1、1 第一章 Fourier變換 1 重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn) 2 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 3 典型例題典型例題 一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn)： 難點(diǎn)難點(diǎn)： 1 求函數(shù)的求函數(shù)的Fourier變換變換 求函數(shù)的求函數(shù)的Fourier變換變換 2 Fourier變換的簡單應(yīng)用變換的簡單應(yīng)用 傅氏積分定理傅氏積分定理 若若f(t)在在(- - , + )上滿足條件上滿足條件: : 1). f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; 2). f(t)在無限區(qū)間在無限區(qū)間(- - , + )上絕對可積上絕對可積, , 則有則有 jj 1 ( )( )dd 2 t f tfee -

2、 - - - - - ( ) (0)(0) 2 f tt f tf t - - 成成 立立 而而 左左 端端 的的在在 它它 的的 間間 斷斷 點(diǎn)點(diǎn) 處處 應(yīng)應(yīng) 以以 來來 代代 替替 , , , . . (,)|( ) | df tt - - - - 在在絕絕 對對 可可 積積 是是 指指 的的收收 斂斂 . . 1 Fourier積分定理積分定理 二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要 若函數(shù)若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件滿足傅氏積分定理的條件, , 則在則在f(t)的連的連 續(xù)點(diǎn)處續(xù)點(diǎn)處, , 有有 jj 1 ( )( )eded 2 t f tf - - - (1)式叫做式叫做f(t)的的Fo

3、urier變換式變換式, , (2)式為式為F( )的的Fourier逆逆 變換式變換式, , f(t)與與F( )可相互轉(zhuǎn)換可相互轉(zhuǎn)換, ,可記為可記為 F( )= f(t) 和和 f(t)= -1F( ) j j 1 ( )( )e ( )( )ed1) d(2) 2 ( t t f Ff tF tt - - - - 設(shè)設(shè) 則則 2 Fourier變換變換 稱稱de(t)的弱極限為的弱極限為d-函數(shù)函數(shù), , 記為記為d(t).即即 0 ( ) ( )dlim( ) ( )d(0 ( ), )t f ttt f tt f t f e e e e dddd - 對對任任意意的的若若 1/0

4、( ) 0 t t e e eeee d d 其其中中 其其它它 de(t) 1/e eO 0 lim()()tt e e e e d dd d 3 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換 （2 2）( ) td d td d 函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù), ,即即()( )ttd dd d- - （3 3） ( ) t t dtd d - - u t 其中其中, 10 ( ) 00 t u t t 稱為單位階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù). .反之反之, ,有有 ( ) d u t dt d-函數(shù)有性質(zhì)函數(shù)有性質(zhì): (1)(1) 00 ( )d1 ( )( )d(0) ()( )d() tt

5、tf ttf ttf ttf t d d d d d d - - - - - - - - 及及 兩個常用的積分： (4)( )f t若若為為無無窮窮次次可可微微的的函函數(shù)數(shù), ,則則有有 ( )( )(0)tf t dtfd d - - - - 一般地，有一般地，有 ( )( ) ( ) ( )( 1)(0) nnn t f t dtfd d - - - 0 j j() 0 ed2( ) ed2() t t t t d d d d - - - - - - (1).(1).線性性質(zhì)線性性質(zhì) 設(shè)設(shè)F1( )= f1(t), F2( )= f2(t), a a, b b是常數(shù)是常數(shù), ,則則 a a

6、f1(t)+b bf2(t)=a aF1( )+b bF2( ) d ( ) d F 同樣同樣, , 傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì)傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì), , 即即 - -1a aF1( )+b bF2( )=a af1(t)+b bf2(t) 4 Fourier變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) (2).(2).微分性質(zhì)微分性質(zhì) 如果如果f (t)在在(- - , + )上連續(xù)或只有上連續(xù)或只有 有限個可去間斷點(diǎn)有限個可去間斷點(diǎn), , 且當(dāng)且當(dāng)|t|+ 時(shí)時(shí), f(t)0, 則則 f (t)=j f (t). 同樣同樣, , 我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式, , 設(shè)設(shè)

