1、.導(dǎo)數(shù)的涵義及其應(yīng)用的幾點(diǎn)說明導(dǎo)數(shù)，既能深刻地表示函數(shù)變化的規(guī)律自然就成為研究函數(shù)的重要工具。下面就導(dǎo)數(shù)的概念及其在解題中的應(yīng)用做一下詳細(xì)的闡述，其中重點(diǎn)探討一下函數(shù)的單調(diào)性、極值、凸凹性以它們的應(yīng)用。一、 數(shù)的引入 導(dǎo)數(shù)是由速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學(xué)概念。又稱變化率。如一輛汽車在10小時(shí)內(nèi)走了 600千米，它的平均速度是60千米小時(shí)，但在實(shí)際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米小時(shí)。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時(shí)間間隔，設(shè)汽車所在位置x與時(shí)間t的關(guān)系為f（xt），那么汽車在由時(shí)刻很接近時(shí)，汽車行駛的快慢變化就不會(huì)很大，平均速度就能較好地反映汽車

2、在t0 到 t1這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化情況 ，自然就把極限變到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是，當(dāng)與很接近時(shí)，汽車行駛的快慢變化就不會(huì)很大，平均速度就能較好地反映汽車在 到這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化情況 ，自然就把極限  作為汽車在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設(shè)一元函數(shù) 在 點(diǎn)的附近內(nèi)有定義，當(dāng)自變量的增量時(shí)函數(shù)增量 與自變量增量之比的極限 存在且有限，就說函數(shù)f在點(diǎn)可導(dǎo)，記作，稱之為f在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（或變化率）。若函數(shù)f在區(qū)間I 的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，便得到一個(gè)以I為定義域的新函數(shù)，記作，稱

3、之為f的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述。函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：，表示曲線l 在 點(diǎn)的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的符號有，等，通常用得較多的是和。二、下面舉幾個(gè)求求導(dǎo)數(shù)的例子求導(dǎo)數(shù)的幾種方法：1. 用定義：2. 有理運(yùn)算： （）3. 反函數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且，又在點(diǎn)附近嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且4. 隱函數(shù)：5. 參數(shù)方程6. 對數(shù)方法： 7. 高階導(dǎo)數(shù)：8. 不可導(dǎo)性               f(x)在x

4、=x0處不連續(xù) 在x0處左右導(dǎo)數(shù)至少有一個(gè)不存在 左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等9. 可導(dǎo)必可微 求導(dǎo)例解： 例一設(shè)求解：令令例二.設(shè)解：易求出用歸納法可證明：三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 函數(shù)的單調(diào)性我們可以用初等代數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，但是，由于方法的限制，這些討論既不全面又不深入，并且計(jì)算煩瑣不易掌握規(guī)律。這里導(dǎo)數(shù)為我們更廣泛更深入地研究函數(shù)的單調(diào)性提供了有利的工具。單調(diào)性的充要條件：定理1：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的充要條件是：在內(nèi)，（或）。定理2：（嚴(yán)格單調(diào)的充分條件）若在區(qū)間內(nèi)（或），則函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加（嚴(yán)格單調(diào)減少）。定理3：設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加（或

5、嚴(yán)格單調(diào)減少）的充要條件是：若（非退化）區(qū)間則至少有一點(diǎn)，使。單調(diào)性判定定理的應(yīng)用與單調(diào)區(qū)間的求法：前三個(gè)定理用導(dǎo)數(shù)刻畫了函數(shù)的單調(diào)性要討論函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性，只需要求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定它的函數(shù)取正的區(qū)間和負(fù)的區(qū)間。實(shí)際上，只要求出這些函數(shù)的分界點(diǎn)。對于可導(dǎo)函數(shù)有定理：定理4：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，為內(nèi)的一點(diǎn)，在的符號與在內(nèi)的相反，則推論：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)在內(nèi)恒不為零，則在內(nèi)保持相同的符號。可導(dǎo)函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)應(yīng)是方程的根，對于一般的函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，不是方程的根，就是導(dǎo)函數(shù)的根。根據(jù)以上定理可得，討論函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性的步驟是：（1） 確定函數(shù)的定義域；（2） 求導(dǎo)數(shù)，并求出

6、的根及的根，并按從小到大的順序排列.作為分界點(diǎn)；（3） 用分界點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并確定在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號；（4） 若在某區(qū)間內(nèi)，那么在此區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格增加，否則嚴(yán)格減少。例1. 討論函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢Υ撕瘮?shù)求導(dǎo)，得：令，得。因?yàn)樵趦?nèi)，故函數(shù)在是單調(diào)減少的。又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的。例2. 討論函數(shù)的單調(diào)性。解：該函數(shù)的定義是的實(shí)數(shù)， 令得，它們將定義域分成四個(gè)開區(qū)間 ， 因?yàn)椋谑?由定理2知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)嚴(yán)格增加；在區(qū)間與內(nèi)嚴(yán)格減小。作表如下：+-+2. 函數(shù)的極值及判別法函數(shù)的極大與極小：一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果在以前是增大的，而以后是減

7、小的，則在這一點(diǎn)有一個(gè)極大值；反之一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果在以前是減小的，而以后是增大的，則在這一點(diǎn)有一個(gè)極小值。函數(shù)的這種極大極小值，不論對研究函數(shù)的性質(zhì)，還是解決某些實(shí)際問題，都是很有價(jià)值的。下面我們就來具體研究一下函數(shù)的極值問題。定理1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在取得極值的必要條件是。定理2：（第一判別法）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則如果在時(shí)，而在時(shí)，那么在點(diǎn)取得極大值；如果在時(shí)，而在時(shí)，那么在點(diǎn)取得極小值；如果在與時(shí)，有相同的符號，那么在點(diǎn)沒有極值；定理3：（第二判別法）設(shè)為的穩(wěn)定點(diǎn)且存在且不等于零，則如果，那么在點(diǎn)取得極大值；如果，那么在點(diǎn)取得極小值。定理4：（第三判別法）如果在點(diǎn)的一階，二階，直到階的導(dǎo)數(shù)都等于零，但，則 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，在點(diǎn)沒有極值； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若 ，則在點(diǎn)取得極小值；而當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得極大值。我們可以把求一個(gè)函數(shù)極值的方法歸結(jié)為： 確定函數(shù)的定義域，求其導(dǎo)數(shù)； 令，求出函數(shù)的所有穩(wěn)定點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存