1、斐波那契數列主題探究教學設計方案一、概述本主題為人教課標必修5第二章數列中關于有閱讀與思考的內容本主題是在已有數列基本知識的基礎上，探索斐波那契數列的發展歷史、實際生活中的斐波那契數列，以及斐波那契數列的一些特性斐波那契數列與實際生活聯系比較緊密，有著廣泛的應用，而且本身也有許多特殊的性質使學生體會數學的科學價值、應用價值，領會數學的美學價值，從而提高自身的文化素質和創新意識二、教學目標分析1進一步鞏固數列的相關知識，加深對數列的認識，能在具體問題情境中，發現數列的關系，并能用有關知識解決相應的問題2初步了解數學科學與人類社會發展之間的相互作用，體會數學的科學價值、應用價值，開拓視野，激發學習

2、數學的興趣，提高自身的文化素養和創新意識 三、學習者特征分析學生已經掌握數列、等差、等比數列的知識，能在具體的情境問題中，發現數列中特殊的關系：等差或等比關系，能用相關知識解決相應的問題部分學生有一定的自主學習能力、協作學習能力但應用意識不強，創新能力不強，因此需要一定的指導學生具有一定的計算機運用能力，能夠通過網絡搜索相關資源，能借助計算機解決相應的問題四、教學策略選擇與設計 主要采用網絡探究，小組協作的方式，在復習數列相關知識，然后逐步探究斐波那契數列的歷史、應用、特征，教師做好指導、協調工作，對于學生探究結論給予相應評價五、教學資源與工具設計1 人教a版普通高中課程標準實驗教科書必修5；

3、2 網絡課件；3 斐波那契數列計算器；4 網絡型多媒體教室六、教學過程本主題共需1個課時具體安排如下：（一）問題引入由學生計算，教師給予相應的指導如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子假定在不發生死亡的情況下，由1對出生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子？提示：每月底兔子對數是：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ，50個月后是12586269025 對這就是著名的斐波那契數列或許大自然懂得數學，樹木的分杈、花瓣的數量、種子的排列、鸚鵡螺的螺旋線都遵循這個數列你能寫出以后

4、的項嗎？設計意圖：通過斐波那契的兔子問題引入，讓學生通過計算、思考，對斐波那契數列有感性認識（二）數列知識1數列的起源人們對數列的研究主要源于生產、生活的需要，以及出于對自然數的喜愛數是刻畫靜態物體下的量，一系列的數刻畫物體的變化情況，這些按一定順序排列著的一列數稱為數列（sequence of number）數列是刻畫離散過程的重要數學模型，在生活中經常遇到的存款利息、細胞分裂等問題都與數列有關在古希臘，對畢氏學派而言，萬物都是數他們將數用小石子排列成各種形狀，可以排成三角形的小石子數稱為三角形數，可以排成正方形的小石子數稱為正方形數三角形數： 正方形數：五邊形數：每種多邊形數均是一個數列設

5、計意圖：讓學生對于數列的起源有所了解，便于理解研究數列的意義2數列的相關知識讓學生快速梳理數列的基本知識：（1）數列的一般形式：，簡記為（2）數列的表示方法：（1）列表法；（2）圖象法；（3）通項公式法（3）數列的分類：項數有限無限： 項數的隨序號的變化情況：（4）數列通項公式：；主要方法：觀察數列的特點，尋找項數與對應序號的關系化歸法（將數列變形，使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列）逐差全加（對于后一項與前一項差中含有未知數的數列）例如：數列中，求逐商全乘法（對于后一項與前一項商中含有未知數的數列）例如：數列，求 正負相間：利用或（隔項有零：利用或（5）數列求和的主要方法利用等

6、差或等比的求和公式 利用通項列項求和 錯項相減法：適用于通項為等比和等差通項之積形式的數列求和 倒序相加法：例如等差數列求和公式的推導 配對法：適合某些正負相間型的數列 學生思考：若我們分別以來代表下圖的正方形數、三角形數及五邊形數，你能發現求出通項公式嗎？三者的關系呢？（可以借助圖形特點）n個n個 n個 n個教師給予適當的指導提示：由上圖我們不難看出：而每個正方形數都可以看成兩個三角形數的和n個 觀察五角形數可以知道即設計意圖：讓學生回顧數列的基本知識，便于將知識系統化，能更好的從整體上把握，靈活應用數列解決相應問題3數列與函數的關系讓學生回顧數列可以看成是定義域為正整數集（或它的有限子集）

