1、旋轉相似變換及其本質特征江蘇省泰州市朱莊中學 曹開清 225300一、旋轉相似變換的概念2007年江蘇省南京市中考試卷的第27題給出了一個新概念旋轉相似變換：在平面內，首先將一個多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為；接著將所得多邊形以點為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度，這種經過縮放和旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，記為，其中點叫做旋轉相似中心，叫做相似比，叫做旋轉角（1）填空：如圖1，將以點為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉，得到，這個旋轉相似變換記為(，)；如圖2，是邊長為的等邊三角形，將它作旋轉相似變換，得到，則線段的長為；（2）如圖3，分別以銳角

2、三角形的三邊、為邊向外作正方形、，點、分別是這三個正方形的中心，試分別利用與，與之間的關系，運用旋轉相似變換的知識說明線段與之間的關系解析：（1），60°；（2）經過旋轉相似變換，得到，此時，線段變換為線段；經過旋轉相似變換，得到，此時，線段變換為線段因為，45°45°90°，所以，實際上，這種旋轉相似變換是位似變換和旋轉變換的“復合變換”為了便于說明，本文中旋轉相似變換的研究對象僅限于三角形，旋轉相似中心為三角形的一個頂點，旋轉角滿足0°<<180°二、任意三角形旋轉相似變換的規律圖4圖8是將任意ABC以頂點A為旋轉相似

3、中心作旋轉相似變換到ADE得到的一組圖形，其中旋轉角分別滿足：0°<<BAC；BAC；BAC <<180°BAC；180°BAC；180°BAC<<180°圖4 圖5 圖6圖7 圖8連接BD、CE，設BD或其延長線交CE于點F由ABCADE，易得，BADCAE，所以ABDACE其相似比，ABDACE，于是BFCBAC因此，在這組圖形中，ABD和ACE的旋轉相似變換關系是其本質特征三、幾個特殊三角形旋轉相似變換的規律1等邊三角形圖913，是將等邊ABC以頂點A為旋轉相似中心作旋轉相似變換到ADE得到的一組圖形，

4、其中旋轉角分別滿足：0°<<60°；60°；60°<<120°；120°；120°<<180°，圖9 圖10 圖11 圖12 圖13連接BD、CE，設BD或其延長線交CE于點F，易得ABDACE，BFCBAC60°因此，在這組圖形中，將ABD繞頂點A逆時針旋轉60°后變換到ACE是其本質特征此外，如圖14，當變換到點B、D、E在同一直線上時，則有CEAEBE如圖15，當變換到DCBC時，則有CA2CD2CE2如圖16，當變換到點C、D、E在同一直線上時，則有A

5、DCDBD等等圖14圖15 圖162等腰直角三角形圖1719，是將等腰直角ABC（頂角為A）以頂點A為旋轉相似中心作旋轉相似變換到ADE得到的一組圖形圖17 圖18 圖19連接BD、CE，設BD或其延長線交CE于點F易得ABDACE，BFCBAC90°，即BDCE因此，在這組圖形中，將ABD繞頂點A逆時針旋轉90°后變換到ACE是其本質特征3等腰三角形圖2022，是將等腰ABC（頂角A為）以頂點A為旋轉相似中心作旋轉相似變換到ADE得到的一組圖形圖20 圖21 圖22連接BD、CE，設BD或其延長線交CE于點F，則有ABDACE，所以ABDACE，于是BFCBAC因此，在這

6、組圖形中，將ABD繞頂點A逆時針旋轉角后變換到ACE是其本質特征此外，如圖22，當變換到BD平分ABC時，設BD與AC交于點G，則有線段FC是線段FG和FB的比例中項上述幾個規律可以幫助我們判斷在一個圖形中是否存在三角形旋轉，從而利用旋轉知識解決問題，下面舉例說明：例1 如圖23，ABC中，AB3，AC4，BC5，ABD、ACE、BCF都是等邊三角形，求四邊形AEFD的面積圖23解析：根據已知條件，BDF可以看成是ABC繞點B逆時針旋轉60°后形成的，于是BDFBAC同理可證CEFCAB由此可得四邊形AEFD是平行四邊形，而DAE150°，所以四邊形AEFD的面積為6例2

7、如圖24，在梯形ABCD中，AB/CD，BCD90°，且DC2AB，tanADC2(l)求證：DCBC；(2)若E是梯形內一點，且EB2，EC4，BEC135°，求ED的長圖24解析：(l)過點A作AHDC，垂足為H因為DC2AB，所以DHAB因為tanADC2，所以AH2DH，所以BC2AB所以DCBC (2)以CE為一條直角邊、C為直角頂點作等腰直角CEF，則EF4，連接BF易證CDECBF，所以EDFB在BEF中，因為BEF135°45°90°，所以FB6，即ED6例3 如圖25，五邊形ABCDE中，ABAE，BCDECD，ABCAED180°，連接DA求證：DA平分CDE圖25解析：連接AC，延長DE到F，使EFBC，連接AF因為ABCAED180°，AEFAED180°，所以ABCAEF又ABAE，所以ABCAEF所以ACAF因為BCDECD，EFBC，所以CDFD又ADAD，所以ACDAFD于是DA平分CDE例4 如圖26，在四邊形ABCD中DAB30°，DCB60°，CDCB，求證：AB2AD2AC2圖26解析：以CA為邊作等邊CAE，連接ED根據已知條件，易證CDECBA，所以EDAB，EDC