1、初中二次函數(shù)綜合題解題技巧二次函數(shù)在中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，具有一定的綜合性和較大的難度。學(xué)生往往因缺乏思路,感到無從下手,難以拿到分?jǐn)?shù)。事實(shí)上,只要理清思路,方法得當(dāng),穩(wěn)步推進(jìn),少失分、多得分、是完全可以做到的。第1小題通常是求解析式：這一小題簡(jiǎn)單，直接找出坐標(biāo)或者用線段長(zhǎng)度來確定坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出解析式即可。第23小題通常要結(jié)合三角形、四邊形、圓、對(duì)稱、解方程（組）與不等式（組）等知識(shí)呈現(xiàn)，知識(shí)面廣，難度大；解這類題要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，認(rèn)真分析條件和結(jié)論、圖形的幾何特征與代數(shù)式的數(shù)量結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系，確定解題的思路和方法；同時(shí)需要心態(tài)平和，切記急躁：當(dāng)思維

2、受阻時(shí)，要及時(shí)調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系；既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。大致將二次函數(shù)綜合題歸為以下7個(gè)類型：二次函數(shù)中線段數(shù)量關(guān)系的探究問題；二次函數(shù)中圖形面積數(shù)量關(guān)系及最值的探究問題；二次函數(shù)中旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱的探究問題；二次函數(shù)與特殊三角形的探究問題；二次函數(shù)與特殊四邊形的探究問題；二次函數(shù)與圓的探究問題；二次函數(shù)中動(dòng)態(tài)的探究問題。下面對(duì)每個(gè)類型進(jìn)行逐一說明。類型一 二次函數(shù)中線段數(shù)量關(guān)系的探究問題例1：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸I為x=1（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2

3、）若動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸I上。當(dāng)PANA，且PA=NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（1）二次函數(shù)的解析式為y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）；（2）令y=-x2-2x+3=0，解得x=-3或x=1，點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），作PDx軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P在y=-x2-2x+3上，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2-2x+3）PANA，且PA=NA，PADANQ，AQ=PD，即y=-x2-2x+3=2，解得x=2-1（舍去）或x=-2-1，點(diǎn)P（-2-1，2）；方法提煉：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)：若所求點(diǎn)在x軸上可設(shè)（x,0），在y軸上可設(shè)（0，y）；若所求的點(diǎn)在拋物線上時(shí)，該

4、點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)為（x，ax2+bx+c)；若所求的點(diǎn)在對(duì)稱軸上時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)為（-1，y)；若所求的點(diǎn)在已知直線y=kx+b上時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)為（x，kx+b)，常用所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示出相應(yīng)幾何圖形的邊長(zhǎng).簡(jiǎn)單概括就是規(guī)則與不規(guī)則線段的表示：規(guī)則：橫平豎直。橫平就是右減左，豎直就是上減下，不能確定點(diǎn)的左右上下位置就加絕對(duì)值。不規(guī)則：兩點(diǎn)間距離公式。根據(jù)已知條件列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式，進(jìn)而求出未知數(shù)的值；跟蹤訓(xùn)練1 如圖，拋物線y=-x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A(4，0)，B(-4，-4)，且拋物線與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，BC, AC. (1)求拋物線的解析式；(2)若E是線段AB上的

5、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，過E作y軸的平行線，分別交拋物線及x軸于F、D兩點(diǎn). 請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)E，使DE=2DF？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 類型二 二次函數(shù)中圖形面積數(shù)量關(guān)系及最值的探究問題例2：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸I為x=1（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸I上。當(dāng)PANA，且PA=NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)方法1：當(dāng)P位于第二象限即-3x0時(shí)，SAOC

