多的測量點。對于那些嚴重偏離曲線的個別點，應檢查標點是否錯誤。若沒有錯誤，在連線時可舍去不予考慮。其它不在圖線上的點應均勻分布在曲線兩旁。對于儀器儀表的校正曲線和定標曲線，連接時應將相鄰的兩點連成直線，整個曲線呈折線形狀。（5）注解和說明 在圖紙上要寫明圖線的名稱、作圖者姓名、日期以及必要的簡單說明（如實驗條件；溫度、壓力等）。直線圖解法首先是求出斜率和截距，進而得出完整的線性方程。其步驟如下：1）選點。用兩點法

48、，因為直線不一定通過原點，所以不能采用一點法。在直線上取相距較遠的兩點A(x1,y1)和B(x2,y2).此兩點不一定是實驗數據點,并用與實驗數據點不同的記號表示,在記號旁注明其坐標值。如果所選兩點相距過近，計算斜率時會減少有效數字的位數。不能在實驗數據范圍以外選點，因為它已無實驗依據。2）求斜率。 直線方程為 y=+bx，將A和B兩點坐標值代入，便可算出斜率。即 （單位）3）求截距。 若橫坐標起點為零，則可將直線用虛線延長得到與縱坐標軸的交點，便可求出截距， （單位）下面介紹用圖解法求兩物理量線性關系的實例。例題：用惠斯登電橋測定銅絲在不同溫度下的電阻值，數據記錄見表2-9-1。求銅絲的電阻

49、與溫度的關系。表2-9-1 銅絲的電阻與溫度的關系溫度t ( )電阻R（）溫度t ( )電阻R（）15.52.80740.33.05924.02.89745.03.10726.52.91949.73.15531.12.96954.93.20735.03.00360.03.261解 以電阻R為縱坐標，溫度t為橫坐標，縱坐標選取2mm代表0.010,橫坐標2mm代表1.00C，繪制銅絲的電阻與溫度的關系曲線（見圖2-9-1）。由圖中數據點分布可知，銅絲電阻與溫度為線性關系，滿足下面的線性方程，即 R=+t在圖線上取兩代表點（t1,R1）和(t2,R2)代入上式，得 R1 =+ t1 R2=+ t2

50、從而可以計算出線性方程的斜率和截距a，即 =和 =代表點的選取應考慮到它們之間的距離盡可能大些。這樣不致于在兩數相減（R2R1）和（t2t1）時，有效數字減少，而使得結果準確度降低。為此，取t1=20.0，R1=2.853和t2=60.0，R2=3.255代入得 =0.0101/ =2.652所以，銅絲電阻與溫度的關系為R=2.652+0.0101t （）3逐差法在兩個變量間存在多項式函數關系，且自變量為等差級數變化的情況下，用逐差法處理數據，既能充分利用實驗數據，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測量得到的偶數組數據分成前后兩組，將對應項分別相減，然后再求平均值。下面舉例說明。在拉伸法測定鋼

51、絲的楊氏彈性模量實驗中，已知望遠鏡中標尺讀數x和所加砝碼質量m之間滿足線性關系，m=kx，式中k 為比例常數。等差地改變砝碼個數（每個砝碼質量為0.500kg），測得下列一組數據（見表2-9-2），計算k的數值。表2-9-2次數 砝碼質量（）標尺讀數（cm）10×0.50015.9521×0.50016.5532×0.50017.1843×0.50017.8054×0.50018.4065×0.50019.0276×0.50019.6387×0.50020.2298×0.50020.84109×

52、0.50021.47如果逐項相減，然后再計算每增加0.500砝碼標尺讀數變化的平均值，即 于是比例系數這樣，中間測量值共7個數據全部未用上，只用了始末兩個數據，它與一次增加9個砝碼的單次測量等價。實驗的準確度降低了。若改用多項間隔逐差，即將上述數據分成后組（x10,x9,x8,x7,x6）和前組（x5,x4,x3,x2,x1）,然后對應項相減求平均值，即 于是，是每增加5個砝碼，標尺讀數變化的平均值。這樣全部數據都用上，相當于重復測量5 次，應該說，這個計算結果比前面的計算結果要準確些，它保持了多次測量的優點，減少了測量誤差。4最小二乘法（線性回歸）將實驗結果畫成圖線，可以形象地表示出物理規律

53、，但圖線的表示往往不如用函數表示那樣明確和定量化。另外，用圖解法處理數據，由于繪制圖線有一定的主觀隨意性，同一組數據用圖解法可能得出不同的結果。為此，下面介紹一種利用最小二乘法來確定一條最佳直線的方法，從而準確地求得兩個測量值之間的線性函數關系（即經驗方程）。由實驗數據求經驗方程，稱之為方程的回歸。回歸法首先要確定函數的形式。函數形式的確定一般是根據理論的推斷或者從實驗數據的變化趨勢而推測出來。如果推斷物理量x和y之間的線性關系，則可把函數形式寫成 y= A + Bx (2-9-1)自變量只有x一個，故稱為線性回歸。這是方程回歸中最簡單最基本的問題。回歸法可以認為就是用實驗的數據來確定方程中的待定系數。在一元線性回歸中確定