1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實(shí)變函數(shù)論實(shí)變函數(shù)論（real function theory）19世紀(jì)末20世紀(jì)初形成的數(shù)學(xué)分支。起源于古典分析，主要研究對(duì)象是自變量（包括多變量）取實(shí)數(shù)值的函數(shù)，研究的問(wèn)題包括函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性、收斂性等方面的基本理論，是微積分的深入和發(fā)展。因?yàn)樗粌H研究微積分中的函數(shù)，而且還研究更為一般的函數(shù)，并且得到了較微積分中相應(yīng)理論更為深刻、更為一般從而應(yīng)用更為廣泛的結(jié)論，所以實(shí)變函數(shù)論是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)各個(gè)分支的基礎(chǔ)。19世紀(jì)末20世紀(jì)初形成的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的最基本內(nèi)容已成為分析數(shù)學(xué)各分支的普遍基礎(chǔ)。實(shí)變函數(shù)主要指自變量（也包括多變量）取實(shí)數(shù)值的函數(shù)，而實(shí)變函數(shù)

2、論就是研究一般實(shí)變函數(shù)的。在微積分學(xué)中，主要是從連續(xù)性、可微性、黎曼可積性三個(gè)方面來(lái)討論函數(shù)（包括函數(shù)序列的極限函數(shù)）。如果說(shuō)微積分學(xué)所討論的函數(shù)都是性質(zhì)“良好”的函數(shù)（例如往往假設(shè)函數(shù)連續(xù)或只有有限個(gè)間斷點(diǎn)），那么，實(shí)變函數(shù)論是從連續(xù)性、可微性、可積性三個(gè)方面討論最一般的函數(shù)，包括從來(lái)看性質(zhì)“不好”的函數(shù)。它所得到的有關(guān)的結(jié)論自然也適用于性質(zhì)“良好”的函數(shù)。實(shí)變函數(shù)論是微積分學(xué)的發(fā)展和深入。函數(shù)可積性的討論是實(shí)變函數(shù)論中最主要的內(nèi)容。它包括H.L.勒貝格的測(cè)度、可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)和積分以及少許更一般的勒貝格斯蒂爾杰斯測(cè)度和積分的理論（見(jiàn)勒貝格積分）。這種積分比黎曼積分是更為普遍適用和更為有效的

3、工具，例如微積分基本定理以及積分與極限變換次序。精美的調(diào)和分析理論(見(jiàn)傅里葉分析)就是建立在勒貝格積分的基礎(chǔ)上的。此外，還適應(yīng)特殊的需要而討論一些特殊的積分。例如為討論牛頓萊布尼茨公式而有佩隆積分。由于有了具有可列可加性的測(cè)度和建立在這種測(cè)度基礎(chǔ)上的積分，導(dǎo)致了與微積分中函數(shù)序列的點(diǎn)點(diǎn)收斂和一致收斂不同的一些新的重要收斂概念的產(chǎn)生，它們是幾乎處處收斂、度量收斂（亦稱依測(cè)度收斂）、積分平均收斂等。度量收斂在概率論中就是依概率收斂，且具有特別重要的。積分平均收斂在一般分析學(xué)科中也是常用的重要收斂。傅里葉級(jí)數(shù)理論以及一般的正交級(jí)數(shù)理論就是以的平方平均收斂為基本的收斂概念。一般正交級(jí)數(shù)的無(wú)條件收斂問(wèn)題

4、在實(shí)變函數(shù)論中也有所討論。 在函數(shù)連續(xù)性方面，實(shí)變函數(shù)論了例如定義在直線的子集（不必是區(qū)間）上的函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)的特征：第一類不連續(xù)點(diǎn)最多只有可列個(gè)，第二類不連續(xù)點(diǎn)必是可列個(gè)（相對(duì)于的）閉集的并集（也稱和集）的結(jié)論；還討論怎樣的函數(shù)可以表示成連續(xù)函數(shù)序列處處收斂的極限，引入半連續(xù)函數(shù)，更一般地是引入貝爾函數(shù)，并討論它們的結(jié)構(gòu)。 在實(shí)變函數(shù)論中還考慮可導(dǎo)點(diǎn)集的，多元函數(shù)的微分問(wèn)題以及其他的一些導(dǎo)數(shù)概念和不同導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。實(shí)變函數(shù)論不僅應(yīng)用廣泛，是某些數(shù)學(xué)分支的基本工具，而且它的和以及它在各個(gè)分支的應(yīng)用，對(duì)形成近代數(shù)學(xué)的一般拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析兩個(gè)重要分支有著極為重要的。 微積分產(chǎn)生于十七世紀(jì)，到了十