6、=，SOCP=-x，SOAP=3|yP|=-x2-3x+，SAPC=SOAP+SOCP-SAOC=-x2+x-9=-（x+）2+，當(dāng)x=-時(shí)取得最大值；當(dāng)x=-時(shí)，SAPC最大值，此時(shí)P（-，）S四邊PA= SABC+SAPC，S四邊形PABC最大=方法2：可求直線AC：YAC=x+3，設(shè)PD與AC的交點(diǎn)為E,則點(diǎn)E（x，x+3）PE=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x當(dāng)P位于第二象限即-3x0時(shí)，SAPC=3PE=(-x2-3x) =-（x+）2+，當(dāng)x=-時(shí)取得最大值；當(dāng)x=-時(shí)，SAPC最大值，此時(shí)P（-，）S四邊PA= SABC+SAPC，S四邊形PABC最大=方法提煉：三角形

7、面積最值。分規(guī)則與不規(guī)則。有底或者高落在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行屬于規(guī)則，直接用面積公式求解。沒有底或者高落在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸屬于不規(guī)則，用割補(bǔ)法或S=水平寬鉛垂高。四邊形面積最值。常用到的方法是利用割補(bǔ)法將四邊形分成兩個(gè)三角形（常作平行于坐標(biāo)軸的直線來分割四邊形面積），其求法同三角形。例3：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)。 （1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式； （2）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值。解：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+

8、bx+c中，解得a=，b=1，c=0 所以解析式為y=x2+x。 （2）由y=x2+x，可得 拋物線的對(duì)稱軸為x=1，并且對(duì)稱軸垂直平分線段OB OM=BM OM+AM=BM+AM 連接AB交直線x=1于M點(diǎn)，則此時(shí)OM+AM最小 過點(diǎn)A作ANx軸于點(diǎn)N在RtABN中，由勾股定理得AB=4因此OM+AM最小值為4 方法提煉：已知一條直線上一動(dòng)點(diǎn)M和直線同側(cè)兩個(gè)固定點(diǎn)A、O，求AM+OM最小值的問題，我們只需做出點(diǎn)O關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)B，將點(diǎn)A與B連接起來交直線與點(diǎn)M，那么AB就是AM+OM的最小值。同理，我們也可

9、以做出點(diǎn)A關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)A，將點(diǎn)O與A連接起來交直線與點(diǎn)M，那么OA就是AM+OM的最小值。應(yīng)用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。  初中階段學(xué)過的有關(guān)線段最值的有：兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短；及三角形三邊之間的關(guān)系，“兩邊之和大于第三邊”求第三邊的最小值；“兩邊之差小于第三邊”，求第三邊的最大值；還有稍微難一點(diǎn)的就是利用二次函數(shù)及其自變量取值范圍來求最大值。跟蹤訓(xùn)練2如圖，拋物線y=x2-bx+c交x軸于點(diǎn)A（1，0），交y軸于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是x=2 （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使PAB的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

10、若不存在，請(qǐng)說明理由跟蹤訓(xùn)練3拋物線yax 2 bxc交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y于點(diǎn)C，已知拋物線的對(duì)稱軸為x1，B(3，0)，C(0，3). (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.跟蹤訓(xùn)練4（2016煙臺(tái)）如圖1，已知平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6），點(diǎn)B在y軸上，且ADBCx軸，過B，C，D三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)F（m，6）是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，直線OF交BC于點(diǎn)E（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)四邊形ABEF的面積為S，請(qǐng)求出S與m的函

11、數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）如圖2，過點(diǎn)F作FMx軸，垂足為M，交直線AC于P，過點(diǎn)P作PNy軸，垂足為N，連接MN，直線AC分別交x軸，y軸于點(diǎn)H，G，試求線段MN的最小值，并直接寫出此時(shí)m的值類型三 二次函數(shù)中旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱的探究問題例4在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示放置，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m0），將此矩形繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OABC。（1）寫出點(diǎn)A、A、C的坐標(biāo)；  （2）設(shè)過點(diǎn)A、A、C的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示） （3）試探究：當(dāng)m的值改變時(shí)

