1、第十四講第十四講經典曲線經典曲線檔案館檔案館河北理工大學輕工學院河北理工大學輕工學院 -基礎教學部基礎教學部tar3sin 分形曲線分形曲線Koch雪花雪花 擺線擺線 螺線螺線 曲曲線線檔檔案案館館星形線星形線 心形線心形線玫瑰線玫瑰線 葉形線葉形線tar3sin 前 言 曲線是美的，而美的東兩，又往往由曲線構成。曲線是美的，而美的東兩，又往往由曲線構成。 曲線無處不在，比直線更富于魅力。瞧它：有彎曲、曲線無處不在，比直線更富于魅力。瞧它：有彎曲、有轉折、有流動的韻味，能引導眼睛作變化無窮的追逐，有轉折、有流動的韻味，能引導眼睛作變化無窮的追逐，能引起人們多元的思索能引起人們多元的思索 tar

2、3sin 圓與橢圓圓與橢圓xt=xt_:=Costyt=yt_:=SintParametricPlot xt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-Automatic經典曲線1圓2 r 面積:ab 周長:tar3sin xt=xt_:=a*Costyt=yt_:=b*SintParametricPlot xt,yt,t,0,2Pi, AspectRatio-Automatic經典曲線2橢圓2r 面積:x 周長: ？tar3sin 經典曲線3擺線擺線擺線 擺線擺線(cycloid)是數學中眾多的迷人曲線之一它是這樣是數學中眾多的迷人曲線之一它是這樣定義的：一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上

3、一固定點所經定義的：一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線過的軌跡稱為擺線 擺線有一個重要性質，即當一物體僅憑重力從擺線有一個重要性質，即當一物體僅憑重力從A點滑落到點滑落到不在它正下方的不在它正下方的B點時，若沿著點時，若沿著A，B間的擺線，滑落所需時間的擺線，滑落所需時間最短，因此擺線又稱最速降曲線。間最短，因此擺線又稱最速降曲線。 tar3sin xt=xt_:=a*(t-Sint);yt=yt_:=a*(1-Cost);ParametricPlot xt,yt,t,0,2Pi, AspectRatio-Automatic 一拱面積: 一拱長度: yoa223 a動

4、圓周長tar3sin 星形線星形線經典曲線4星形線星形線是內擺線的一種.(當小圓在圓內沿圓周滾動時, 小圓上的定點的軌跡為是內擺線)點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑at4artar3sin xt=xt_:（Cost3;yt=yt_:=(Sint)3;ParametricPlot xt,yt,t,0,2Pi經典曲線4星形線 周長:238a 面積:332105a 旋轉體積:) 0( aartar3sin 外擺線的一種外擺線的一種-心形線心形線經典曲線5心形線oxya2222y x a x ay x)cos1 ( ar即) 0 , 0 ( 尖點:223a

5、 面積:a8 弧長:tar3sin 經典曲線5心形線rt_:=1+Costxt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi,AspectRatio-Automatri,PlotStyle-RGBColor1,0,0tar3sin rt_:=2(1-Cost)xt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor0,0,1) cos1 ( tar (0)aa經典曲線5心形線tar3sin rt_:=2(1+Sint)xt_:=

6、rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor0.8,0,0.2) sin1 ( tar 經典曲線5心形線tar3sin rt_:=2(1-Sint)xt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi,AspectRatio-Automatri,PlotStyle-RGBColor0.8,0,0.2) sin1 ( tar 經典曲線5心形線tar3sin 阿基米德螺線阿基米德螺線經典曲線6阿基米德螺線3243a 亦稱“等速螺線”

7、。當一點P沿動射線OP以等速率運動的同時，該射線又以等角速度繞點O旋轉，點P的軌跡稱為“阿基米德螺線”。其首次由阿基米德在著作論螺線中給出了定義. 221 4l n ( 21 4)2aa tar3sin 2a點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停tar3cos 3243a 所圍圖形面積:)cos1(tar 周長:tar3sin rt_:=2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,3Pi經典曲線6阿基米德螺線tar3sin 伯努利雙紐線伯努利雙紐線 設定線段AB長度為2a,動點M滿足 MAMB=a2 M的軌跡稱為伯努利雙

8、紐線（Lemniscate of Bernoulli） (x + y) = 2a(x y) 經典曲線7伯努利雙紐線 所圍圖形面積: 周長:tar3sin rt_:=SqrtSin2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,y經典曲線7伯努利雙紐線 tar3sin )()(222222yxayx rt_:=SqrtCos2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,As

9、pectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,ytr2cos 經典曲線7伯努利雙紐線 tar3sin 三葉玫瑰線三葉玫瑰線 經典曲線8三葉玫瑰線 tar3sin rt_:=SqrtCos2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,y經典曲線8三葉玫瑰線 tar3sin rt_:=SqrtSin3txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt

