1、會計學1ch復合函數的求導法則及應用復合函數的求導法則及應用定理定理( (鏈式法則鏈式法則) )()(000 xufdxdyxx ,)()()2000可導可導對應的點對應的點在與在與xuxufy 即即 因變量對自變量求導，等于因變量對中間變量因變量對自變量求導，等于因變量對中間變量求導，乘以中間變量對自變量求導求導，乘以中間變量對自變量求導. .,)()10可導可導在點在點函數函數若：若：xxu 且其導數為且其導數為可導可導在點在點則復合函數則復合函數,)(0 xxfy 1. 復合函數求導的鏈式法則復合函數求導的鏈式法則2第1頁/共37頁證證,)(0可導可導在點在點由由uufy )(lim00

2、ufuyu )0lim()(00 uufuy其中其中故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( ).()(00 xuf *xuxuufxux 0000limlimlim)( 處可導處可導在在0)(xxu 處連續處連續在在0)(xxu 0,0 ux時時3第2頁/共37頁注注 2) 多層復合的情形多層復合的情形 .)()()(1記記號號的的差差異異與與xfxf 即即先先復復合合再再求求導導；求求導導再再對對代代入入前前者者表表示示先先將將,)(xxu .,)(,即即先先求求導導再再復復合合代代入入再再將將求求導導后后

3、者者表表示示先先對對xuu ),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導導數數為為則則復復合合函函數數 4第3頁/共37頁例例1 求下列函數的導數求下列函數的導數212sin)1xxy )(lntan)22xy 復合而成復合而成函數可視為由函數可視為由212,sin)1xxuuy 解解dxdududydxdy 故故ucos 222)1(22)1(2xxxx 222212cos)1()1(2xxxx 5第4頁/共37頁)(lntan)22xy 復合而成復合而成函數可視為由函數可視為由xvvuuyln,tan,2 dxdvdvdududydxdy 故故

4、u2 v2sec x1 )tan(ln2x )(lnsec2x x1 1.在求復合函數導數時關鍵是搞清復合結在求復合函數導數時關鍵是搞清復合結構構,然后然后如同鎖鏈一樣如同鎖鏈一樣,需由表及里一層一需由表及里一層一層地求導層地求導,一直求到最里面一直求到最里面,不能漏掉任何不能漏掉任何一層一層,否則導致錯誤否則導致錯誤.注注2.熟練掌握后應省去中間變量而直接寫出熟練掌握后應省去中間變量而直接寫出求導結果求導結果.6第5頁/共37頁例例2 計算導數計算導數xxyxxy 11arctan) 2()1ln() 1 (2解解) 1(11) 1 (22 xxxxy)1221 (1122 xxxx112

5、x)11(1111) 2( xxxxy)11(112121 xxxxx2)1 (2112121xxxx 2121x )11(11222 xxxxx7第6頁/共37頁例例3 .)(1arctan)(ln,)(的導數的導數求求可導可導設設xfxfyxf )(1)(arctan(ln)(1arctan) )(ln( xfxfxfxfy解解)(ln)(ln xxf)(ln)(1arctanxfxf )(1()(1(112 xfxf)(1arctan1)(lnxfxxf )()(1()(1(1)(ln22xfxfxfxf )(1arctan1)(lnxfxxf )(1)()(ln2xfxfxf 8第7頁

6、/共37頁(1)(1)導數運算的基本法則導數運算的基本法則)()()()(6(1)(1 )()5()()()()()()()()4()()()()( )()()3()()( )()()2()( )()1(12xxfxfdydxdxdyxfxfxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuCxCu 或或2. 初等函數的求導問題初等函數的求導問題9第8頁/共37頁xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 (2) 基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21

7、 xxxxeeaaa )(ln)(xxaxxa1)(lnln1)(log 222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx 至此至此, 初等函數的求導問題均可以解決初等函數的求導問題均可以解決.10第9頁/共37頁例例4chx 224)()ln(1)5)()ln(1)116)()ln21arshxxarchxxxarthxx 1)()()22)()()23)()()xxxxxxxxeeshxeechxeethxee shx xch21 )1 , 1(112 xx), 1(112 xx112 x11第10頁/共37頁chxshx )(shx