12、，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)D是否可能落在（2）中的拋物線上？若能，求出此時(shí)m的值。解：（1）四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m0）， A（m，0），C（0，1），  矩形OABC由矩形OABC旋轉(zhuǎn)而成， A（0，m），C（-1，0）；   （2）設(shè)過點(diǎn)A、A、C的拋物線解析式為y=ax2+bx+c， A（m，0），A（0，m），C（-1，0），  此拋物線的解析式為：y=-x2+（m-1）x+m；    （3）存在。  點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B（ m ， 1） ，   點(diǎn)D的坐標(biāo)為：

13、 （-m，-1），  拋物線的解析式為：y=-x2+（m-1）x+m； 假設(shè)點(diǎn)D（-m，-1）在（2）中的拋物線上，  則y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0， =22-4×（-2）×1=120， 此點(diǎn)在拋物線上，解得m= 1+32或m= 132（舍去）.方法提煉：（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）；關(guān)于直線x=m的對(duì)稱點(diǎn)為（2ma，b）；關(guān)于直線y=n的對(duì)稱點(diǎn)為（a，2nb）；關(guān)于點(diǎn)（m，n）的

14、對(duì)稱點(diǎn)為（2ma，2nb）；繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的坐標(biāo)為（b，a）；繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的坐標(biāo)為（b，a）；任意兩點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2 ）的中點(diǎn)為（x1+x22，y1+y22）。跟蹤訓(xùn)練5（2014煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，ACB=90°，OA=3，拋物線y=ax2axa經(jīng)過點(diǎn)B（2，33），與y軸交于點(diǎn)D （1）求拋物線的表達(dá)式； （2）點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是否在拋物線上？請(qǐng)說明理由； （3）延長(zhǎng)BA交拋物線于點(diǎn)E，連接ED，試說明EDAC的理由跟蹤訓(xùn)練6若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同,則稱它們?yōu)椤坝押脪?/p>

15、物線”.拋物線C1(如圖1): y1=ax2-2x+c與C2: y2=-x2+2x-5為“友好拋物線”.圖1圖2(1)求拋物線C1的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是拋物線C1上在第四象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEx軸，E為垂足，求PE+OE的最大值；(3) 如圖2，設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1, 4)，連接BC.在C1的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使線段MB繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得到線段MB，且點(diǎn)B恰好落在拋物線C1上?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.類型四 二次函數(shù)與特殊三角形的探究問題（1）與直角三角形的探究問題例5如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對(duì)稱軸為直線x=-1,

16、且經(jīng)過A(1，0)，C(0,3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求拋物線和直線BC的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).解：（1）拋物線y=ax2+bx+c（a0）的對(duì)稱軸為直線x=-1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B，B的坐標(biāo)為：（-3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x+3）， 把C（0，3）代入，-3a=3， 解得：a=-1，拋物線的解析式為：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得： m=1，n=3直線y

17、=mx+n的解析式為：y=x+3；（1）設(shè)P（-1，t），又B（-3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2=PC2，即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2；若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2=PB2，即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4，若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2-6t+10=18，解之得：t1= 3+172 ， t2=3-172綜上所述P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，3+172）

18、0;或（-1，3-172）方法提煉(1)：利用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式,得到所求三角形三邊平方的代數(shù)式；確定三角形中的直角頂點(diǎn)，若無法確定則分情況討論；根據(jù)勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此點(diǎn)存在；否則不存在；方法提煉(2)：利用兩直線垂直，K值互為負(fù)倒數(shù)（K1K2=-1），先確定點(diǎn)所在的直線表達(dá)式將直線與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立方程組，若求出交點(diǎn)坐標(biāo)，此點(diǎn)存在；否則不存在；方法提煉(3)：利用特殊角45°構(gòu)造直角三角形，易求點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）與等腰三角形的探究問題例6如圖，直線y3x3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C(3，0)。(1)求拋物線的解析式；

