1、基礎物理實驗研究性報告氫原子光譜實驗中里德伯常數計算方法的探討On different methods of estimating the Rydberg constant in the Hydrogen atoms spectrum experiment第一作者：彭志偉學號：10041189所在院系：能源與動力工程學院第二作者：賈林江學號：10041152所在院系：能源與動力工程學院目錄氫原子光譜實驗中里德伯常數計算方法的探討1摘要3關鍵詞3Abstract3Key Words3一、引言1二、氫原子光譜實驗綜述2三、實驗原理23.1 氫原子光譜23.2 光柵及其衍射分光原理3四、里德伯常數數

2、據處理方法34.1 可能的一些數據處理方法34.1.1 算數平均與加權平均34.1.2 一元線性回歸法54.1.3 線性回歸與最小二乘加權平均的比較84.2 結論10五、結語11六、參考文獻12七、附錄原始實驗數據137.1 鈉黃光校準光柵常數137.1.1 級譜線校準光柵常數137.1.2 級譜線計算色分辨率137.2 氫光源測定里德伯常數137.2.1 紅光原始數據137.2.2 藍光原始數據137.2.3 紫光原始數據14摘要本文討論了氫原子光譜實驗中里德伯常數的幾種不同的數據處理方法。理論上定量分析了不同算法的不確定度及置信水平，得出了應用不同波長求出里德伯常數后再采用加權最小二乘平均

3、得到里德伯常數的最小方差無偏估計的算法較為合理的結論，并以原始實驗數據進行了驗證。關鍵詞：里德伯常數；數據處理；最小二乘法；加權平均AbstractThis paper discusses several data processing methods in the Hydrogen atoms spectrum experiment. By applying basic theory of mathematical statistics, the uncertainties and confidence levels of different methods are analyzed and

4、 compared. In conclusion, its better to utilize Weighted Least Squares method (WLS) to get the minimum-variance unbiased estimate of the Rydberg constant after calculating the Rydberg constant of different wavelengths.Key Words: Rydberg constant; data processing; least squares criterion; weighted av

5、erage一、引言里德伯常量，又譯為雷德堡常數，是原子物理學中的基本物理常量之一。根據2002年CODATA的結果，它的值是。1885年，瑞士數學教師約翰·雅各布·巴爾默（J. J. Balmer）在一篇論文中報告了氫原子光譜的一個經驗規律，同時得出里德伯常量的近似數值。1913年，丹麥物理學家尼爾斯·玻爾運用自己創立的原子模型和普朗克的量子學說第一次試圖計算推導出里德伯常量的精確值。1914年，針對誤差，玻爾提出，這是由于假設原子核靜止不動引起的。實際情況是，原子核的質量不是無窮大，它與電子圍繞共同的質心轉動。玻爾對其理論進行了修正，用原子核和電子的折合質量代替

6、了電子質量修正了模型。玻爾把普朗克常數和里德伯常量聯系起來，體現了聯系的普遍性和特殊性，原子結構模型理論與原子光譜的本質聯系為光譜學的發展奠定了基礎 E U Condon, G H Shortley, The Theory of Atomic Spectra., London; Cambridge University Press，1935。實驗方法為由光柵衍射測出波長，進而求得里德伯常數。數據處理依照巴耳末系公式：本實驗中討論時的可見光，在基礎物理實驗教材 李朝榮，徐平，唐芳，王慕冰. 基礎物理實驗(修訂版). 北京：北京航空航天大學出版社，2010中，采用各波長求后再加權平均的方法，在其他

7、教材中也有其他一些不同的算法，如直線擬合的方法。選擇合理的數據處理方法是物理實驗的重要環節，直接關系到結果的符合程度以及不確定度的估計，同時也是科學研究的重要手段。因此有必要對不同數據分析方法進行研究，得出最優或者較優的算法。二、氫原子光譜實驗綜述衍射光柵在現代光譜分析中具有重要應用。光譜分析就是利用物質發射的光譜對其元素組成進行分析和判斷。氫原子光譜是一種典型的現狀光譜，它是量子理論得以建立的最重要的實驗基礎之一。本實驗把作為分光元件的光柵和精密測角儀器的分光儀結合起來進行氫光譜的觀察與測量。三、實驗原理3.1 氫原子光譜原子光譜是線光譜，光譜排列的規律不同，反映出原子結構的不同，研究原子結