5、八世紀(jì)末十九世紀(jì)初，微積分學(xué)已經(jīng)基本上成熟了。數(shù)學(xué)家廣泛地研究并建立起它的許多分支，是它很快就形成了數(shù)學(xué)中的一大部門，也就是數(shù)學(xué)分析。 也正是在那個(gè)時(shí)候，逐漸發(fā)現(xiàn)分析基礎(chǔ)本身還存在著很多問(wèn)題。比如，什么是函數(shù)這個(gè)看上去簡(jiǎn)單而且十分重要的問(wèn)題，數(shù)學(xué)界并沒(méi)有形成一致的見(jiàn)解。以至長(zhǎng)期爭(zhēng)論者問(wèn)題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數(shù)學(xué)結(jié)果，弄不清究竟誰(shuí)是正確的。又如，對(duì)于什么是連續(xù)性和的是什么，數(shù)學(xué)界也沒(méi)有足夠清晰的理解。 十九世紀(jì)初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個(gè)別點(diǎn)外總是可微的。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯提出了一個(gè)由級(jí)數(shù)定義的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，但是維爾斯特拉斯證明了這個(gè)函數(shù)在任何點(diǎn)上都沒(méi)有

6、導(dǎo)數(shù)。這個(gè)證明使許多數(shù)學(xué)家大為吃驚。 由于發(fā)現(xiàn)了某些函數(shù)的奇特性質(zhì)，數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)的研究更加深入了。人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了有些函數(shù)是連續(xù)的但處處不可微，有的函數(shù)的有限導(dǎo)數(shù)并不黎曼可積；還發(fā)現(xiàn)了連續(xù)但是不分段單調(diào)的函數(shù)等等。這些都促使數(shù)學(xué)家考慮，人們要處理的函數(shù)，僅僅依靠直觀觀察和猜測(cè)是不行的，必須深入研究各種函數(shù)的性質(zhì)。比如，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是具有什么性質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？如果改變積分的，可積分條件又是什么樣的？連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，那么可導(dǎo)的充分必要條件由是什么樣的？ 上面這些函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的研究，逐漸產(chǎn)生了新的理論，并形成了一門新的學(xué)科，這就是實(shí)變函數(shù)。 以實(shí)數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實(shí)變函數(shù)，以

7、實(shí)變函數(shù)作為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分支就叫做實(shí)變函數(shù)論。它是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎(chǔ)是點(diǎn)集論。什么是點(diǎn)集論呢？點(diǎn)集論是專門研究點(diǎn)所 成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說(shuō)實(shí)變函數(shù)論是在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。比如，點(diǎn)集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實(shí)變函數(shù)論還要研究實(shí)變函數(shù)的分類問(wèn)題、結(jié)構(gòu)問(wèn)題。 實(shí)變函數(shù)論的內(nèi)容包括實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、積分理論和等。這里我們只對(duì)它的一些重要的基本概念作簡(jiǎn)要的介紹。 實(shí)變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運(yùn)算規(guī)則。由于積分歸根到底是數(shù)的運(yùn)算，所以在進(jìn)行積分的時(shí)候，必須給各種點(diǎn)集以一個(gè)數(shù)量的概念，這個(gè)概念叫做

8、測(cè)度。 什么是測(cè)度呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，一條線段的長(zhǎng)度就是它的測(cè)度。測(cè)度的概念對(duì)于實(shí)變函數(shù)論十分重要。集合的測(cè)度這個(gè)概念實(shí)由法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格提出來(lái)的。 為了推廣積分概念，1893年，約當(dāng)在他所寫的分析教程中，提出了“約當(dāng)容度”的概念并用來(lái)討論積分。1898年，法國(guó)數(shù)學(xué)家波萊爾把容度的概念作了改進(jìn)，并把它叫做測(cè)度。波萊爾的學(xué)生勒貝格后來(lái)發(fā)表積分、長(zhǎng)度、面積的論文，提出了“勒貝格測(cè)度”、“勒貝格積分”的概念。勒貝格還在他的論文積分和圓函數(shù)的研究中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測(cè)度集，這就完全解決了黎曼可積性的問(wèn)題。 勒貝格積分可以推廣到無(wú)界函數(shù)的情形，這個(gè)時(shí)候所得積分是絕對(duì)收斂

9、的，后來(lái)由推廣到積分可以不是絕對(duì)收斂的。從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來(lái)又由黎曼發(fā)揚(yáng)的老積分定義廣大多了。也可以看出，實(shí)變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。 自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，人們就認(rèn)清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達(dá)出來(lái)，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項(xiàng)式來(lái)逼近。這樣，在實(shí)變函數(shù)論的領(lǐng)域里又出現(xiàn)了逼近論的理論。 什么是逼近理論呢？舉例來(lái)說(shuō)，如果能把 A類函數(shù)表示成 B類函數(shù)的極限，就說(shuō) A類函數(shù)能以 B類函數(shù)來(lái)逼近。如果已經(jīng)掌握了 B類函數(shù)的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出 A類函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)。逼近論就是研究那一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來(lái)逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。 和逼近理論密切相關(guān)的有理論，三角級(jí)數(shù)就是一種正交級(jí)數(shù)。和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類已知函數(shù)出發(fā)構(gòu)造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構(gòu)造論。 總之，實(shí)變函數(shù)論和古