7、的函數當自變量順次從小到大依次取值時對應的一列函數值，而數列的通項公式則是相應的函數解析式由于數列的項是函數值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標畫出的圖像是一些孤立的點，所以說數列是一類特殊的函數數列具有函數的一般性質，可以借助數形結合的思想研究問題，但研究的側重點有所不同，函數側重研究單調性、最值、奇偶性等，數列側重研究下標子數列或兩個數列的合成的性質等設計意圖：回顧函數與數列的關系，進一步加深認識研究數列的角度和意義4特殊數列讓學生填寫下列表格：名稱等差數列等比數列定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列（arit

8、hmetic sequence），這個常數叫做等差數列的公差（common difference），通常用字母d表示一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫等比數列（geometric sequence），這個常數叫做等比數列的公比（common ratio），通常用字母q表示通項公式等差數列實際是一次型函數，是最簡單的遞推數列等比數列實際是指數型函數前n項和公式比例中項等差中項：三個數成等差數列，則a叫做a與b的等差中項（artithmetic mean）等比中項：三個數成等比數列，則g叫做a與b的等比中項設計意圖：對比中學中重要的兩個特殊數列：

9、等差數列和等比數列的性質，加深對這兩種數列的理解和應用，通過系統比較能更好的理解（三）斐波那契教師適當的加以介紹，可以在讓學生利用互聯網收集相關資料中世紀最有才華的數學家斐波那契（1175年1259年）出生在意大利比薩市的一個商人家庭因父親在阿爾及利亞經商，因此幼年在阿爾及利亞學習，學到不少時尚未流傳到歐洲的阿拉伯數學成年以后，他繼承父業從事商業，走遍了埃及、希臘、敘利亞、印度、法國和意大利的西西里島斐波那契是一位很有才能的人，并且特別擅長于數學研究他發現當時阿拉伯數學要比歐洲大陸發達，因此有利于推動歐洲大數學的發展他在其他國家和地區經商的同時，特別注意搜集當地的算術、代數和幾何的資料回國后，

10、便將這些資料加以研究和整理，編成算經（1202年，或叫算盤書）算經的出版，使他成為一個聞名歐洲的數學家繼算經之后，他又完成了幾何實習（1220年）和四藝經（1225年）兩部著作算經在當時的影響是相當巨大的這是一部由阿拉伯文和希臘文的材料編譯成拉丁文的數學著作，當時被認為是歐洲人寫的一部偉大的數學著作，在兩個多世紀中一直被奉為經典著作在當時的歐洲，雖然多少知道一些阿拉伯記數法和印度算法，但僅僅局限在修道院內，一般的人還只是用羅馬數學記數法而盡量避免用“零”斐波那契的算經，介紹了阿拉伯記數法和印度人對整數、分數、平方根、立方根的運算方法，這部著作在歐洲大陸產生了極大的影響，并且改變了當時數學的面貌

11、他在這本書的序言中寫道：“我把自己的一些方法和歐幾里得幾何學中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是決定寫現在這本15章的書，使拉丁族人對這些東西不會那么生疏在斐波那契的算經中，記載著大量的代數問題及其解答，對于各種解法都進行了嚴格的證明書中記載的一個有趣的問題：理想中的兔子繁殖問題，兔子每個月對數就構成了著名的斐波那契數列據載首先是由19世紀法國數學家呂卡將級數：1，1，2，3，5，8，13，21，34，.命名為斐波那契級數，它是一種特殊的線性遞歸數列，在數學的許多分支中有廣泛應用1963年美國還創刊斐波那契季刊來專門研究數列設計意圖：了解斐波那契的歷史，提高學習數學的興趣，感受數學家的嚴

12、謹態度和鍥而不舍的探索精神（四）斐波那契數列特性小組探究，歸納總結結論，可以參照提示，對于能力較強的小組可以進一步探究其它性質教師對于各小組的探究過程加以評價斐波那契數列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， 1通項公式觀察斐波那契數列項數之間有什么關系？提示：從第三項開始每一項等于其前兩項的和，即若用表示第n項，則有通過遞推關系式，我們可以一步一個腳印地算出任意項，不過，當n很大時，推算是很費事的我們必須找到更為科學的計算方法你能否尋找到通項公式，借助網絡資源，能否給予證明？提示：1730年法國數學家棣莫弗給出其通項表達式，19世紀初