7、j( ).tf t- - 若= ( )F ( )f t 0 t 為實(shí)常數(shù),則 0 0 ()( ) jt f tteF - - - - 0 1 0 ( )() jt eFf tt - - (3). 位移性質(zhì)位移性質(zhì): : 2）象函數(shù)的位移性質(zhì)象函數(shù)的位移性質(zhì) 若= ( )F ( )f t 0 為實(shí)常數(shù),則 0 1 0 ()( ) jt Ff t e - - - 0 0 ( )() jt ef tF - - 1 1）象原函數(shù)的位移性質(zhì)）象原函數(shù)的位移性質(zhì) (4). (4). 積分性質(zhì)積分性質(zhì) , ( )( )d0 1 ( )d ( ). j t t tg tf tt f ttf t - - 如如果

8、果當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 則則 實(shí)際上實(shí)際上, , 只要記住下面幾個常用的只要記住下面幾個常用的Fourier變換變換, , 則則 所有的所有的Fourier變換都無須用公式直接計(jì)算而可由變換都無須用公式直接計(jì)算而可由 Fourier變換的性質(zhì)導(dǎo)出變換的性質(zhì)導(dǎo)出. 0 0 0 j 0 000 ( )1,() e2()12() 11 ( )()( ) jj sin ()() jt t t ttte u tu t e tj - - - - - - - - - - - b b d dd d d d d d d d b b d d d d 卷積滿足下列性質(zhì)卷積滿足下列性質(zhì): : 1221 ( )( )( )( )f

9、 tftftf t(1)(1)交交換換律律 123 1213 ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) f tftft f tftf tft (2)(2)分分配配律律 123 123 ( ) ( )*( ) ( )( )*( ) f tftft f tftft (3)(3)結(jié)結(jié)合合律律 5 卷積和卷積定理卷積和卷積定理 1212 ( )( )( )()df tftfft - - 12 卷積定理卷積定理 假定假定f1(t), f2(t)都滿足傅氏積分定理中都滿足傅氏積分定理中 的條件的條件, , 如如 f1(t) =F1( ), f2(t) =F2( ) 1 1212 ()()( )( )

10、FFftft - - 則則 f1(t) * f2(t) = F1( ) F2( ) 以及以及 1212 1 ( )( )()(). 2 ftftFF 同理可得同理可得 任給函數(shù)任給函數(shù)f(t), 都有都有f(t)*d d(t)=f(t), 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)d d(t)在卷積運(yùn)算中起著類似數(shù)的在卷積運(yùn)算中起著類似數(shù)的 運(yùn)算中的運(yùn)算中的1 1的作用的作用. . ( )* ( )( )f ttf td d 首先取傅氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程首先取傅氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程, , 解代數(shù)方程求出象函數(shù)解代數(shù)方程求出象函數(shù), , 再取逆變換得最后的解再取逆

11、變換得最后的解. . 如如 下圖所示下圖所示. . 象原函數(shù)象原函數(shù) ( (微分方程的解微分方程的解) ) 象函數(shù)象函數(shù) 微分、積分方微分、積分方 程程 象函數(shù)的象函數(shù)的 代數(shù)方程代數(shù)方程 取傅氏逆變換取傅氏逆變換 取傅氏變換取傅氏變換 解代數(shù)解代數(shù) 方程方程 6 微分、積分方程的微分、積分方程的Fourier解法解法 三、典型例題三、典型例題 ( )cossinf ttt求求函函數(shù)數(shù)的的FourieFourie例例2 2r r變變換換。 1,0, sgn( ) 1,0. t t t - 求求符符號號函函數(shù)數(shù)的的FouriFouri例例1 1erer變變換換。 ( )( )sin t f ttu t e b b b b - - 0 0 求求函函數(shù)數(shù)t t的的FourierFourier變變換換， 其其中中 例例3 3 0.0. 例例5 求下列函數(shù)的傅氏逆變換求下列函數(shù)的傅氏逆變換： 1sin (1)( )( );(2)( ). j FeF j d d - - 例例4 , ( )(), , t t f t et b b b b - - 已已知知 0000 0 0 0 0 ( ),tf t 求求 ( ).t f t