19、(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：(1)拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3 (2)該拋物線的對(duì)稱軸為x= 1。設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1，m)當(dāng)AB=AQ時(shí) Q點(diǎn)坐標(biāo)(1， 6)，或(1，- 6)； 當(dāng)BA= BQ時(shí) 解得：m=0，m =6, Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(1，6) 此點(diǎn)在直線AB上，不符合題意應(yīng)舍去; 當(dāng)QA=QB時(shí) 解得：m=1， Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1) 拋物線的對(duì)稱軸上是存在著點(diǎn)Q(1, 6)、(1,- 6)、(1，0)、(1，1)方法提煉：設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng).

20、；（類型一方法提煉）當(dāng)所給定長(zhǎng)未說明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分三種情況討論，如：本題中當(dāng)AB=AQ時(shí)；當(dāng)BA= BQ時(shí)；當(dāng)QA=QB時(shí)；具體方法如下:當(dāng)定長(zhǎng)為腰，找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫弧，若所畫弧與已知直線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫弧與已知直線無交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與已知直線有交點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與已知直線無交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)不存在用以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)。（3）與相似三角形的探究問題例7如圖，

21、直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點(diǎn)。 （1）求拋物線的解析式; （2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點(diǎn)P,使ABO與ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；解：（1）拋物線的解析式為y=x2-4x+3（2）由題意可得：ABO為等腰三角形，     若ABOAP1D ，則=       DP1=AD=4  , P1(1,4)若ABOADP2 ，過點(diǎn)P2作P2 Mx軸于M，AD=4,  ABO為等

22、腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M， 即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合   ，P2（1，2）方法提煉：求一點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個(gè)三角形相似的邊長(zhǎng)相似比來求點(diǎn)的坐標(biāo)。跟蹤訓(xùn)練7：（2010煙臺(tái)）如圖，已知拋物線y=x2+bx-3a過點(diǎn)A（1，0），B（0，-3），與x軸交于另一點(diǎn)C （1）求拋物線的解析式； （2）若在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)P，使PBC為以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，在拋物線上

23、是否存在一點(diǎn)Q，使以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由跟蹤訓(xùn)練8：以菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸，已知A（-4，0），B（0，-2），M（0，4），P為折線BCD上一動(dòng)點(diǎn)，作PEy軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a （1）求BC邊所在直線的解析式； （2）當(dāng)OPM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練9：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，B C （1）求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀； （2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)

24、單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PA=QA？ （3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由跟蹤訓(xùn)練10：如圖，拋物線y=1 3x2+bx+c經(jīng)過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（-9，10），ACx軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn). （1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式. （2）過點(diǎn)P且與y軸平行的直線L與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)

25、，求點(diǎn)P的坐標(biāo). （3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.類型五 二次函數(shù)與特殊四邊形的探究問題例8如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 解：(1)令y=0可得 A(-1，0)，B(3，0)， 將C點(diǎn)的

26、橫坐標(biāo)x=2代入y=x2-2x-3，解得y=-3， C(2，-3)， 直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1； (2)存在這樣的點(diǎn)F如圖，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CGx軸，此時(shí)AF=CG=2， 因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3，0)； 如圖，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，0)，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)； 此時(shí)C，G兩點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為(1±7，3) 當(dāng)G點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1+ 7，3)直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+7 直線GF與x軸的交點(diǎn)

27、F的坐標(biāo)為(4+ 7，0)    當(dāng)G 點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1- 7，3)，如圖：同上可求出F的坐標(biāo)為 (4-7，0) 綜上：共存在4個(gè)點(diǎn)F：F1(1，0)，F(xiàn)2(-3，0)，F(xiàn)3(4+7，0)，F(xiàn)4(4-7，0)方法提煉：特殊四邊形的探究問題解題方法步驟如下:（1）先假設(shè)結(jié)論成立；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng).（類型一方法指導(dǎo)）；（3）建立關(guān)系式，并計(jì)算。若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置已確定，則直接利用四邊形邊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討。 探究平行四邊形：以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行