10、,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,ytar2sin 經典曲線8三葉玫瑰線 tar3sin 四葉玫瑰線四葉玫瑰線 經典曲線9四葉玫瑰線 tar3sin tar 2cos rt_:=Sin2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintParametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,y經典曲線9四葉玫瑰線 tar3sin rt_:=Sin2txt_:=rt*Costyt_:=rt*SintP

11、arametricPlotxt,yt,t,0,2Pi,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,AxesLabel-x,y0333 axyyx經典曲線9四葉玫瑰線 tar3sin 笛卡爾葉形線笛卡爾葉形線 經典曲線10笛卡爾葉形線 年輕時的勒奈笛卡兒 笛卡兒葉形線笛卡兒葉形線是一個代數曲線，首先由笛卡兒在 1638年提出。笛卡兒葉形線的隱式方程為 極坐標中方程分別為 r()=3asincos/(sin)3+cos tar3sin 軼事:蜘蛛織網和平面直角坐標系的創立 據說有一天，笛卡爾病重臥床，盡管如此他還反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比

12、較抽象的，能不能把幾何圖形和代數方程結合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來。一會功夫，蜘蛛又順這絲爬上去，在上邊左右拉絲。 蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看作一個點。他在屋子里可以上，下，左，右運動，能不能把蜘蛛的每一個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三跳線，如果把地面上的墻角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那么空間中任意一點的位置就可以在這三根數軸上找到有順序的三個數。反過來，任意給一組三個有順序的數

13、也可以在空間中找到一點P與之對應，同樣道理，用一組數（X，Y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組兩個有順序的數來表示，這就是坐標系的雛形。 tar3sin xt_:=3t/(1+t3)yt_:=3t2/(1+t3)ParametricPlotxt,yt,t,-9,12,AspectRatio-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,1,AxesLabel-x,y經典曲線10笛卡爾葉形線 tar3sin 美麗的美麗的Koch雪花雪花-從極限到分形幾何學從極限到分形幾何學 1904年瑞典科學家科克（Koch）描述了這樣一段奇特而又有趣的事件：一條邊長為a的正三角形，將每

14、邊三等分，以中間三分之一為一段向外再做正三角形，小三角形在三條邊的出現使得原三角形變成了一個六角形，六角形共有12條邊，再在這12條邊上用與上述相同的;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為方法，即可構造出一個新的48邊形，如此做下去，其邊緣越來越精細，看上去就像美麗的雪花，稱為Koch雪花。tar3sin 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;43,311 AP面面積積為為周周長長為為設設三三角角形形依次類推依次類推播幻燈片播幻燈片 31放放tar3sin 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;43,311 AP面面積積為為周周長長

15、為為設設三三角角形形依次類推依次類推tar3sin 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;43,311 AP面面積積為為周周長長為為設設三三角角形形依次類推依次類推tar3sin 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;43,311 AP面面積積為為周周長長為為設設三三角角形形依次類推依次類推tar3sin 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;43,311 AP面面積積為為周周長長為為設設三三角角形形依次類推依次類推tar3sin , 2 , 1)34(11 nPPnn觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;43,3

16、11 AP面面積積為為周周長長為為設設三三角角形形依次類推依次類推NoImagetar3sin )91(4 31121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn ,3,2 n)94(311)94(31)94(31)94(31311201221 nkknAA周長為周長為面積為面積為n第第 次分叉：次分叉： nnPlimtar3sin 于是有于是有)941311(lim1 AAnn.532)531 (1 A雪花的周長是無界的，而面積有界雪花的周長是無界的，而面積有界雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂）結論結論tar3sin 分析結果：分析結果：Koch

17、雪花的面積大小依賴于最初的正三角形邊長，而Koch曲線的周長卻是無限增大的，這結果簡直不可思議，有限的區域生成無限的長度，是一種反常現象，促進了人們對這一問題的思考。分形幾何學分形幾何學即誕生在多種概念和方法相互沖擊和融合的年代。不僅在自然學科與社會學科中產生了極大的影響，而且在音樂、美術間也產生了一定的影響，并使人們覺悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美上的統一，使枯燥的數學不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受，分形搭起了科學與藝術的橋梁。 tar3sin 謝 謝！tar3sin 極坐標方程表示的曲線的繪制極坐標方程表示的曲線的繪制已知曲線方程：已知曲線方程：繪圖基本語句：繪圖基本語句：rt

18、=rt_:=ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,a,b（觀察常用函數的圖形）（觀察常用函數的圖形）tar3sin ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,0,3rt=rt_:=t2極坐標表示的曲線極坐標表示的曲線-1 -1 tar3sin ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,0,2Pi, AspectRatio-Automaticrt=rt_:=Cos2t極坐標表示的曲線極坐標表示的曲線-2-2 (玫瑰線)tar3sin ParametricPlot rt*Cost,rt*Sint,t,0,2Pi, AspectRatio-A