1、絕密啟用前2017年普通高等學校招生全國統一考試（全國卷2）理科數學注意事項：1 .答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在 條形碼區域內。2 .選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用毫米黑色字跡的簽字筆 書寫，字體工整，筆跡清楚3 .請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效4 .作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、 刮紙刀一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項 中，只有一項是符合題目

2、要求的。1 .打（）1 iA. 1 2i B . 1 2i C . 2 i D . 2 i2 .設集合 A 1,2,4 , B xx2 4x m 0 .若 AI B 1,則 B （）A. 1, 3 B . 1,0C . 1,3 D . 1,53 .我國古代數學名著算法統宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7層塔共掛 了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的 2倍，則塔的頂層 共有燈（）A. 1 盞 B .3盞 C .5盞D .9盞4 .如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖， 該幾何體由一平面

3、將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A.90B . 63C .42D. 362x 3y 3 05 .設x , y滿足約束條件2x 3y 3 0,則z 2x y的最小值是（）y 3 0A. 15 B .9C.1D.96 .安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A.12 種 B .18 種C .24 種 D .36種7 .甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看內的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據以上 信息，則（）A.

4、乙可以知道四人的成績績C.乙、丁可以知道對方的成績的成績8.執行右面的程序框圖，如果輸入的aB.丁可以知道四人的成D.乙、丁可以知道自己1 ,則輸出的S （）A. 2B. 3C. 4D. 522y2 4所9.若雙曲線C：1 4 1 （a 0, b 0）的一條漸近線被圓 a b截得的弓玄長為2,則C的離心率為（）A. 2B,顯2.32, C CCi 1,則異10.已知直三棱柱 ABC ABCi中， C 120°,面直線 i與Ci所成角的余弦值為()A. -IB.至C.包D:J255311.若 x2是函數f (x)(x2 ax 1)ex . oAB BC AD, BAD ABC 90 ,

5、 E是 PD 的中點.的極值點，則f (x)的極小值為()A. 1B.2e 3C.5e 312 .已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則uur uuu uuirPA (PB PC)的最小值是()A. 2B.3C.2D. 1、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13 . 一批產品的二等品率為0.02,從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取 100次，表示抽到的二等品件數，則 D .14 .函數 f x sin2 x .3cosx ( x 0,)的最大值是42n 115 .等差數列an的刖項和為Sn , a3 3, S4 10 ,則 一.k1Sk16 .已知F是拋物線C

6、: y2 8x的焦點，是C上一點，F的延長線交y軸于點 .若為F的中點，則FN .三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第 1721 題為必做題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據要求 作答。(一)必考題：共60分。17 . (12 分)ABC的內角A B、C所對的邊分別為a,b,c,已知sin(A C) 8sin2B, (1)求 cos B ;(2)若a c 6,ABC的面積為2,求b.18 . (12 分)海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機 抽取了 100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)某頻率分布直方

7、圖如 下：(1) 設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg,新養殖法的箱產量不低于 50kg”，估方t A的概率；(2 )填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有 99%勺把握認為箱產量與養殖方法有關：箱產量v 50kg箱產量 50kg舊養殖法新養殖法(3 )根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值(精確到)19. (12P (| 分)21. (12 分)已知函數 f x ax a b 2. ax xln x,且 f x 0。(1)求a ;(2)證明：f x存在唯一的極大值點 孔，且e2 f %2 2.(二)選考題：共10分。請考生在第22、

8、23題中任選一題作答。如果多做，按 所做的第一題計分。22 .選彳4-4:坐標系與參數方程(10分)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為 cos 4 .(1) M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM | |OP| 16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為(2,),點B在曲線C2上，求 OAB面積的最大值.323 .選彳4-5 :不等式選講(10分)已知 a 0,b 0,a3 b3 2,證明：55(1) (a b)(a b ) 4;2017年普通高等學校招生全國統一考試全國卷理科數學參考答案、選擇題:1.

9、 D2. C3. B7. D8. B9. A二、填空題：13. 14. 1三、解答題：17. (12 分)解：(1)由題設及ABC4. B 5. A 6. D10. C 11. A12. B15. -2n16. 6n 1得 sin B 8sin2 B 故 2上式兩邊平方，整理得17cos2 B 32cosB 15 0解得 cosB=1 (舍去),cosB=一1715 18(2)由 cosB二一得 sinB ,故 S ABC1717一一.17又 S abc =2，則 ac 2由余弦定理及a c 6得一 acsin B 24一 ac1718. (12 分)解：(1)記B表示事件“舊養殖法的箱產量低