28、四邊形的對(duì)邊相等進(jìn)行計(jì)算；以已知邊為平行四邊形的對(duì)角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若平行四邊形的各頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論。探究菱形:已知三個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)；已知兩個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo).一般會(huì)用到菱形的對(duì)角線互相垂直平分、四邊相等等性質(zhì)列關(guān)系式。探究正方形:利用正方形對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算， 一般是分別計(jì)算出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，令其相等，得到方程再求解。探究矩形:利用矩形對(duì)邊相等、對(duì)角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解。跟蹤訓(xùn)練11（2008煙臺(tái)）如圖，拋物線

29、L1：y=-x2-2x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)拋物線L1向右平移2個(gè)單位得到拋物線L2，L2交x軸于C，D兩點(diǎn).（1）求拋物線L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線L1或L2在x軸上方的部分是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)P是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)A，B重合），那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q是否在拋物線L2上，請(qǐng)說明理由. 圖1圖2跟蹤訓(xùn)練12（2017煙臺(tái)）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AB=4矩形OBDC的邊CD=1延長(zhǎng)DC交拋物線于點(diǎn)E（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖

30、2，點(diǎn)P是直線EO上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線EO于點(diǎn)G，作PHEO，垂足為H設(shè)PH的長(zhǎng)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出m的取值范圍），并求出的最大值；（3）如果點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得以M，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由跟蹤訓(xùn)練13（2012煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)C動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)

31、D運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒過點(diǎn)P作PEAB交AC于點(diǎn)E （1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式； （2）過點(diǎn)E作EFAD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，ACG的面積最大？最大值為多少？ （3）在動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值跟蹤訓(xùn)練14如圖，對(duì)稱軸為直線x=7 2的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4） （1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求平行四邊形OEA

32、F的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？ 是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由跟蹤訓(xùn)練15如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=- 12x-6交y軸于點(diǎn)C點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFx軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G （1）求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式； （2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置

33、時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)； 在的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為E上一動(dòng)點(diǎn)，求 12AM+CM它的最小值類型六 二次函數(shù)與圓的探究問題例9已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)M在直線y=-4x上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）。  （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；    （2）設(shè)此二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，求經(jīng)過M、 B、C三點(diǎn)的O的直徑長(zhǎng)；   （3）設(shè)O與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N，經(jīng)過P（-2，0）、N兩點(diǎn)的直線為L(zhǎng)，則圓心O是否在直線L上，請(qǐng)說明理由。解：（1

34、）由公式法可表示出二次函數(shù)的頂點(diǎn)M坐標(biāo)代入y=-4x，得到關(guān)于b，c的關(guān)系式，再把A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式又可得到b，c的關(guān)系式，聯(lián)立以上兩個(gè)關(guān)系式解方程組求出b和c的值即可求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3； （2）分別求出B（3，0），C（0，-3），和M（1，-4）的坐標(biāo)，過M作MEOE，過B作BFEM交EM于F， OC=3，OB=3，CE=OE-OC=1，MF=2，BF=4，EM=1 在RtBOC，RtCEM，RtBFM中，利用勾股定理得：BC=3 2 ，MC= 2 ，BM=2 5 ， BC2+MC2=20，BM2=（2 5） 2BC2+MC2=BM2 MBC為直角三角形，且B

35、CM=90°， O的直徑長(zhǎng)為BM=2 5 ； （3）圓心O在直線上，過O作x軸的垂線，交x軸于R，過O作y軸的垂線，交y軸于T，交MQ于S，設(shè)O與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，連接MQ，由BM是O的直徑，知BQM=90°Q（1，0）， BQ=2，OROB， QR=1， OR=2， 在RtORB中，由勾股定理得OR= =2， O的坐標(biāo)為（2，-2）， OT=2， OC=3， TC=1， NC=1， ON=1， N的坐標(biāo)為（0，-1）設(shè)過PN的直線解析式為y=kx+b，把N的坐標(biāo)為（0，-1）和P（-2，0）分別代入求得k=- 12 ，b=-1， 過PN的直線解析式為y=- 12x-1