8、chx )(chxshxthx xchxshxchthx222)( 即即xchthx21)( 解解)11 (1122xxxx 211x )1ln(2xxarshx )( arshx221)1(xxxx 12第11頁/共37頁例例5xx1)(ln 證證明明：解解xxxx1)(ln)(ln,0 時時 )ln()(ln,0 xxx時時)(1 xxx1 xx1)(ln 綜綜上上，()(ln() )()fxfxfx 一一 般般 地地 ，13第12頁/共37頁 )(ln)(ln)(xuxveyxxv)(ln)(xuxvey 作作變變形形：.)0)()()(yxuxuyxv 的的導導數數求求冪冪指指函函數數

9、解解)()()()()(ln)(1)()(xuxvxuxvxuxuxvxv )()(1)()(ln)(ln)(xuxuxvxuxvexxv例例6注注 后面還可用隱函數求導法來計算后面還可用隱函數求導法來計算.14第13頁/共37頁)cos)(sincos(sincossin222244xxxxxxy 例例7 求求下下列列函函數數的的導導數數234411)2(cossin)1(xxxyxxy 解解)(sinsin4)1(3 xxy)(coscos43 xxxxcossin43 xxsincos43 )cos(sincossin422xxxx x2sin2 另另解解：x2cos xxxy2sin2

10、2)2sin()2cos( 15第14頁/共37頁2311)2(xxxy 2211)1(xxxy 211xx )1()1(11222 xxy22)1(21xx 222323)1()1)(1()1() 1(xxxxxxxy 22322)1() 1(2)1)(13(xxxxxx 2224)1(122xxxx 22)1(21xx 解解另另解解：16第15頁/共37頁注注1.從本例可見雖然求導可以有很多種方法，從本例可見雖然求導可以有很多種方法，但顯然把但顯然把 f(x) 先予以恒等變換成簡單函數先予以恒等變換成簡單函數后后再求導能簡捷得多再求導能簡捷得多.2.在求導問題中常用的恒等變形，在求導問題中

11、常用的恒等變形，所以在所以在具體做題時，一定要先把求導的函數審視具體做題時，一定要先把求導的函數審視一遍一遍予以簡化予以簡化，這比盲目代公式做題要方，這比盲目代公式做題要方便便.3.在很多問題中恒等變形是有益的，應對在很多問題中恒等變形是有益的，應對其有足夠的重視其有足夠的重視.17第16頁/共37頁然然后后再再求求導導。化化成成顯顯函函數數先先將將),( )(0),(1xfyyxF 顯化顯化1. 顯函數和隱函數顯函數和隱函數2. 隱函數求導的方法隱函數求導的方法代代入入原原方方程程應應有有恒恒等等式式把把)(xyy ，所所確確定定的的隱隱函函數數由由方方程程)(0),(2xyyyxF 0)(

12、,( xyxF求求導導，該該等等式式兩兩邊邊對對x，再再從從中中解解出出 y x法法。此此方方法法即即為為隱隱函函數數求求導導（利用復合函數的求導法則）（利用復合函數的求導法則）18第17頁/共37頁例例8 利用隱函數求導法，求下列函數的導利用隱函數求導法，求下列函數的導數數。y x)cos()1yxy 解解)(cos()(yxy xx求求導導，有有的的函函數數，兩兩邊邊對對看看作作把把xxy y)sin(yx )( yx)1(y 解解得得： y)sin(yx )sin(1yx 19第18頁/共37頁0)2 xyeexy解解0)()( yxeexyxx求求導導，有有的的函函數數，兩兩邊邊對對看

13、看作作把把xxyyey )1( xexe yxy 0 解解得得： yyex yex ，故故，從從原原方方程程知知，此此時時001 yey處處的的值值，在在若若要要求求0 xyx 00 xyy110)01( 20第19頁/共37頁注注的的顯顯式式。表表示示為為也也沒沒有有必必要要把把的的顯顯式式，我我們們一一般般也也不不能能表表示示成成導導數數故故其其的的顯顯式式，不不能能表表示示成成一一般般隱隱函函數數xyxyxyxx )1時時的的值值時時，通通常常應應由由當當若若要要計計算算0)2xxyx ，可可能能是是多多值值的的原原方方程程解解出出相相應應的的)(0yy的的表表示示式式中中，一一起起代代