13、另一位法國數學家比內首先證明這一表達式，現在稱為之為比內公式可以利用歸納法證明網絡資源：求斐波那契數列的通項公式 2項間關系根據下列問題分組探究，寫下探究的結果有能力的學生可以繼續研究其他性質提供斐波那契數列計算器的網頁斐波那契數列有許多奇妙的性質，下面一起研究部分性質： （1）問題：觀察相鄰兩項之間有什么關系？相鄰兩項互素，（）（2）1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， 第3項、第6項、第9項、第12項、的數字，有什么共同特點？提示：能夠被 2 整除第4項、第8項、第12項，能夠被 3 整除第 5項、第 10 項、的數字

14、，能夠被 5 整除你還能發現哪些類似的規律？（3） 如果你把前五加起來再加 1，結果會等于第七項；如果把前六項加起來，再加 1，就會得出第八項那么前 n 項加起來再加 1，會不會等于第 n + 2 項呢？ 提示：1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 131 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21由于每一項都是其前兩項的和，所以（4）如果我們分別對偶數項與奇數項做加法運算的話，情形又如何呢？ 1 + 2 + 5 = 81 + 2 + 5 + 13 = 211 + 1 + 3 + 8 = 131 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34提示：我們可以得到下列的結果：

15、你是否能給出證明？（5）不可思議的是，如果我們把第三項的平方加上第四項的平方會得到第七項 22 + 32 = 4 + 9 = 1332 + 52 = 9 + 25 = 3482 + 132 = 64 + 169 = 233試試看其它的情形是不是都成立呢？（6）更不可思議的是，你能想象到嗎，斐波那契數列與楊輝三角居然有聯系？提示：11 11 2 1 1 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1112813353黃金分割動手做一下：把斐波那契數列中從第二項開始的每一項除以前一項， 得到一個新的數列，并畫出圖象，分析新數列的特點提示：1，2，1.5，1.

16、67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618， .下圖中橫軸為 n 的值，縱軸為的取值：看起來好像會趨近某個定值，大約為1.61這為人所知作為金黃比率, 并且因此斐波那奇的序列并且稱金黃序列， 開普勒發現斐波那契數列的黃金比率4探究其它特性利用斐波那契數列計算器和互聯網，每小組探究斐波那契數列的其它性質，然后利用網絡搜索所得到的性質，是否已經被發現。在網絡中查找一下是否還有其它性質，將得到的結論填入下表小組： 人員組成： 性質描述證明過程網絡相關資源備注設計意圖：通過系列的、逐層深入的問題串，引導學生利用數列的知識探索斐波那契數列的特性，進一步加深學生對數列的認識和運用（五）聯系

17、生活將學生分組，利用網絡搜索斐波那契數列與生活的聯系，將收集的資源加工整理，制作成課件，以小組為單位展示課件，并加以說明嘗試一下，能否借助斐波那契數列的特性設計圖案？在網絡中查找一下利用斐波那契數列設計的圖案，并分析其中蘊含的數列下面是從生物、藝術、計算機設計圖形等方面簡單示例1生物學與斐波那契數列在現實的自然世界中，算盤書里那樣的神奇兔子自然是找不到的，但是這并不妨礙大自然使用斐波那契數列起絨草橢球狀的花頭，你可以看見那上面有許多螺旋很容易想像，如果從上面俯視下去的話，這些螺旋從中心向外盤旋，有些是順時針方向的，還有些是逆時針方向的逆時針與順時針的螺旋數就是斐波那契數列中相鄰的兩項斐波那契數

18、列在自然界中的出現是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的 以這樣的形式排列種子、花瓣或葉子的植物還有很多（最容易讓人想到的是向日葵），事實上許多常見的植物，我們食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的葉子排列也具有這個特性，只是不容易觀察清楚盡管這些順逆螺旋的數目并不固定，但它們也并不隨機，它們是斐波那契序列中的相鄰數字這樣的螺旋被稱為斐波那契螺旋展示自然界中各種各樣的斐波那契螺旋圖片（1）細察下列各種花，它們的花瓣的數目具有斐波那契數：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花斐波那契數經常與花瓣的數目相結合： 3百合和蝴蝶花 5藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草 8翠雀花 13金盞

19、草 21紫宛 34，55，84雛菊雛菊展示花的圖片（2）斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數0，然后依序點數葉子(假定沒有折損)，直至到達與那片葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序(源自希臘詞，意即葉子的排列)比多數的葉序比呈現為斐波那契數的比 （3）斐波那契數有時也稱松果數，因為連續的斐波那契數會出現在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數目之中這種情況在向日葵的種子盤中也會看到此外，你能發現一些連續的盧卡斯數嗎？ （4）菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數的植物對于菠蘿，我們可以去數一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數 （5）樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才 能萌發新枝所以，一株樹苗在一段間隔（如圖4），例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時 萌發，當年生的新枝則次年“休息”這樣，一