36、， O的坐標(biāo)為（2，-2）， -2=- 12 ×2-1=-2， 圓心O是在直線上。 方法提煉：運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想。轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的核心思想，由于函數(shù)與幾何結(jié)合的問題都具有較強(qiáng)的綜合性，因此在解決這類問題時(shí)，要善于把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”化為“已知”，把“抽象”的問題轉(zhuǎn)化為“具體”的問題，把“復(fù)雜”的問題轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”的問題。綜合使用分析法和綜合法。就是從條件與結(jié)論出就是從條件與結(jié)論出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過對(duì)問題的“兩邊夾擊”，使它們?cè)谥虚g的某個(gè)環(huán)節(jié)上產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問題得以解決。跟蹤訓(xùn)練16（2009煙臺(tái)）如圖，拋物線y=

37、ax2+bx-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（2，-3a），對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)是M （1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； （2）經(jīng)過C，M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （3）設(shè)直線y=-x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段BD上任取一點(diǎn)E（不與B，D重合），經(jīng)過A，B，E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F，試判斷AEF的形狀，并說明理由； （4）當(dāng)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時(shí)，（3）中的結(jié)論是否成立（請(qǐng)直接寫出結(jié)論）跟蹤訓(xùn)練17（2013煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)

38、系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，與x軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-23，0），以O(shè)C為直徑作半圓，圓心為D （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）求證：直線BE是D的切線； （3）若直線BE與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)為P，M是線段CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B，C不重合），過點(diǎn)M作MNBE交x軸與點(diǎn)N，連結(jié)PM，PN，設(shè)CM的長(zhǎng)為t，PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由跟蹤訓(xùn)練18（2015煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與M相交

39、于A，B，C，D四點(diǎn)，其中A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)升別為(1，0)，(0，2)，點(diǎn)D在.x軸上且AD為M的直徑，點(diǎn)E是M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)，過劣弧上的點(diǎn)F作FHAD于點(diǎn)H，且FH=1.5.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.類型七 二次函數(shù)中動(dòng)態(tài)的探究問題例10（2011煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點(diǎn)D在y軸上.直線CB的表達(dá)式為y= 43x +163 ，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（4

40、，0），（0，4）.動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在AB上勻速運(yùn)行.動(dòng)點(diǎn)Q自點(diǎn)B出發(fā)，在折線BCD上勻速運(yùn)行，速度均為每秒1 個(gè)單位.當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（秒）時(shí)，OPQ的面積為s（不能構(gòu)成OPQ的動(dòng)點(diǎn)除外）.  （1）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)； （2）求s隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；  （3）當(dāng)t為何值時(shí)s有最大值？并求出最大值.解（1）把y4代入y 43x 163，得x1.         C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）.    

41、60;      當(dāng)y0 時(shí)，43x 1630， x4.點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）.  (2)作CMAB于M，則CM4，BM3. 由勾股定理得BC5. sinABC CMBC45.0t4時(shí)，作QNOB于N， 則QNBQ·sinABC 45t. S 12OP·QN 12（4t ）×45t  25t2 85t（0t 4）. 當(dāng)4t5時(shí)，（如備用圖1）， 連接QO，QP ，作QNOB于N. 同理可得QN 45t. S 12OP·QN 12×（t4 ）×45t 25t2 85t（4t5）. 當(dāng)5t6時(shí)，（如備用圖2）， 連接QO，QP. S 12×OP×OD 12（t4）×42t8（5t6）. （3）在0t4時(shí)，  當(dāng)t2時(shí)，  S最大 85. 在4t5時(shí)，對(duì)于拋物線S 25t2 85t的頂點(diǎn)為（2 ，85）