10、于50kg ”， C表示事件“新養殖法的箱產量不低于50 kg由題意知 P(A) P(BC) P(B)P(C)舊養殖法的箱產量低于 50 kg的頻率為(0.012 0.014 0.024 0.034 0.040) 5 0.62 ,故P(B)的估計值為新養殖法的箱產量不低于50 kg的頻率為(0.068 0.046 0.010 0.008) 5 0.66 ,故P(C)的估計值為因此，事件 A的概率估計值為0.62 0.66 0.4092(2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表箱產量 50kg箱產量 50kg舊養殖法新養殖法由于15.705 6.635,故有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關。(

11、3)因為新養殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于50kg的直方圖面積為(0.004 0.020 0.044) 5 0.34 0.5 ,箱產量低于55kg的直方圖面積為(0.004 0.020 0.044 0.068) 5 0.68 0.5 ,故新養殖法箱產量的中位數的估計值為19. (12 分)解：(1)取PA的中點F ,連接EF,BF , 因為E是PD的中點， 1 所以 EF/AD, EF - AD 2 由 BAD ABC 90o 得 BC/AD ,1 1又 BC AD , 2所以 EF/BC ,四邊形BCEF是平行四邊形，CE/BF ,又BF 平面PAB , CE 平面PAB ,故CE

12、/平面PABuuuuuu(2)由已知得BA AD,以A為坐標原點，AB的方向為x軸正方向，|AB|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系A xyz,則A(0,0,0), B(1,0,0), C(110),P(0,1，T3),設 M (x,y,z)(0 x 1),則因為BM與底面ABCD所成的角為45°,而n（0,0,1）是底面ABCD的法向里，所以| cosuuuuBM ,nsin 45°,|z|(x 1)2,22，即(x 1)2uuuu又M在棱PC上，設PMuurPC ,則x ,y 1,z.3,3由，解得y1a21,、62（舍去）1,、.62uuuui),從而AM (1設

13、m （x。, y0,z。）是平面ABM的法向量，則uuuumgAM 0,日口 uuu 即mgAB 0,(2 '2)x0 2 y0x00,6zo) 0,所以可取m（0,76,2),于是cos m,nmgi.10|m|n|520.因此二面角M AB D的余弦值為(12 分)105解:(D 設 P(x, y), M(x0,y0),uur則 N(Xo,0), NP (xuuurX0,y),NM(0,%)uur_uuuir由 NP .2NM 得Xo x,yO22因為M(X0,y°)在C上，所以土 y- 122因此點P的軌跡方程為x2 y2 2(2)由題意知F( 1,0)設、(3,t),

14、 P(m,n),則uuruuuOQ ( 3,t), PFuuur uur(1 m, n),OQgPF 3 3m tn ,uuur uuir 由 OQ gPQ1 得 3m m2,2tn n又由(1)知m2 n2 2 ,故uur uuruuur uur所以 OQgPF 0,即 OQ PF .又過點P存在唯一直線垂直于OQ ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F .21. (12 分)解：(1) f(x)的定義域為(0,)設 g(x) ax a lnx,則 f(x) xg(x), f(x) 0 等價于 g(x) 0因為 g(1) 0,g(x) 0,故 g(1) 0, 一 1.而 g(x) a

15、 -, g (1) a 1,x得a 11右 a 1 ,則 g (x) 1 一 x當0 x 1時，g (x) 0,g(x)單調遞減;當x 1時，g (x) 0, g(x)單調遞增所以x 1是g(x)的極小值點，故g(x) g(1) 0綜上，a 1(2)由(1)知 f (x) x2 x x In x, f (x) 2x 2 In x1設 h(x) 2x 2 In x,則 h(x) 2 1x-11-當 x (0,2)時，h (x) 0;當 x (2,)時，h (x) 0.1 1所以h(x)在(0,1)單調遞減，在(1,)單調遞增.一。 111又 h(e ) 0,h(-) 0,h(1) 0,所以 h(

16、x)在(0,萬)有唯一零點 x0,在-,)有唯一零點 1,且當 x (0, xO)時，h(x) 0;當 x (x0,1)時，h(x) 0;當x (1,)時，h(x) 0.因為f (x) h(x),所以x x0是f (x)的唯一極大值點.由 f (x0) 0 得 lnx0 2(x0 1),故 f(%) x0(1 x0).r一 _1由 x0 (0,1)得 f(x0)-.4因為x x0是f(x)在(0,1)的最大值點，由e 1 (0,1), f (e 1) 0得f(x0) f (e 1) e 2.所以 e2f(x°) 22(二)選考題：22.解：(1)設P的極坐標為(，)(0), M的極坐標為(1, )( 1 0).由題設知|OP| ,|OM| 1 一Lcos由|OM|g|OP| 16得C2的極坐標方程4cos (0)因此C2的直角坐標方程為(x 2)2 y2 4(x 0)(2)設點B的極坐標為(B, )( B0).由題設知|OA| 2,4cosa于是OAB面積2 3.當a 一時，S取得最大值2眄12所以OAB面積的最大值為2串23.解：(1) (a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6(2)因為(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3所以(