14、入入然然后后把把xyyx ),(00。即即可可求求出出00 xxyyy 21第20頁/共37頁yyxxeyey cos例例9 點點處處的的切切線線的的斜斜率率。，以以及及在在試試求求所所確確定定的的隱隱函函數數，是是由由方方程程已已知知)0 , 0(0sinxyyxeyy 解解0sin yxeyyy )(cosye 0 yxeeyy 00yxyk1 所所求求切切線線為為：xyiexy .)0(10即即 22第21頁/共37頁例例9 點點處處的的切切線線的的斜斜率率。，以以及及在在試試求求所所確確定定的的隱隱函函數數，是是由由方方程程已已知知)0 , 0(0sinxyyxeyy yxxy 1：根

15、根據據反反函函數數求求導導法法，得得另解另解yyeyxxeysin0sin yyyyeeyeyx2sincos yeyysincos yyeycossin 代代入入上上式式得得：將將yeyxsin yyxxeyey cos23第22頁/共37頁觀察函數觀察函數.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數的求導然后利用隱函數的求導方法求出導數方法求出導數.-對數求導法對數求導法結構特點結構特點( (適用范圍適用范圍):):.)()(的的情情形形數數多多個個函函數數相相乘乘或或冪冪指指函函xvxu3. 對數求導法對數求導法24

16、第23頁/共37頁例例10解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊先取絕對值再取對數等式兩邊先取絕對值再取對數得得xxxxy 4ln21ln311lnln142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設25第24頁/共37頁例例11解解.),0(sinyxxyx 用用對對數數求求導導法法求求設設等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxylnsinln 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對 xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 26第25頁/共37頁三、由參數方程確定的函

17、數的導數三、由參數方程確定的函數的導數引例引例 22121gttytx 斜上拋物體運動斜上拋物體運動 221122112 2 )( 21xgxxgxy 前者物理意義清楚，后者幾何意思明顯，各有利弊前者物理意義清楚，后者幾何意思明顯，各有利弊.若參數方程若參數方程 確定確定x與與y間的函數關系間的函數關系, )( )( tytx 則稱此函數則稱此函數y=y(x)(或或x=x(y)為為參數方程所確參數方程所確定的函數定的函數 。27第26頁/共37頁例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty xy21 消去參數消去參數問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導? d

18、xdyy問題：問題：28第27頁/共37頁),()(1xttx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數再設函數由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dydydtdxdxdt 即即,)()(中中在方程在方程 tytx29第28頁/共37頁例例12解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy1 處的切線方程。處的切線方程。在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttay

19、ttaxayaxt ),12(,2 時時當當)12( axay所所求求切切線線方方程程為為：)22( axy即：即：30第29頁/共37頁.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時刻炮彈在時刻的運動方向的運動方向炮彈在時刻炮彈在時刻求求其運動方程為其運動方程為發射炮彈發射炮彈發射角發射角以初速度以初速度不計空氣的阻力不計空氣的阻力ttgttvytvxv 例例13解解xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt31第30頁/共37頁)cos()21si

20、n(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 32第31頁/共37頁四、由極坐標方程確定的函數的導數四、由極坐標方程確定的函數的導數（1）極坐標系）極坐標系Ox)(極極點點)(極極軸軸（2）極坐標）極坐標M OM )(極極徑徑)(極極角角),( 時時，當

21、當 200 )M(除除極極點點外外平平面面上上點點),( 實實數數對對一一一一對對應應（3）極坐標與直角坐標的互化）極坐標與直角坐標的互化 sincos:),(yxyxM xyyxM/tan:),(22 （4）曲線的極坐標方程）曲線的極坐標方程2 4/ cos2r 33第32頁/共37頁解：解： sin)cos1(cos)cos1(ayax間間的的關關系系有有：根根據據極極坐坐標標與與直直角角坐坐標標cos)cos1 (sin)cos1 ( adaddxdy)2sinsin()2cos(cos aa 2sinsin2coscos 2 dxdyk切切1 ayx , 02時時 axy :所所求求切切線線為為極坐標方程確定的函數的導數極坐標方程確定的函數的導數)( sin)(cos)(yx化化為為參參方方.2)cos1(