8、構的基本方法之一是進行光譜分析。氫原子光譜是最簡單、最典型的原子光譜。瑞士物理學家巴爾末根據實驗結果給出氫原子光譜在可見光區域的經驗公式為：式中為氫原子譜線在真空中的波長，=364.56,。若用波數表示譜線，則對于巴耳末系:式中為里德伯常量。根據玻爾理論，可得出氫和類氫原子的里德伯常數為：其中：為原子核質量，為電子質量，為電子電荷，為光速，為普朗克常數，為真空介電常數，為原子序數。當時，就得到里德伯常量： 里德伯常數是重要的基本物理常數之一，對它的精密測量在科學上有重要意義，它的公認值為：。3.2 光柵及其衍射分光原理通常把由大量等寬等間距的狹縫構成的光學元件叫做衍射光柵。它能使入射光的振幅或

9、位相，或者兩者同時產生周期性空間調制。光柵最重要的應用是用作分光元件，分光原理可以從多縫夫瑯和費衍射圖象中亮線位置的光柵方程: 對應于亮線的衍射角與波長有關，是衍射級次。因此對于給定間距（光柵常數）的光柵，當用多色光照明時，不同波長的同一級亮線，除零級外均不重合，即發生了色散，這就是光柵的分光原理。如果通過透鏡接收，將在其焦平面上形成有序的光譜排列。若已知光柵常數，就可以測出波長。四、里德伯常數數據處理方法4.1 可能的一些數據處理方法4.1.1 算數平均與加權平均普通最小二乘法的離差平方和為：如果測量量的次測量結果為，單次測量結果的不確定度，由(1)式知，可取平均值作為測量結果，作為的不確定

10、度。本實驗中的波長不是等精密度觀測量，算術平均算法得不到的最佳估計。在誤差項等方差不相關的條件下，算術平均估計是回歸參數的最小方差線性無偏估計。 然而在異方差的條件下，平方和中的每一項的地位是不相同的，誤差項的方差大的項，在式（1）平方和中的取值就偏大，在平方和中的作用就大，因而普通最小二乘估計的回歸線就被拉向方差大的項，方差大的項的擬合程度就好，而方差小的項的擬合程度就差。因此由式(1)求出的不再是最小方差線性無偏估計 王黎明，陳穎，楊楠. 應用回歸分析. 上海：復旦大學出版社，2008.06。為了得到最小方差的無偏估計，采用加權最小二乘法。即在平方和中加入一個適當的權數，以調整各項在平方和

11、中的作用，加權最小二乘的離差平方和為：理論上最優的權數為誤差項方差的倒數,即：誤差項方差大的項接收小的權數，以降低其在式（2）平方和中的作用; 誤差項方差小的項接收大的權數，以提高其在平方和中的作用。取權數,由(2)式知，在本實驗中需滿足：取最小值。故最佳觀測值滿足：即：整理之后得因此得到的最小方差無偏估計：的不確定度滿足： 故：4.1.2 一元線性回歸法這里不能用等精密度測量的一元線性回歸算法，但我們可以做如下處理。根據巴耳末系公式：通過測量末態量子數，初態量子數時巴耳末系各譜線的波長，得到波長的倒數(即波數)，再經過線性擬合即可求得里德伯常數。給定樣本，可給出回歸模型：其中，為的數學期望，

12、為方差。若,分別為，的最優線性無偏估計，則回歸方程為：其中，和由最小二乘法給出，稱為回歸常數，稱為回歸系數。下面給出不同的一些線性擬合方法：表格 1 線性回歸算法編號算法估計法1234注： 分別為紅光，藍光，紫光。 估計法指采用還是來求解。如2為斜率估計，3采用截距估計。算法1,2,3均以波數為因變量，回歸系數和回歸常數由最小二乘法給出。這里數據點(即)的標準差并不相同，但由于實驗數據點較少，我們定義的平均標準差為。則可以推出：可以看出，：=。對于算法2和3，得到的里德堡常數標準差之比：結合，。故采用截距估計的算法3優于算法2。對算法1而言，其回歸直線截距為零。標準差為：有。因此在算法1、2、

13、3中，1為最優算法，但是考慮到波數不是等精密度觀測量，一般最小二乘算法的條件不滿足，需對數據點使用加權最小二乘法，這會對里德伯常數不確定度的計算帶來麻煩。算法4中，直接以不同波長為因變量，避免了不等精密度的問題。在權重相等的假設下，求得其回歸系數，則：其標準差。的分布符合自由度為3的分布。此算法較算法1更好，有更小的標準差。下面給出標準差隨實驗數據點的變化趨勢：圖表 1 算法2和算法4標準差隨測量譜線數目的變化從圖中看出采用斜率估計法的算法2標準偏差很大，而且不隨數據點的增多而趨于零，而算法4的標準差逐漸趨于零。特別值得注意的是在本實驗中，僅有三個數據點，因此即使采用最優的算法4進行線性回歸仍

14、然有稍大的標準差。4.1.3 線性回歸與最小二乘加權平均的比較下面給出算法4及加權平均的分布特性：表格 2 不同算法標準差分布特征算法分布下限2.5%上限97.5%算法40.442.9加權平均近似分布1.621.63注：指自由度為3的分布。綜上所述，從理論上證明了加權平均算法為以上所列算法中最優的數據處理方法。經過上面的分析，從理論上可以看出算法4是線性回歸中的最優方案。下面利用實際實驗數據將算法4與加權平均進行比較。這里目的是驗證上述理論結果，因此不再贅述所有的實驗數據處理過程。(原始數據列表見附錄)在鈉光校準光柵常數的實驗中得到：在實驗中采用加權平均方法得出里德伯常數的最佳估計值：下面采用

15、算法4進行數據處理：表格 3 待回歸數據用Matlab做線性回歸，源代碼如下：圖表 2 matlab線性回歸代碼相關性系數。回歸系數的估計值：可見加權平均的百分誤差與不確定度均小于算法4的線性回歸。至此從實驗上證明了上述理論推導。最終可以得出采用加權平均算法獲得里德伯常數的最優無偏估計是上述算法中最為合理的算法。4.2 結論由表格2知，采用算法4和加權平均所得實驗結果在置信概率均為95%時，算法4的置信區間明顯小于加權平均。此外由于數據點很少(只有三個)，采用算法4回歸所得不確定度。綜上所述，在氫原子光譜實驗中里德伯常數的計算應當采用不同波長求得里德伯常數后在利用最小二乘加權平均得到里德伯常數

16、的最小方差無偏估計。即教材上所給的數據處理方法是幾種數據處理方法中最為合理的。五、結語氫原子光譜與里德伯常數實驗的誤差很小，雖然采用不同算法都能得到較好的實驗結果。但有必要去探討何種數據處理方法更為合理，不僅僅是其不確定度小，而且能夠更符合實驗規律。研究性實驗報告的撰寫，是整個物理實驗教學中的創新點和亮點。這讓我們很好的提前領略了一般科研的方式與方法。在這次研究型報告的寫作中，我查閱了大量的數據分析資料以及各個版本的物理實驗教材，在整個撰寫過程中鞏固了舊的知識，同時學到了很多新的知識。不僅是物理實驗的理論知識，也對數理統計，計算機在數據分析中的應用有了新的認識。如今，整整一個學年的基礎物理實驗

17、學習即將畫上句號，而我在其中收獲的不僅僅是知識，更多的是同學間團隊的合作精神還有難題被攻克時的興奮。忘不了查資料到凌晨時勤奮的身影，忘不了集體選課時緊張的神情，忘不了得到優秀成績時喜悅的笑容。實驗課程雖將要過去，但這些都將成為我人生中的一大財富。基礎物理實驗為我們今后的工作科研奠定了堅實的基礎，使我們逐漸學會以一個科學工作者的嚴謹求實的態度去做事。六、參考文獻1 李朝榮，徐平，唐芳，王慕冰.基礎物理實驗(修訂版).北京：北京航空航天大學出版社，20102 趙凱華，鐘錫華.光學.下冊.北京：北京大學出版社，19843 王黎明，陳穎，楊楠.應用回歸分析.上海：復旦大學出版社，2008.64 楊振海

18、，程維虎，張軍艦.擬合優度檢驗.北京：科學出版社，2011.35 E U Condon, G H Shortley. The Theory of Atomic Spectra .London: Cambridge University Press，19356 Frank R. Giordano, William P. Fox , Steven B. Horton. A First Course in Mathematical Modeling (Fourth Edition).Beijing: China Machine Press, 2009.10七、附錄原始實驗數據7.1 鈉黃光校準光柵常數7.1.1 級譜線校準光柵常數表格 4鈉黃光校準光柵常數 讀數次數133726'15727'3176'1376